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1、,2,一、重點與難點,重點：,難點：,分式線性變換及其映射特點,分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一些簡單區(qū)域之間的映射,3,二、內(nèi)容提要,共形映射,分式線性映射,一一對應(yīng)性,保角性,保圓性,幾個初等 函數(shù)構(gòu)成 的映射,分式線性映射的確定,對確定區(qū)域的映射,保對稱性,4,1. 的幾何意義,正向之間的夾角.,5,的一條有向光滑曲線,之間的夾角.,6,2) 轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向 無關(guān).,3)保角性,方向不變的性質(zhì), 此性質(zhì)稱為保角性.,夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過,7,4）伸縮率,方向無關(guān). 所以這種映射又具有伸縮率的不變性.,8,2.共形映射（保角映射）,也稱為第一類共形映射
2、.僅保持夾角的絕對值不,變而方向相反的映射, 稱為第二類共形映射,質(zhì): (1) 保角性; (2) 伸縮率不變性.,9,稱為分式線性映射.,任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的,分式映射復(fù)合而成:,3.分式線性映射,10,分式線性映射的性質(zhì),1）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng).,2）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保角性.,11,注意：1. 此時把直線看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點的圓周.,12,4）分式線性映射具有保對稱性.,這一性質(zhì)稱為保對稱性.,13,4.唯一決定分式線性映射的條件,14,判別方法:,對確定區(qū)域的映射,在分式線性映射下, C的內(nèi)部不是映射成,方法1,在分式線性映射下, 如果在圓
3、周C內(nèi)任取,若繞向相反, 則C,方法2,15,分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:,16,5. 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射,17,特殊地:,因此將角形域的張角拉大（或縮?。r，就可利 用冪函數(shù) 所構(gòu)成的共 形映射.,18,如果要把帶形域映射成角形域, 常利用指數(shù)函數(shù).,特殊地:,映射特點:,19,三、典型例題,解1,利用分式線性映射不變交比和對稱點,20,由交比不變性知,21,解2,由對稱點的不變性知，,利用不變對稱點,22,解3,將所求映射設(shè)為,利用典型區(qū)域映射公式,23,例2 求一個分式線性映射 它將圓 映成圓 ,且滿足條件,解,因 映成 的映射為,24,25,例3 求一個分式線性映射 它將圓 映成圓 ，且滿足條件,解,26,與 互為反函數(shù)，,27,故,28,解,29,例5 試證明在映射 下, 互相正交的直線族 與 依此映射成互相正交的直 線族與圓族,證,30,由于過原點的直線與以原點為心的圓正交，,故命題得證.,證畢,31,例6 試將如圖所示的區(qū)域映射
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