1、2020/7/25,1,作 業(yè),2020/7/25,2,第五講 導(dǎo)數(shù)與微分（一）,二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì),五、基本導(dǎo)數(shù)（微分）公式,一、引言,三、函數(shù)的微分,四、可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系,2020/7/25,3,一、引言,兩個典型背景示例,例1 運動物體的瞬時速度,設(shè)汽車沿t軸作直線運動, 若己知其運動 規(guī)律(路程與時間的函數(shù)關(guān)系)為 求在時刻 的瞬時速度.,2020/7/25,4,解,如果極限存在, 這個極限值就是質(zhì)點的 瞬時速度.,2020/7/25,5,例2 曲線的切線斜率問題,什麼是曲線的切線？,2020/7/25,6,2020/7/25,7,2020/7/25,8,二、導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì),1.

2、 導(dǎo)數(shù)定義：,2020/7/25,9,注意1 導(dǎo)數(shù)的等價定義：,2020/7/25,10,注意2 導(dǎo)數(shù)的意義：,物理意義,幾何意義,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點的變化率,2020/7/25,11,例:線密度問題,2020/7/25,12,左導(dǎo)數(shù),右導(dǎo)數(shù),2. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義：,定理：,2020/7/25,13,3. 導(dǎo)函數(shù)定義：,2020/7/25,14,三、函數(shù)的微分,導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)對自變量變化的速度來 研究;而微分則是直接研究函數(shù)的增量， 這有許多方便之處。,（一）函數(shù)的微分的定義,2020/7/25,15,2020/7/25,16,四、可導(dǎo)、可微與連續(xù)的關(guān)系,定理1: 函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價的,2020/

3、7/25,17,證 (1),2020/7/25,18,證 (2),2020/7/25,19,定理2：,證,注意 可導(dǎo)必連續(xù), 連續(xù)不一定可導(dǎo)！,2020/7/25,20,解,2020/7/25,21,尖點,2020/7/25,22,解,有鉛垂切線,2020/7/25,23,解,振蕩,不存在！,2020/7/25,24,2020/7/25,25,微分的幾何意義,微分三角形,2020/7/25,26,2020/7/25,27,五、基本導(dǎo)數(shù)（微分）公式,2020/7/25,28,2020/7/25,29,微分基本公式,2020/7/25,30,5. 利用定義求導(dǎo)的例子,解,2020/7/25,31,解,2020/7/25,32,解,2020/7/25,33,解,2020/7/25,34,問題：如何求其他函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？,基本導(dǎo)數(shù)