1、1,第六章 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化,好的試驗(yàn)方案 以最少的人力物力，獲得更多更全面的化學(xué)信息 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與最優(yōu)化（optimization） 研究在眾多的試驗(yàn)方案中尋找最優(yōu)方案的方法。 最優(yōu)化方法（單目標(biāo)）： 黃金分割法 正交設(shè)計(jì)法 均勻設(shè)計(jì)法 單純形法 線性規(guī)劃法,2,6.1 基本原理,目標(biāo)：衡量試驗(yàn)效果好壞、判斷試驗(yàn)設(shè)計(jì)優(yōu)劣的量 根據(jù)具體工作而定： 在分析測(cè)試中，一般以測(cè)量誤差小為目標(biāo) 在化工合成中，一般以產(chǎn)率高為目標(biāo) 一般進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化 因素：影響試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)值的變量 在光度分析中，如溶液 pH 、顯色劑濃度、溫度等； 在化工合成中，如反應(yīng)物的濃度、反應(yīng)器的大小、溫度、壓力。,3,6.1 基本原理,一

2、般選擇主要因素（可用因素分析來(lái)確定）來(lái)進(jìn)行優(yōu)化 水平：因素在試驗(yàn)中的取值 如用原子吸收分光光度法測(cè)定 Cu 時(shí)，在選擇試驗(yàn)條件時(shí)，若設(shè)燈電流分別為 1mA、2mA、3mA、4mA，狹縫寬度分別為0.1mm、0.2mm、0.4mm，則燈電流因素有四個(gè)水平，狹縫寬度因素有三個(gè)水平。 約束條件：某因素所能取的水平值的變化范圍,4,單因素優(yōu)化,通過(guò)試驗(yàn)比較該因素各水平對(duì)目標(biāo)的影響，從而找出該因素的最佳水平，如黃金分割法。 當(dāng)存在多個(gè)因素時(shí)，將其它因素固定在某個(gè)水平上，只改變某一個(gè)因素的水平進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)這個(gè)因素優(yōu)化后，再優(yōu)化下一個(gè)因素，從而完成對(duì)所有因素的優(yōu)化工作。 優(yōu)點(diǎn)：數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單、直觀； 缺點(diǎn)：不

3、能全面反映化學(xué)過(guò)程的本質(zhì)，在因素間存在交互作用時(shí)，得到的結(jié)果是不準(zhǔn)確的。,5,多因素優(yōu)化,同時(shí)對(duì)影響目標(biāo)值的多個(gè)因素安排試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果分析，可對(duì)多個(gè)因素同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。 優(yōu)點(diǎn)：克服了單因素優(yōu)化的缺點(diǎn)，能夠發(fā)現(xiàn)因素之間的交互作用。 正交設(shè)計(jì) 均勻設(shè)計(jì) 線性規(guī)劃 缺點(diǎn)：數(shù)據(jù)處理比較復(fù)雜。,6,對(duì)與目標(biāo)有關(guān)的因素及因素水平進(jìn)行預(yù)先規(guī)劃，根據(jù)規(guī)劃的方案同時(shí)對(duì)各因素及因素水平進(jìn)行試驗(yàn)，然后以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析比較，從而找出最佳試驗(yàn)條件。 如正交設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)等。,同時(shí)試驗(yàn)法,7,對(duì)各因素的某水平先進(jìn)行一次或少數(shù)幾次試驗(yàn)，分析這少數(shù)幾次試驗(yàn)的目標(biāo)值，根據(jù)這些試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)值的優(yōu)劣，推斷下次試驗(yàn)各因素應(yīng)取的水平

4、。下一次的水平值取決于上一次的試驗(yàn)結(jié)果。 如單純形法、黃金分割法等。,序貫試驗(yàn)法,8,通過(guò)計(jì)算或試驗(yàn)來(lái)尋找目標(biāo)達(dá)到極值時(shí)各因素應(yīng)取的水平。 解析法最優(yōu)化 已知目標(biāo)函數(shù)，直接用數(shù)學(xué)方法求出極值條件； 未知目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出近似關(guān)系式后，再用數(shù)學(xué)方法求極值條件。 試驗(yàn)法優(yōu)化 使用合適的方法，通過(guò)一系列試驗(yàn)，找出使目標(biāo)最優(yōu)的各因素的水平。,最優(yōu)化計(jì)算,9,基本思路 以最快的步長(zhǎng)逐步縮小考查的實(shí)驗(yàn)條件范圍，直至找到使目標(biāo)值達(dá)到最優(yōu)的條件。 二分法、三分法？ 黃金分割法 特點(diǎn)：原始線段的左、右黃金分割點(diǎn)分別是余下線段的右黃金分割點(diǎn)和左黃金分割點(diǎn)。,6.2 黃金分割法（Golden Sectio

5、n）,10,斐波拉契（Fibonacci）數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、 任何一個(gè)數(shù)字都是前面兩數(shù)字的總和，而前后兩數(shù)之比逐漸趨近于 黃金分割率0.618。 黃金分割率的準(zhǔn)確值為 黃金分割率 （黃金分割率 + 1）= 1 黃金分割角 （2-20.618），約為137.5,黃金分割率,11,解析法 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的具體表達(dá)式 y = f(x) 或通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出的擬合曲線（近似表達(dá)式），進(jìn)行優(yōu)化。 作業(yè)：將第二章中的多項(xiàng)式曲線擬合程序與本程序合成為一個(gè)完整的程序。 循環(huán)試驗(yàn)法 通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到給定試驗(yàn)點(diǎn)處的目標(biāo)值，進(jìn)行優(yōu)化。,6.2 黃金分割法,12,實(shí)際

6、問(wèn)題是一般都是非常復(fù)雜的，存在著多因素、多水平的影響。 如果將各因素的各水平互相搭配，進(jìn)行全面試驗(yàn)來(lái)找出各因素的最佳水平，試驗(yàn)次數(shù)太多，將花費(fèi)大量人力、物力和時(shí)間。 例如，某一試驗(yàn)的影響因素有 3 種，每種因素可取 7 個(gè)水平，那么全面試驗(yàn)的次數(shù)是 73 = 343 次。,正交設(shè)計(jì)（試驗(yàn)）Orthogonal Design,13,因此，我們應(yīng)當(dāng)在影響試驗(yàn)效果的前提下，盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù)，而不必做全面試驗(yàn)。 單因素輪換法？ 正交設(shè)計(jì)就是解決這個(gè)問(wèn)題的有效方法。,正交設(shè)計(jì)（試驗(yàn)）,14,一種特制的表格,正交表,15,正交表的記號(hào) 正交表的性質(zhì)特點(diǎn) 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的。 在任意兩列中

7、，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成一個(gè)有序數(shù)對(duì)時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的。,正交表,16,用正交表來(lái)安排試驗(yàn)的方法，就稱為正交試驗(yàn)法。 正交表的性質(zhì)特點(diǎn)決定了用它來(lái)安排試驗(yàn)時(shí)，各因素、各水平出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，搭配是均衡的。 因此，正交試驗(yàn)?zāi)軌虻湫偷卮砣嬖囼?yàn)。 例：某煉鐵廠為提高鐵水溫度，通過(guò)試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案。各影響因素和水平如下：,正交試驗(yàn),17,正交試驗(yàn),通過(guò)簡(jiǎn)單的極差分析可知，影響因素從主到次依次為CAB，最佳條件為A3B2C2,18,明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考核的試驗(yàn)?zāi)繕?biāo) 根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考察的各因素及其水平 先初步分析，選出主要因素，略去次要因素 選用合適的正交表，安排試驗(yàn)計(jì)劃 首先

8、根據(jù)水平數(shù)選擇相應(yīng)水平的正交表。 同水平的正交表有多個(gè)，選擇時(shí)一般只要正交表中列號(hào)比試驗(yàn)因素相等或稍大即可。 根據(jù)安排的計(jì)劃進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)定各試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)值 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析，得出合理的結(jié)論,正交試驗(yàn)法的步驟,19,混合水平是指各因素的水平數(shù)不完全相等。 混合水平正交表，如 L8(4124) 沒(méi)有合適的正交表時(shí)，采用擬水平法。,混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),20,交互作用是指因素之間互相影響。 例：某試驗(yàn)田農(nóng)作物的氮肥、磷肥施用效果 在實(shí)際工作中，交互作用經(jīng)常遇到，但如果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小，則可以忽略不計(jì)。 例：電化學(xué)系統(tǒng)中一個(gè)穩(wěn)定電極的富集時(shí)間和富集電位之間的交互作用可不考慮。,有交互

9、作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),21,交互作用表，例如 L8(27) 對(duì)應(yīng)的交互作用表,有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),22,例：某產(chǎn)品產(chǎn)率受A、B、C三個(gè)因素影響,有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),23,從極差分析看，影響最大的因素是 C，取 C2 好；其次是 AB，取 (AB)2 好；第 3 是因素A，取 A1 好；第 4 是因素 B，取 B1 好。 但因素 B 的影響最小，1 水平與 2 水平的差別不大，而 AB 是 2 水平好，且它的影響比 B 大得多，因此 綜合考慮最優(yōu)條件為 A1B2C2。這個(gè)方案實(shí)際上直接從試驗(yàn)結(jié)果就可得到驗(yàn)證。 要說(shuō)明的是，在這里只考慮了二個(gè)因素互相間的交互作用，而一般不考慮 A、B、C

10、 三因素間的交互作用 ABC。,有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),24,拉丁方 正交拉丁方,正交表的構(gòu)造,25,3 水平正交表的構(gòu)造,正交表的構(gòu)造,26,計(jì)算總差方和與相應(yīng)的自由度 計(jì)算各因素差方和與相應(yīng)的自由度 計(jì)算試驗(yàn)誤差差方和與相應(yīng)的自由度 求 F 統(tǒng)計(jì)量 F 檢驗(yàn),正交試驗(yàn)的方差分析,27,從 1968 年Ernst 將它引入化學(xué)研究以來(lái)，單純形法在化學(xué)化工生產(chǎn)、研究中得到了大量的應(yīng)用和發(fā)展。 它是一種以圖形變換為基礎(chǔ)的優(yōu)選方法。 它是序貫試驗(yàn)優(yōu)化法，通過(guò)對(duì)上一次試驗(yàn)的目標(biāo)值的分析，來(lái)確定下一次試驗(yàn)條件。 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便，不受因素?cái)?shù)目限制，對(duì)因素?cái)?shù)較多的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題尤為適用。,單純形法,28,

11、是指 n 維空間的一種凸圖形，它的頂點(diǎn)數(shù)僅比空間的維數(shù)多 1，即有 n+1 個(gè)頂點(diǎn)。 一維空間單純形是線段，二維空間單純形是三角形，在三維空間單純形為四面體。 各條邊長(zhǎng)相等的單純形稱為正規(guī)單純形。如等邊三角形是二維的正規(guī)單純形，正四面體是三維的正規(guī)單純形。,單純形（Simplex）,29,每個(gè)頂點(diǎn)可用對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)表示。如三角形三個(gè)頂點(diǎn)可用坐標(biāo)（x11, x12）、（x21, x22）、（x31, x32）來(lái)表示。 那么，在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用來(lái)表示各因素的水平取值；該頂點(diǎn)就表示在該條件下的一次試驗(yàn)。 如：設(shè)有兩因素，溫度 t，水平為10, 20, 30, 壓力 p，水平為 100,

12、150, 200, 。則單純形的頂點(diǎn)可表示為 (10, 100), (10, 150), (20, 100), ,單純形（Simplex）,30,基本單純形尋優(yōu)過(guò)程圖解,31,基本單純形法的特點(diǎn)是： 一旦初始單純形確定，尋優(yōu)過(guò)程的步長(zhǎng)也就固定了。因此，如果步長(zhǎng)較大，則尋優(yōu)速度較快，試驗(yàn)次數(shù)少，但在最優(yōu)點(diǎn)處的精度較差；反之，如果步長(zhǎng)較小，則尋優(yōu)速度較慢，試驗(yàn)次數(shù)多，但在最優(yōu)點(diǎn)處的精度較好。 初始單純形的確定 需要根據(jù)工作者自己的專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。,基本單純形法,32,初始單純形PBPNPW及反射點(diǎn)PR,PC,改進(jìn)單純形法,PN,PW,PB,PR,33,（1）PR好于PB時(shí)，擴(kuò)張至PE。 PE

13、好于PB時(shí)，新單純形為PEPBPN。,PC,改進(jìn)單純形法,PN,PW,PB,PE,34,否則，新單純形為PRPBPN。 （2）PR差于PB、好于PN時(shí)，新單純形為PBPRPN。,改進(jìn)單純形法,PN,PB,PR,PE,35,（3） PR差于PN、好于PW時(shí)，壓縮至PS。 PS好于PW時(shí)，則新單純形為PBPNPS。 否則，只有改變初始單純形的形狀。,PC,改進(jìn)單純形法,PN,PW,PB,PS,PR,36,（4） PR差于PW時(shí)，壓縮至PT。 PT好于PW時(shí)，則新單純形為PBPNPT。 否則，只有改變初始單純形的形狀。,PC,改進(jìn)單純形法,PN,PW,PB,PT,PR,37,氫化物分離富集 X 射線

14、熒光光譜測(cè)定痕量錫，為獲得最佳富集效率，需確定下列影響因素的最佳條件。 解：因考察的因素為 2 個(gè)，故單純形頂點(diǎn)數(shù)為 3。這三個(gè)頂點(diǎn)的初始值分設(shè)為（5, 15）、（3, 15）、（5, 11.2），進(jìn)行尋優(yōu)。,例6-3,38,約束條件與目標(biāo)函數(shù)都是線性函數(shù) 在約束條件下進(jìn)行優(yōu)化 圖解法 只有兩個(gè)變量時(shí) 單純形解法 變量多于兩個(gè)時(shí),線性規(guī)劃法Line Programming,39,線性規(guī)劃的圖解法,40,線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式,max 約束條件,41,線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式,當(dāng)線性規(guī)劃不是標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)形式。 1. 要求目標(biāo)函數(shù)有極小值時(shí)，min 則建立新的目標(biāo)函數(shù) max,42,線性規(guī)劃的

15、標(biāo)準(zhǔn)形式,當(dāng)線性規(guī)劃不是標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)形式。 2. 約束條件中有不等式時(shí)， A. 對(duì)“”引入松弛變量（xni）使原不等式變?yōu)榈仁健?B. 對(duì)“”引入剩余變量（xnj）使原不等式變?yōu)榈仁健?3. 對(duì)于每一個(gè)沒(méi)有約束的變量（自由變量），則引入兩個(gè)新的變量將其消去。,43,線性規(guī)劃的單純形解法,1. 將線性規(guī)劃表示成標(biāo)準(zhǔn)形式，將目標(biāo)函數(shù)和約束條件統(tǒng)一成一個(gè)線性方程組。 2. 在此方程組中，選擇值為負(fù)、絕對(duì)值最大的系數(shù)。 3. 從與此系數(shù)同一列的系數(shù)中，選出所有正系數(shù)，計(jì)算出與對(duì)應(yīng)的右邊常數(shù)之比。將其比值最小的系數(shù)選為主元素。如果該列中沒(méi)有正系數(shù)，則沒(méi)有最優(yōu)解。 4. 進(jìn)行主元素消元。 5. 重復(fù)2至4步，直到方程組中無(wú)負(fù)系數(shù)。 則使目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)值x0最大的一組解，即是所要求的最優(yōu)解。,44,某工廠現(xiàn)有原料銅8噸，鋁10噸，錫15噸。生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，其利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元/噸、5萬(wàn)元/噸、4萬(wàn)元/噸。每噸產(chǎn)品A需原料銅200公斤，錫300公斤；每噸產(chǎn)品B需原料銅300公斤，鋁200公