1、2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，1，第5章，上面討論的連續(xù)系統(tǒng)、縱向振動、扭轉(zhuǎn)振動和均勻桿的模態(tài)振動的近似解，只是在簡單的端點條件下得到的精確解。在實際問題中，大量質(zhì)量和剛度分布不均勻的連續(xù)系統(tǒng)不能得到精確解，因此在工程中采用近似計算方法非常重要。本章考慮的近似方法是離散化一個連續(xù)系統(tǒng)，即用等效離散系統(tǒng)代替連續(xù)系統(tǒng)。離散化方法可分為兩類：2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心；2，1。解以有限級數(shù)的形式寫成，無限自由系統(tǒng)離散成N自由度系統(tǒng)。將質(zhì)量集中在連續(xù)系統(tǒng)的粒子上。本章主要研究第一種方法：瑞利法；萊利利茲法；假設(shè)模式方法。它們都基于瑞利商的概念。5-1瑞利商以多自由度系

2、統(tǒng)為例說明瑞利商的概念。2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，3。有一個保守的n自由度系統(tǒng)來表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，相應(yīng)的剛度矩陣為，習(xí)慣矩陣為。設(shè)特征值的解假定系統(tǒng)在某一頻率上同步振動，即在公式中，系統(tǒng)的動能和勢能的表達(dá)式可以得到：將和的表達(dá)式代入公式(b)和(a)，當(dāng)系統(tǒng)處于平衡位置時，得到，2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，4。勢能，動能。當(dāng)，系統(tǒng)的動能等于零時，勢可以達(dá)到最大。這時，系統(tǒng)到達(dá)極限位置，但保守系統(tǒng)的總機(jī)械能是不變的。2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，5。因此，這個公式被稱為特征值和特征向量之間的關(guān)系?，F(xiàn)在我們對某個系統(tǒng)的特征值問題一無所知。我們

3、把任何向量看作一個近似的特殊向量，并把它代入公式(C)，得到一個近似的特征值。公式中的R(x)是一個標(biāo)量，它取決于矩陣和、2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，6，向量。系統(tǒng)的矩陣是確定的，而向量是任意的。因此，對于給定的系統(tǒng)，R(x)只依賴于矢量，標(biāo)量R(x)稱為瑞利商。顯然，如果任何向量與系統(tǒng)的一個特征向量重合，那么瑞利商等于相應(yīng)的特征值。此外，瑞利商具有以下性質(zhì)：1)瑞利商在系統(tǒng)的特征值向量附近有一個平穩(wěn)值(或穩(wěn)定值)。為了闡明這一性質(zhì)，根據(jù)展開定理，任何向量都表示為系統(tǒng)的特征向量的線性組合，即：2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，7，這是一個模態(tài)矩陣并已被正則化，所以

4、2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，8。如果試驗向量非常接近某個特征向量，也就是說，公式(D)中的所有比較都非常小，或者一階軌跡，并且公式(F)的分子和分母除以，那么：2020/7/24除以分子和分母，通過將三階以上的高階軌跡四舍五入得到右端表達(dá)式。從公式(5-2)可以看出，如果向量與特征向量的偏差是一階跡，那么瑞利商與特征值的偏差是二階跡，這表明瑞利商在特征向量附近有一個常值。2)瑞利商在第一模式附近具有最小值。如果我們使，(5-2)成為，2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，10。一般來說，公式中的等號是在它們都等于零時建立的，所以瑞利商永遠(yuǎn)不會低于一階特征值，一階特征值

5、是一階特征值的最小值，應(yīng)用它可以得到系統(tǒng)5-2瑞利能量法瑞利法是一種不用求解特征值問題就可以估計系統(tǒng)基頻的方法。2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，11。具體方法是首先假設(shè)一個模態(tài)函數(shù)，計算系統(tǒng)將該模態(tài)作為同步簡諧振動時的最大勢能和參數(shù)修正能，然后將其和代入瑞利商分?jǐn)?shù)，即估計的基頻必須滿足全部或部分邊界條件并接近第一模態(tài)。估計值和精確解之間的接近程度取決于2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，12。例如，具有均勻圓形橫截面的軸的扭轉(zhuǎn)振動被用來表示軸上X點處角位移的扭矩表達(dá)式：2020/7/24，設(shè)備診斷工程中心，13。因此，長軸儲存的彈性能量為：整個軸的勢能為：如果兩端由扭轉(zhuǎn)

6、彈簧(扭轉(zhuǎn)剛度)支撐，系統(tǒng)的勢能為：2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，14。瑞利法只能得到系統(tǒng)基頻的粗略近似值，估計值總是高于實際基頻。瑞利里茲法的關(guān)鍵是模式函數(shù)的選擇。如果假設(shè)模式接近第一模式，估計頻率是基頻的良好近似值，但一旦選擇了模式函數(shù)，估計頻率將可用，我們無法估計其精度。沒有辦法把它調(diào)整得更精確。瑞利-里茲法的優(yōu)點是可以調(diào)整假設(shè)的振型，盡可能降低估計的一階頻率，還可以得到有限階頻率的估計值，該值來自2020年7月24日，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，15。以桿的縱向振動為例，非均勻桿的單位長度質(zhì)量是拉伸和壓縮剛度，是水平坐標(biāo)X的函數(shù)，右端有一個集中質(zhì)量M?，F(xiàn)在，前幾個頻率和振

7、動模式是由瑞利利茲法計算的。桿的縱向振動的振型函數(shù)可以寫成以下有限階的形式：2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，16，(1) (2)如果不能做到，則應(yīng)滿足幾何邊界條件，這就是所謂的公差函數(shù)。(3)它們必須是相互線性獨立的，但不同于特征函數(shù)，它們不需要滿足系統(tǒng)的微分方程，但必須是獨立變量X的可導(dǎo)的，導(dǎo)數(shù)的階必須至少等于中出現(xiàn)的階。(4)公式為待定常數(shù)，應(yīng)為多元函數(shù)，2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，17，賴?yán)獭Ｈ●v留值以使商具有駐留值的必要條件是表示對應(yīng)于賴?yán)痰鸟v留值的值，并且考慮公式(5-6)和(5-7)，它可以寫成如下：代數(shù)方程(5-8)用于求解n個特征值(它們是前n階頻率平方的近似值)，并且n個特征向量被代入公式(5-5)，并且相應(yīng)的n個振動模式函數(shù)通過以下步驟計算：1)在公式(5-5)中指定模擬函數(shù)或容許函數(shù)2)計算勢能和參數(shù)變化能，并將它們寫成下面的二次形式。1.勢能，so，2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，20，So: (5-6): (3)將(5-10)代入(5-8)得到：2020/7 2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，22。瑞利法的實質(zhì)是將一個無限自由度系統(tǒng)離散成一個N自由度系統(tǒng)，然后用多自由度方法計算頻率和振型。2020/7/24，東北大學(xué)設(shè)備診斷工程中心，23，示例52等。直桿的參數(shù)為：長度，左端固定，右端由剛