1、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1,一、復(fù)習(xí)與引入：,1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.,2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.,3.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則.,4.例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方式 展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo).然后能否用其它 的辦法求導(dǎo)呢?,又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導(dǎo)數(shù)是 =-2/x3,那么函數(shù) y=1/(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)又是什么呢?,為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運算法則,這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,2,二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,1.復(fù)合函數(shù)的概念:,對于函數(shù)y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中間變量 u的函數(shù), u= (x)是自變量x的函數(shù),則稱y

2、=f (x) 是自變量x的復(fù)合函數(shù).,2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,設(shè)函數(shù) 在點x處有導(dǎo)數(shù) ,函數(shù)y=f(u)在 點x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù) ,則復(fù)合函數(shù) 在點x處也有導(dǎo)數(shù),且 或記,如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),我們就可以有,令y=u2,u =3x-2,則 從而 .結(jié)果與我們利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求得的結(jié)果完全一致.,3,在書寫時不要把 寫成 ,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導(dǎo),而后者是對中間變量 的求導(dǎo).,3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:,復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間 變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).,法則可以推廣到兩個以上的中間變量.,求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函

3、數(shù)的復(fù)合關(guān)系,合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo),一般地,如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo),就不必再選中間變量.,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則要有機的結(jié)合和綜合的運用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.,4,三、例題選講：,例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,解:設(shè)y=u5,u=2x+1,則:,解:設(shè)y=u-4,u=1-3x,則:,解:設(shè)y=u-4,u=1+v2,v=sinx,則:,說明:在對法則的運用熟練后,就不必再寫中間步驟.,5,例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(2x3-x+1/x)4;,解:,(3)y=tan3x;,解:,(2),解:,(4)

4、,解:,6,(5):y=sin2(2x+/3),法一:,法二:,練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,答案:,7,例3:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R= 10cm時,圓面積增加的速度.,解:由已知知:圓半徑R=R(t),且 = 2cm/s.,又圓面積S=R2,所以 =40(cm)2/s.,故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.,例4:在曲線 上求一點,使通過該點的切線平行于 x軸,并求此切線的方程.,解:設(shè)所求點為P(x0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:,切線斜率,把x0=0代入曲線方程得:y0=1.,所以點P的坐標(biāo)為(0,1),切線方程為y-1=0.,8,例5:求證雙曲線C1:x2

5、-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交 點處的切線互相垂直.,證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,故只需證明其中一 個交點處的切線互相垂直即可.,聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點為P(3,2),不妨 證明過P點的兩條切線互相垂直.,由于點P在第一象限,故由x2-y2=5得,同理由4x2+9y2=72得,因為k1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.,9,例6:設(shè)f(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x),解:,說明:對于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其 結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法 則.,

6、10,我們曾經(jīng)利用導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個結(jié)論: “可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在我們利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明:,證:當(dāng)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時,則f(-x)=f(x).兩邊同時對x 求導(dǎo)得: ,故 為 奇函數(shù).,同理可證另一個命題.,我們還可以證明類似的一個結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).,證:設(shè)f(x)為可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個周期,則對定義 域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x).,兩邊同時對x求導(dǎo)得: 即 也是以T為周期的周期函數(shù).,11,例7:求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).,說明:這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達 式,求出在各

7、可導(dǎo)(開)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后再用 定義來討論分段點的可導(dǎo)性.,解:當(dāng)x1時, .,又 ,故f(x)在x=1處連續(xù).,而,從而f(x)在x=1處不可導(dǎo).,12,四、小結(jié)：,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時,選擇中間變 量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其間的復(fù)合關(guān)系.要善于把一部分量、式子暫時當(dāng)作一個整體, 這個暫時的整體,就是中間變量.求導(dǎo)時需要記住中間變量,注意逐層求導(dǎo),不遺漏,而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導(dǎo)后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).,13,在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點的切線 問題,但在上面的解法中回避了點在

8、第二、三、四象限 的情況.可能有同學(xué)會提出對于二次曲線在任意點的切線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.我們不便去過多的去研究.,下面舉一個例子使同學(xué)們了解一下求一般曲線在任意點的切線的方法.(說明:這個內(nèi)容不屬于考查范圍.),例子:求橢圓 在點 處的切線方程.,解:對橢圓方程的兩邊分別求導(dǎo)(在此把y看成是關(guān)于x 的函數(shù))得:,于是所求切線方程為:,備用,14,利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:,(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P0(x0,y0)的切線方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,(2)過橢圓 上一點P0(x0,y0)的切線方程是:,(2)過橢圓 上一點P0(x0,y0)的切線方程是:,(4)過拋物線y2=2px上一點P0(x0,y0)的切線方程是:y0y =p(x+x0).,(3)過雙曲線 上一點P0(x0,y0)的切線方程是:,15,證:設(shè)x有增量x,則對應(yīng)的u,y分別有增量u, y.,因為 在點x處可導(dǎo),所以 在點x處連續(xù).因此當(dāng)x 0時, u 0.,當(dāng)u0時,由 ,且 得:,當(dāng)u=0時,