1、第一講電場1、1 庫侖定律和電場強(qiáng)度111、電荷守恒定律大量實(shí)驗(yàn)證明：電荷既不能創(chuàng)造，也不能被消滅，它們只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，正負(fù)電荷的代數(shù)和任何物理過程中始終保持不變。我們熟知的摩擦起電就是電荷在不同物體間的轉(zhuǎn)移，靜電感應(yīng)現(xiàn)象是電荷在同一物體上、不同部位間的轉(zhuǎn)移。此外，液體和氣體的電離以及電中和等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都遵循電荷守恒定律。112、庫侖定律真空中，兩個靜止的點(diǎn)電荷和之間的相互作用力的大小和兩點(diǎn)電荷電量的乘積成正比，和它們之間距離r的平方成正比；作用力的方向沿它們的連線，同號相斥，異號相吸式中k是比例常數(shù)，依賴于各量所用的單位，在國際單位制（SI）中

2、的數(shù)值為：（常將k寫成的形式，是真空介電常數(shù)，）庫侖定律成立的條件，歸納起來有三條：（1）電荷是點(diǎn)電荷；（2）兩點(diǎn)電荷是靜止或相對靜止的；（3）只適用真空。條件（1）很容易理解，但我們可以把任何連續(xù)分布的電荷看成無限多個電荷元（可視作點(diǎn)電荷）的集合，再利用疊加原理，求得非點(diǎn)電荷情況下，庫侖力的大小。由于庫侖定律給出的是一種靜電場分布，因此在應(yīng)用庫侖定律時(shí)，可以把條件（2）放寬到靜止源電荷對運(yùn)動電荷的作用，但不能推廣到運(yùn)動源電荷對靜止電荷的作用，因?yàn)橛型七t效應(yīng)。關(guān)于條件（3），其實(shí)庫侖定律不僅適用于真空，也適用于導(dǎo)體和介質(zhì)。當(dāng)空間有了導(dǎo)體或介質(zhì)時(shí)，無非是出現(xiàn)一些新電荷感應(yīng)電荷和極化電荷，此時(shí)必須

3、考慮它們對源電場的影響，但它們也遵循庫侖定律。113、電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度是從力的角度描述電場的物理量，其定義式為式中q是引入電場中的檢驗(yàn)電荷的電量，F(xiàn)是q受到的電場力。借助于庫侖定律，可以計(jì)算出在真空中點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場中各點(diǎn)的電場強(qiáng)度為圖1-1-1（a）式中r為該點(diǎn)到場源電荷的距離，Q為場源電荷的電量。114、場強(qiáng)的疊加原理在若干場源電荷所激發(fā)的電場中任一點(diǎn)的總場強(qiáng)，等于每個場源電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所激發(fā)的場強(qiáng)的矢量和。原則上講，有庫侖定律和疊加原理就可解決靜電學(xué)中的全部問題。例1、如圖1-1-1（a）所示，在半徑為R、體電荷密度為的均勻圖1-1-1（b）（b）帶電球體內(nèi)部挖去半徑為的一個小球

4、，小球球心與大球球心O相距為a，試求的電場強(qiáng)度，并證明空腔內(nèi)電場均勻。分析： 把挖去空腔的帶電球看作由帶電大球與帶異號電的小球構(gòu)成。由公式求出它們各自在的電場強(qiáng)度，再疊加即得。這是利用不具有對稱性的帶電體的特點(diǎn)，把它湊成由若干具有對稱性的帶電體組成，使問題得以簡化。在小球內(nèi)任取一點(diǎn)P，用同樣的方法求出，比較和，即可證明空腔內(nèi)電場是均勻的。采用矢量表述，可使證明簡單明確。解： 由公式可得均勻帶電大球（無空腔）在點(diǎn)的電場強(qiáng)度，方向?yàn)镺指向。同理，均勻帶異號電荷的小球 在球心點(diǎn)的電場強(qiáng)度所以 ，圖1-1-2（a） 圖1-1-2（b）如圖1-1-1（b）所示，在小球內(nèi)任取一點(diǎn)P，設(shè)從O點(diǎn)到點(diǎn)的矢量為，

5、為，OP為。則P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 可見：因P點(diǎn)任取，故球形空腔內(nèi)的電場是均勻的。115、 電通量、高斯定理、（1）磁通量是指穿過某一截面的磁感應(yīng)線的總條數(shù)，其大小為，其中為截面與磁感線的夾角。與此相似，電通量是指穿過某一截面的電場線的條數(shù)，其大小為為截面與電場線的夾角。高斯定量：在任意場源所激發(fā)的電場中，對任一閉合曲面的總通量可以表示為 （） 為真空介電常數(shù)式中k是靜電常量，為閉合曲面所圍的所有電荷電量的代數(shù)和。由于高中缺少高等數(shù)學(xué)知識，因此選取的高斯面即閉合曲面，往往和電場線垂直或平行，這樣便于電通量的計(jì)算。盡管高中教學(xué)對高斯定律不作要求，但筆者認(rèn)為簡單了解高斯定律的內(nèi)容，并利用高斯定律推導(dǎo)幾

6、種特殊電場，這對掌握幾種特殊電場的分布是很有幫助的。（2）利用高斯定理求幾種常見帶電體的場強(qiáng)無限長均勻帶電直線的電場一無限長直線均勻帶電，電荷線密度為，如圖1-1-2（a）所示?？疾禳c(diǎn)P到直線的距離為r。由于帶電直線無限長且均勻帶電，因此直線周圍的電場在豎直方向分量為零，即徑向分布，且關(guān)于直線對稱。取以長直線為主軸，半徑為r，長為l的圓柱面為高斯面，如圖1-1-2（b），上下表面與電場平行，側(cè)面與電場垂直，因此電通量圖1-1-3無限大均勻帶電平面的電場根據(jù)無限大均勻帶電平面的對稱性，可以判定整個帶電平面上的電荷產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)與帶電平面垂直并指向兩側(cè)，在離平面等距離的各點(diǎn)場強(qiáng)應(yīng)相等。因此可作一

7、柱形高斯面，使其側(cè)面與帶電平面垂直，兩底分別與帶電平面平行，并位于離帶電平面等距離的兩側(cè)如圖1-1-3由高斯定律： 式中為電荷的面密度，由公式可知，無限大均勻帶電平面兩側(cè)是勻強(qiáng)電場。平行板電容器可認(rèn)為由兩塊無限帶電均勻?qū)w板構(gòu)成，其間場強(qiáng)為，則由場強(qiáng)疊加原理可知均勻帶電球殼的場強(qiáng)有一半徑為R，電量為Q的均勻帶電球殼，如圖1-1-4。由于電荷分布的對稱性，故不難理解球殼內(nèi)外電場的分布應(yīng)具有球?qū)ΨQ性，因此可在球殼內(nèi)外取同心球面為高斯面。對高斯面1而言：圖1-1-4；對高斯面2：。 球?qū)ΨQ分布的帶電球體的場強(qiáng)推導(dǎo)方法同上，如圖1-1-4，對高斯面1，；對高斯面2， 圖1-1-5。 電偶極子產(chǎn)生的電場

8、真空中一對相距為l的帶等量異號電荷的點(diǎn)電荷系統(tǒng)，且l遠(yuǎn)小于討論中所涉及的距離，這樣的電荷體系稱為電偶極子，并且把連接兩電荷的直線稱為電偶極子的軸線，將電量q與兩點(diǎn)電荷間距l(xiāng)的乘積定義為電偶極矩。a.設(shè)兩電荷連線中垂面上有一點(diǎn)P，該點(diǎn)到兩電荷連線的距離為r，則P點(diǎn)的場強(qiáng)如圖1-1-5所示，其中 b.若為兩電荷延長線上的一點(diǎn)，到兩電荷連線中點(diǎn)的距離為r，如圖1-1-6所示，圖1-1-6則 c.若T為空間任意一點(diǎn)，它到兩電荷連線的中點(diǎn)的距離為r，如圖1-1-7所示，則在T點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)分量為圖1-1-7，由在T點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)分量為故 例2、如圖所示，在-dxd的空間區(qū)域內(nèi)（y，z方向無限延伸）均勻分布著

9、密度為的正電荷，此外均為真空（1）試求d處的場強(qiáng)分布；（2）若將一質(zhì)量為m，電量為的帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)，從x=d處由靜止釋放，試問該帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過過多長時(shí)間第一次到達(dá)x=0處。 圖1-1-8解： 根據(jù)給定區(qū)域電荷分布均勻且對稱，在y、z方向無限伸展的特點(diǎn)，我們想象存在這樣一個圓柱體，底面積為S，高為2x，左、右底面在x軸上的坐標(biāo)分別是-x和x，如圖1-1-8所示。可以判斷圓柱體左、右底面處的場強(qiáng)必定相等，且方向分別是逆x軸方向和順x軸方向。再根據(jù)高斯定理，便可求出坐標(biāo)為x處的電場強(qiáng)度。（1）根據(jù)高斯定律。坐標(biāo)為x處的場強(qiáng)：（d），x0時(shí)，場強(qiáng)與x軸同向，x0時(shí)，場強(qiáng)與x軸反向。（2）若將一質(zhì)量為m、電量為

10、的帶電質(zhì)點(diǎn)置于此電場中，質(zhì)點(diǎn)所受的電場力為：（d）顯然質(zhì)點(diǎn)所受的電場力總是與位移x成正比，且與位移方向相反，符合準(zhǔn)彈性力的特點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)在電場力的運(yùn)動是簡諧振動，振動的周期為當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從x=d處靜止釋放，第一次達(dá)到x=0處所用的時(shí)間為 1、2電勢與電勢差121、 電勢差、電勢、電勢能電場力與重力一樣，都是保守力，即電場力做功與具體路徑無關(guān)，只取決于始末位置。我們把在電場中的兩點(diǎn)間移動電荷所做的功與被移動電荷電量的比值，定義為這兩點(diǎn)間的電勢差，即這就是說，在靜電場內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B間的電勢差，在數(shù)值等于一個單位正電荷從A沿任一路徑移到B的過程中，電場力所做的功。反映了電場力做功的能力。即電勢差僅由電場本身

11、性質(zhì)決定，與被移動電荷的電量無關(guān)；即使不移動電荷，這兩點(diǎn)間的電勢差依然存在。如果我們在電場中選定一個參考位置，規(guī)定它為零電勢點(diǎn)，則電場中的某點(diǎn)跟參考位置間的電勢差就叫做該點(diǎn)的電勢。通常我們?nèi)〈蟮鼗驘o窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)。電勢是標(biāo)準(zhǔn)量，其正負(fù)代表電勢的高低，單位是伏特（V）。電勢是反映電場能的性質(zhì)的物理量，電場中任意一點(diǎn)A的電勢，在數(shù)值上等于一個單位正電荷A點(diǎn)處所具有的電勢能，因此電量為q的電荷放在電場中電勢為U的某點(diǎn)所具有的電勢能表示為。122、 幾種常見帶電體的電勢分布（1）點(diǎn)電荷周圍的電勢如圖1-2-1所示，場源電荷電量為Q，在離Q為r的P點(diǎn)處有一帶電量為q的檢驗(yàn)電荷，圖1-2-1現(xiàn)將該檢驗(yàn)電

12、荷由P點(diǎn)移至無窮遠(yuǎn)處（取無窮遠(yuǎn)處為零電勢），由于此過程中，所受電場力為變力，故將q移動的整個過程理解為由P移至很近的（離Q距離為）點(diǎn)，再由移至很近的（離Q距離為）點(diǎn)直至無窮遠(yuǎn)處。在每一段很小的過程中，電場力可視作恒力，因此這一過程中，電場力做功可表示為： 所以點(diǎn)電荷周圍任一點(diǎn)的電勢可表示為：式中Q為場源電荷的電量，r為該點(diǎn)到場源電荷的距離。（2）均勻帶電球殼，實(shí)心導(dǎo)體球周圍及內(nèi)部的電勢。由于實(shí)心導(dǎo)體球處于靜電平衡時(shí)，其凈電荷只分布在導(dǎo)體球的外表面，因此其內(nèi)部及周圍電場、電勢的分布與均勻帶電球殼完全相同。由于均勻帶電球殼外部電場的分布與點(diǎn)電荷周圍電場的分布完全相同，因此用上面類似方法不難證明均勻

13、帶電球殼周圍的電勢為。 rR式中Q為均勻帶電球殼的電量，R為球殼的半徑，r為該點(diǎn)到球殼球心的距離。在球殼上任取一個微元，設(shè)其電量為，該微元在球心O處產(chǎn)生的電勢。由電勢疊加原理，可知O點(diǎn)處電勢等于球殼表面各微元產(chǎn)生電勢的代數(shù)和，。因?yàn)榫鶆驇щ娗驓ぜ皩?shí)心導(dǎo)體球均為等勢體，因而它們內(nèi)部及表面的電勢均為。圖1-2-2 123、電勢疊加原理電勢和場強(qiáng)一樣，也可以疊加。因?yàn)殡妱菔菢?biāo)量，因此在點(diǎn)電荷組形成的電場中，任一點(diǎn)的電勢等于每個電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和，這就是電勢疊加原理。例3、如圖1-2-2所示，兩個同心導(dǎo)體球，內(nèi)球半徑為，外球是個球殼，內(nèi)半徑為，外半徑。在下列各種情況下求內(nèi)外球殼的

14、電勢，以及殼內(nèi)空腔和殼外空間的電勢分布規(guī)律。 （1）內(nèi)球帶，外球殼帶。（2）內(nèi)球帶，外球殼不帶電。（3）內(nèi)球帶，外球殼不帶電且接地。（4）內(nèi)球通過外殼小孔接地，外球殼帶。解: 如圖1-2-2所示，根據(jù)疊原理：（1）處有均勻的，必有均勻的，處當(dāng)然有電荷，因此：內(nèi)球 外球 電勢差 腔內(nèi) （r）殼外 （r）（2）處有，處有，處有，因此：內(nèi)球 外球 電勢差 腔內(nèi) （r）殼外 （r）（3）處有，處有，外球殼接地，外球殼，處無電荷。內(nèi)球 電勢差 腔內(nèi) （r）殼外 （r）（4）內(nèi)球接地電勢為零，內(nèi)球帶，處有，處有，先求，因?yàn)?解得 內(nèi)球 外球 腔內(nèi) （r）殼外 124、勻強(qiáng)電場中電勢差與場強(qiáng)的關(guān)系圖1-2-

15、3場強(qiáng)大小和方向都相同的電場為勻強(qiáng)電場，兩塊帶等量異種電荷的平板之間的電場可以認(rèn)為是勻強(qiáng)電場，它的電場線特征是平行、等距的直線。場強(qiáng)與電勢雖然都是反映場強(qiáng)本身性質(zhì)特點(diǎn)的物理量，但兩者之間沒有相應(yīng)的對應(yīng)聯(lián)系，但沿著場強(qiáng)方向電勢必定降低，而電勢階低最快的方向也就是場強(qiáng)所指方向，在勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)E與電勢差U之間滿足這就是說，在勻強(qiáng)電場中，兩點(diǎn)間的電勢等于場強(qiáng)大小和這兩點(diǎn)在沿場強(qiáng)方向的位移的乘積。例4、半徑為R的半球形薄殼，其表面均勻分布面電荷密度為的電荷，求該球開口處圓面上任一點(diǎn)的電勢。解： 設(shè)想填補(bǔ)面電荷密度亦為的另半個球面如圖1-2-3所示，則球內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng)均為0，對原半球面開口處圓面上的任

16、一點(diǎn)P而言，也有，而是上、下兩個半球在P點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)、的合成。另據(jù)對稱性易知，、的大小必定相等，而、的合場強(qiáng)為零，說明、均垂直于半球開口平面，故在半球面帶均勻電荷的情況下，它的開口圓面應(yīng)為等勢點(diǎn)，即圓面上任一點(diǎn)的電勢都等于開口圓面圓心點(diǎn)處的電勢。故說明 雖然場強(qiáng)與電勢是描述電場不同方面特性的兩個物理量，它們之間沒有必然的對應(yīng)關(guān)系，但電勢相等的各點(diǎn)構(gòu)成的等勢面應(yīng)與該處的場強(qiáng)方向垂直，利用這個關(guān)系可為求取場強(qiáng)或電勢提供一條有用的解題路徑。1. 3、電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)一般的物體分為導(dǎo)體與電介質(zhì)兩類。導(dǎo)體中含有大量自由電子；而電介質(zhì)中各個分子的正負(fù)電荷結(jié)合得比較緊密。處于束縛狀態(tài)，幾乎沒有自由電荷，而

17、只有束縛電子當(dāng)它們處于電場中時(shí)，導(dǎo)體與電介質(zhì)中的電子均會逆著原靜電場方向偏移，由此產(chǎn)生的附加電場起著反抗原電場的作用，但由于它們內(nèi)部電子的束縛程度不同。使它們處于電場中表現(xiàn)現(xiàn)不同的現(xiàn)象。131、 靜電感應(yīng)、靜電平衡和靜電屏蔽靜電感應(yīng)與靜電平衡把金屬放入電場中時(shí)，自由電子除了無規(guī)則的熱運(yùn)動外，還要沿場強(qiáng)反方向做定向移動，結(jié)果會使導(dǎo)體兩個端面上分別出現(xiàn)正、負(fù)凈電荷。這種現(xiàn)象叫做“靜電感應(yīng)”。所產(chǎn)生的電荷叫“感應(yīng)電荷”。由于感應(yīng)電荷的聚集，在導(dǎo)體內(nèi)部將建立起一個與外電場方向相反的內(nèi)電場（稱附加電場），隨著自由電荷的定向移動，感應(yīng)電荷的不斷增加，附加電場也不斷增圖1-3-1強(qiáng)，最終使導(dǎo)體內(nèi)部的合場強(qiáng)為

18、零，自由電荷的移動停止，導(dǎo)體這時(shí)所處的狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)。處于靜電平衡狀態(tài)下的導(dǎo)體具有下列四個特點(diǎn)：（a）導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零；（b）凈電荷僅分布在導(dǎo)體表面上（孤立導(dǎo)體的凈電荷僅分布在導(dǎo)體的外表面上）；（c）導(dǎo)體為等勢體，導(dǎo)體表面為等勢面；（d）電場線與導(dǎo)體表面處處垂直，表面處合場強(qiáng)不為0。靜電屏蔽靜電平衡時(shí)內(nèi)部場強(qiáng)為零這一現(xiàn)象，在技術(shù)上用來實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽。金屬外殼或金屬網(wǎng)罩可以使其內(nèi)部不受外電場的影響。如圖1-3-1所示，由于感應(yīng)電荷的存在，金屬殼外的電場線依然存在，此時(shí)，金屬殼的電勢高于零，但如圖把外殼接地，金屬殼外的感應(yīng)電荷流入大地（實(shí)際上自由電子沿相反方向移動），殼外電場線消失。可見，接地

19、的金屬殼既能屏蔽外場，也能屏蔽內(nèi)場。在無線電技術(shù)中，為了防止不同電子器件互相干擾，它們都裝有金屬外殼，在使用時(shí)，這些外殼都必須接地，如精密的電磁測量儀器都裝有金屬外殼，示波管的外部也套有一個金屬罩就是為了實(shí)現(xiàn)靜電屏蔽，高壓帶電作用時(shí)工作人員穿的等電勢服也是根據(jù)靜電屏蔽的原理制成。132、 電介質(zhì)及其極化電介質(zhì)電介質(zhì)分為兩類：一類是外電場不存在時(shí)，分子的正負(fù)電荷中心是重合的，這種電介質(zhì) 圖1-3-2稱為非極性分子電介質(zhì)，如、等及所有的單質(zhì)氣體；另一類是外電場不存在時(shí)，分子的正負(fù)電荷中心也不相重合，這種電介質(zhì)稱為極性分子電介質(zhì)，如、等。對于有極分子，由于分子的無規(guī)則熱運(yùn)動，不加外電場時(shí)，分子的取向

20、是混亂的（如圖1-3-2），因此，不加外電場時(shí)，無論是極性分子電介質(zhì)，還是非極性分子電介質(zhì)，宏觀上都不顯電性。電介質(zhì)的極化當(dāng)把介質(zhì)放入電場后，非極性分子正負(fù)電荷的中心被拉開，分子成為一個偶極子；極性分子在外電場作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動，趨向于有序排列。因此，無論圖1-3-3是極性分子還是非極性分子，在外電場作用下偶極子沿外電場方向進(jìn)行有序排列（如圖1-3-3），在介質(zhì)表面上出現(xiàn)等量異種的極化電荷（不能自由移動，也不能離開介質(zhì)而移到其他物體上），這個過程稱為極化。極化電荷在電介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一個與外電場相反的附加電場，因此與真空相比，電介質(zhì)內(nèi)部的電場要減弱，但又不能像導(dǎo)體一樣可使體內(nèi)場強(qiáng)削弱到處處為零。減弱的

21、程度隨電介質(zhì)而不同，故物理上引入相對介電常數(shù)來表示電介質(zhì)的這一特性，對電介質(zhì)均大于1，對真空等于1，對空氣可近似認(rèn)為等于1。真空中場強(qiáng)為的區(qū)域內(nèi)充滿電介質(zhì)后，設(shè)場強(qiáng)減小到E，那么比值就叫做這種電介質(zhì)的介常數(shù)，用表示，則引入介電常數(shù)后，極化電荷的附加電場和總電場原則上解決了。但實(shí)際上附加電場和總電場的分布是很復(fù)雜的，只有在電介質(zhì)表現(xiàn)為各向同性，且對稱性極強(qiáng)的情況下，才有較為簡單的解。如：點(diǎn)電荷在電介質(zhì)中產(chǎn)生的電場的表達(dá)式為：電勢的表達(dá)式為： 庫侖定律的表達(dá)式為： 例5、有一空氣平行板電容器，極板面積為S，與電池連接，極板上充有電荷和，斷開電源后，保持兩板間距離不變，在極板中部占極板間的一半體積的

22、空間填滿（相對）介電常 圖1-3-4數(shù)為的電介質(zhì)，如圖1-3-4所示。求：（1）圖中極板間a點(diǎn)的電場強(qiáng)度？（2）圖中極板間b點(diǎn)的電場強(qiáng)度？（3）圖中與電介質(zhì)接觸的那部分正極板上的電荷？（4）圖中與空氣接觸的那部分正極板上的電荷？ （5）圖中與正極板相接觸的那部分介質(zhì)界面上的極化電荷？解： 設(shè)未插入電介質(zhì)時(shí)平行板電容器的電容為，則（1） （2）（3）（4） （5）因故 圖1-3-5解得 負(fù)號表示上極板處的極化電荷為負(fù)。133 電像法電像法的實(shí)質(zhì)在于將一給定的靜電場變換為另一易于計(jì)算的等效靜電場，多用于求解在邊界面（例如接地或保持電勢不變的導(dǎo)體）前面有一個或一個以上點(diǎn)電荷的問題，在某些情況下，從邊

23、界面和電荷的幾何位置能夠推斷：在所考察的區(qū)域外，適當(dāng)放幾個量值合適的電荷，就能夠模擬所需要的邊界條件。這些電荷稱為像電荷，而這種用一個帶有像電荷的、無界的擴(kuò)大區(qū)域，來代替有界區(qū)域的實(shí)際問題的方法，就稱為電像法。例如：一無限大接地導(dǎo)體板A前面有一點(diǎn)電荷Q，如圖1-3-5所示，則導(dǎo)體板A有（圖中左半平面）的空間電場，可看作是在沒有導(dǎo)體板A存在情況下，由點(diǎn)電荷Q與其像電荷-Q所共同激發(fā)產(chǎn)生。像電荷Q的位置就是把導(dǎo)體板A當(dāng)作平面鏡時(shí)，由電荷Q在此鏡中的像點(diǎn)位置。于是左半空間任一點(diǎn)的P的電勢為式中和分別是點(diǎn)電荷Q和像電荷-Q到點(diǎn)P的距離，并且圖1-3-6o，此處d是點(diǎn)電荷Q到導(dǎo)體板A的距離。電像法的正確

24、性可用靜電場的唯一性定理來論證，定性分析可從電場線等效的角度去說明。一半徑為r的接地導(dǎo)體球置于電荷q的電場中，點(diǎn)電荷到球心的距離為h，球上感應(yīng)電荷同點(diǎn)電荷q之間的相互作用也可以用一像電荷替代，顯然由對稱性易知像電荷在導(dǎo)體球的球心O與點(diǎn)電荷q的連線上，設(shè)其電量為，離球心O的距離為，如圖1-3-6所示，則對球面上任一點(diǎn)P，其電勢整理化簡得要使此式對任意成立，則必須滿足解得 圖1-3-7對（2）中情況，如將q移到無限遠(yuǎn)處，同時(shí)增大q，使在球心處的電場保持有限（相當(dāng)于勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)），這時(shí)，像電荷對應(yīng)的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個電偶極子，其電偶極矩。無限遠(yuǎn)的一個帶無限多電量的

25、點(diǎn)電荷在導(dǎo)體附近產(chǎn)生的電場可看作是均勻的，因此一個絕緣的金屬球在勻強(qiáng)電場中受感應(yīng)后，它的感應(yīng)電荷在球外空間的作用相當(dāng)于一個處在球心，電偶極矩為的電偶極子。例6、在距離一個接地的很大的導(dǎo)體板為d的A處放一個帶電量為的點(diǎn)電荷（圖1-3-7）。 （1）求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)P點(diǎn)（）產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。（2）求板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，已知點(diǎn)與P點(diǎn)以導(dǎo)體板右表面對稱。（3）求證導(dǎo)體板表面化的電場強(qiáng)度矢量總與導(dǎo)體板表面垂直。（4）求導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對電荷的作用力，（5）若切斷導(dǎo)體板跟地的連接線，再把電荷置于導(dǎo)體板上，試說明這部分電荷在導(dǎo)體板上應(yīng)如何分布才可以達(dá)到靜電平衡（略去邊緣效應(yīng)）。分析：

26、由于導(dǎo)體板很大且接地，因此只有右邊表面才分布有正的感圖1-3-8乙圖1-3-8丙應(yīng)電荷，而左邊接地那一表面是沒有感電荷的。靜電平衡的條件是導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為零，故P點(diǎn)處的場強(qiáng)為零，而P點(diǎn)處的零場強(qiáng)是導(dǎo)體外及表面電荷產(chǎn)生場強(qiáng)疊加的結(jié)果。解： （1）因?yàn)殪o電平衡后導(dǎo)體內(nèi)部合場強(qiáng)為零，所以感應(yīng)電荷在P點(diǎn)的場強(qiáng)和在P點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，方向相反，即圖1-3-8丁 圖1-3-8 戍 方向如圖1-3-8乙，是到P點(diǎn)的距離。（2）由于導(dǎo)體板接地，因此感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體的右邊。根據(jù)對稱原理，可知感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外任意一點(diǎn)處場生的場強(qiáng)一定和感應(yīng)電荷在對稱點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)鏡像對稱（如圖1-3-8丙），即，而，式中為到的距離，

27、因此，方向如圖1-3-8丙所示。（3）根據(jù)（2）的討論將取在導(dǎo)體的外表面，此處的場強(qiáng)由和疊加而成（如圖1-3-8丁所示），不難看出，這兩個場強(qiáng)的合場強(qiáng)是垂直于導(dǎo)體表面的。（4）在導(dǎo)體板內(nèi)取一點(diǎn)和所在點(diǎn)A對稱的點(diǎn)，的場強(qiáng)由和疊加而為零。由對稱可知，A處的和應(yīng)是大小相等，方向相反的（如圖1-3-8戍），所以所受的電場力大小為方向垂直板面向左。（5）因?yàn)楹驮趯?dǎo)體內(nèi)處處平衡，所以+Q只有均勻分布在導(dǎo)體兩側(cè)，才能保持導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。從以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：導(dǎo)體外部的電場分布與等量異種電荷的電場分布完全相似，即感應(yīng)電荷的作用和在與A點(diǎn)對稱的位置上放一個的作用完全等效，這就是所謂的

28、“電像法”。1、4 電容器141、 電容器的電容電容器是以電場能的形式儲存電能的一種裝置，與以化學(xué)能儲存電能的蓄電池不同。任何兩個彼此絕緣又互相靠近的導(dǎo)體，都可以看成是一個電容器，電容器所帶電荷Q與它兩板間電勢差U的比值，叫做電容器的電容，記作C，即電容的意義就是每單位電勢差的帶電量，顯然C越大，電容器儲電本領(lǐng)越強(qiáng)，而電容是電容器的固有屬性，僅與兩導(dǎo)體的形狀、大小位置及其間電介質(zhì)的種類有關(guān)，而與電容器的帶電量無關(guān)。電容器的電容有固定的、可變的和半可變的三類，按極片間所用的電介質(zhì)，則有空氣電容器、真空電容器、紙質(zhì)電容器、陶瓷電容器、滌綸電容器、云母電容器、電解電容器等。每個電容器的型號都標(biāo)明兩個

29、重要數(shù)值：電容量和耐壓值（即電容器所承受的最大電壓，亦稱擊穿電壓）。142、幾種常用電容器的電容（1）平行板電容器 若兩金屬板平行放置，距離d很小，兩板的正對面積為S、兩極板間充滿相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)，即構(gòu)成平行板電容器。設(shè)平行板電容器帶電量為Q、則兩極板間電勢差故電容 （2）真空中半徑為R的孤立導(dǎo)體球的電容由公式可知，導(dǎo)體球的電勢為：因此孤立導(dǎo)體球的電容為地球半徑很大，電容很大，容納電荷的本領(lǐng)極強(qiáng)。（3）同軸圓柱形電容器高H、半徑的導(dǎo)體圓柱外，同軸地放置高也為H、內(nèi)半徑為的導(dǎo)體筒，當(dāng)H時(shí)，便構(gòu)成一個同軸圓柱形電容器。如果-，則可將它近似處理為平行板電容器，由公式可得其電容為（4）同心球形電

30、容器半徑為的導(dǎo)體球（或球殼）和由半徑為的導(dǎo)體球殼同心放置，便構(gòu)成了同心球形電容器。若同心球形電容器內(nèi)、外球殼之間也充以介電常數(shù)為的電介質(zhì)，內(nèi)球殼帶電量為Q，外球殼帶 -Q電荷，則內(nèi)、外球殼之間的電勢差為 故電容當(dāng)時(shí)，同心球形電容器便成為孤立導(dǎo)體（孤立導(dǎo)分是指在該導(dǎo)體周圍沒有其他導(dǎo)體或帶電體，或者這些物體都接地）球形電容器，設(shè)，則其電容為若孤立導(dǎo)體外無電介質(zhì)，則，即。圖1-4-1例8、如圖2-4-1所示，兩個豎直放置 的同軸導(dǎo)體薄圓筒，內(nèi)筒半徑為R，兩筒間距為d，筒高為L，內(nèi)筒通過一個未知電容的電容器與電動勢U足夠大的直流電源的正極連接，外筒與該電源的負(fù)極相連。在兩筒之間有相距為h的A、B兩點(diǎn)，

31、其連線AB與豎直的筒中央軸平行。在A點(diǎn)有一質(zhì)量為m、電量為-Q的帶電粒子，它以的初速率運(yùn)動，且方向垂直于由A點(diǎn)和筒中央軸構(gòu)成的平面。為了使此帶電粒子能夠經(jīng)過B點(diǎn)，試求所有可供選擇的和值。分析： 帶電粒子從A點(diǎn)射出后，受到重力和筒間電場力的作用。重力豎直向下，使帶電粒子在豎直方向作自由落體運(yùn)動；電場力的方向在垂直筒中央軸的平面內(nèi)，沿徑向指向中央軸。為了使帶電粒子能通過B點(diǎn)，要求它在垂直中央軸的平面內(nèi)以R為半徑作勻速圓周運(yùn)動，這就要求電場力能提供適當(dāng)?shù)南蛐牧Γ磳τ幸欢ㄒ?。為了使帶電粒子?jīng)過B點(diǎn)，還要求它從A點(diǎn)沿AB到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間剛好等于帶電粒子作圓周運(yùn)動所需時(shí)間的整數(shù)倍，亦即對圓周運(yùn)動的速度有

32、一定的要求。解： 帶電粒子重力作用下，從A點(diǎn)自由下落至B點(diǎn)所需的時(shí)間為帶電粒子在垂直于筒中央軸的平面內(nèi)，作勻速圓周運(yùn)動一圈所需的時(shí)間為 為了使帶電粒子經(jīng)過B點(diǎn)，要求由以上三式，得帶電粒子作勻速圓周運(yùn)動（速率，半徑R）所需的向心力由電場力提供，電場力為此電場力由內(nèi)外筒之間的電場提供。因，近似認(rèn)為內(nèi)外筒構(gòu)成平行板電容器，其間是大小相同的徑向電場E，設(shè)內(nèi)外筒電勢差為，則帶電粒子所受電場力應(yīng)為由以上兩式，得代入，得 因?yàn)閮?nèi)、外筒電容器與串聯(lián)，故有解得由公式可知，同軸圓柱形電容器電容代入，得 這就是全部可供選擇的。143、 電容器的連接電容器的性能有兩個指標(biāo)；電容和耐壓值。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，當(dāng)這兩個指標(biāo)不能滿足要求時(shí)，就要將電容器串聯(lián)或并聯(lián)使用。（1）串聯(lián)幾個電容器，前一個的負(fù)極和后一個的正極相連，這種連接方式稱為電容器的串聯(lián)。充電后各電容器的電量相同，即=；第一個電容器的正極與第n個電容器的負(fù)極之間的電U為各電容器電壓之和，即，因此電容器串聯(lián)可以增大耐壓值。用一個電量為Q，電壓為U的等效電容來代替上述n個串聯(lián)的電容器，則電容為（2）并聯(lián)把n個電容器的正極連在一起，負(fù)極連在一起，這種連接方式稱為電容器的并聯(lián)。充電后正極總電量Q等于各電容器正極電量之和，即；正極和負(fù)極之間的電壓U等于各電容器的電壓，即。用一個電量為Q、電