1、1,第四章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,上海交通大學(xué)自動(dòng)化系 田作華 Z,2,第一節(jié) 穩(wěn)定性的基本概念 一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果一個(gè)線性定常系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后，能夠恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是收斂的，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 反之，若系統(tǒng)不能恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)具有等幅震蕩或發(fā)散性質(zhì)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,第四章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,3,例： 穩(wěn)定系統(tǒng) 不穩(wěn)定系統(tǒng) 定義表明：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自 身的固有特性，而與外界條件無(wú)關(guān)。 設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零，輸入為單位脈沖函 數(shù)，即R（S）=1。當(dāng)t0時(shí)， =0，這相當(dāng)于系 統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離原平衡工作

2、點(diǎn) 的問題。若時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng) 即輸出增量收斂于原平衡工作點(diǎn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定 。,4,二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 令 為系統(tǒng)特征方程 的根，而 彼此不等。干擾為理想脈沖函數(shù)： 則,5,上式表明： 1。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部（和均小于 零），即特征根的位置分布在S平面的左半部時(shí)，才能成 立，此時(shí)系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系 統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2。若特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)部根，即根的位 置分布在S平面的右半部，則，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定； 3。若特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上實(shí)部的根為零（虛 根），即根的位置正好分布在S平面的虛軸上，而其余的根 均

3、位于S平面的左半部，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，輸出 呈等幅振蕩，系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)消失后也不能恢復(fù)到原來的平 衡位置，按照穩(wěn)定性定義，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。,6,結(jié)論： 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具 有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的 極點(diǎn)均分布在平面的左半部。,7,系統(tǒng)是否穩(wěn)定 特征方程根的分布 方程的系數(shù) 。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)特征方程的系數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一種判據(jù)，它避免了直接求特征方程根的繁瑣過程。勞斯穩(wěn)定判據(jù)一般簡(jiǎn)稱為勞斯判據(jù)。,第二節(jié) 勞斯穩(wěn)定判據(jù),8,設(shè) 線性系統(tǒng)的特征方程為： 由代數(shù)知識(shí)可知：方程的所有根均分布在左半平面的必要條件是： 特征方程所有系數(shù)均

4、為正數(shù)。(若均為負(fù)數(shù)，方程兩邊同乘以-1，使之也變?yōu)檎龜?shù))，即 若特征方程中任一系數(shù)為負(fù)或缺項(xiàng)（系數(shù)為零），則可斷定此系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。,9,1勞斯判據(jù) 應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性步驟： 第一步：將特征方程式 的系數(shù)按下列規(guī)則排成兩行，即 第二步：建立勞斯表（又叫勞斯陣列）。 例：五階系統(tǒng)，其特征方程：,10,第三步：根據(jù)勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 勞斯判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 勞斯表中第一列各值為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表中第一列出現(xiàn)負(fù)值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且實(shí)部為正（即分布在平面右半部）的根的數(shù)目，等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。,11,例：系統(tǒng)的特征方程： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)

5、定性。 解：列出勞斯表 勞斯表中第一列元素?zé)o符號(hào)變化，說明該系統(tǒng)特征方程沒有正實(shí)部根，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,12,例：系統(tǒng)的特征方程為： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解: 列出勞斯表 因?yàn)閯谒贡碇械谝涣性氐姆?hào)變化兩次，說明 該系統(tǒng)有兩個(gè)特征方程的根在右半s平面，所以系統(tǒng) 不穩(wěn)定。,13,2勞斯判據(jù)的兩種特殊情況 （1）勞斯表中某一行第一項(xiàng)元素為零，其余項(xiàng)不為零或不全為零，此時(shí)，用一個(gè)任意小的正數(shù) 代替這個(gè)零，然后按通常的規(guī)則繼續(xù)完成勞斯表中其余各項(xiàng)元素的計(jì)算。如果零（ ）上面這項(xiàng)系數(shù)符號(hào)與零（ ）下面這項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相反，表明這里有一個(gè)符號(hào)變化。 例：特征方程如下： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解：

6、列出勞斯表,14,勞斯表中第一列元素符號(hào)的變化兩次， 說明特征方程有兩個(gè)正實(shí)部的根，所以系統(tǒng)不 穩(wěn)定。,15,（2）某一行元素全為零 在勞斯表中，如果出現(xiàn)某一行元素全為零，說明特征方程存在大小相等符號(hào)相反的實(shí)根和（或）共軛虛根，或者共軛復(fù)根。 此時(shí)，可用全零行上面一行的元素構(gòu)造一個(gè)輔助方程，利用輔助方程對(duì)s的求導(dǎo)后得到的方程系數(shù)代替全零行的元素，然后再按通常的規(guī)則完成勞斯表中其余各項(xiàng)元素的計(jì)算。輔助方程的次數(shù)總是偶數(shù)，所有那些數(shù)值相同符號(hào)相異的根都可由輔助方程求得。,16,例 系統(tǒng)特征方程為： 試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。 解：列出勞斯表 勞斯表中 行元素全為零，這時(shí)可用全零行上面一 行（ 行）

7、的元素構(gòu)造一個(gè)輔助方程： 將輔助方程A(s)對(duì)變量 s 求導(dǎo)，得 新方程，并用 新方程的系數(shù)代替全零行的元素。,17,求解輔助方程A(s)=0得到 說明此特征方程有一對(duì)共軛根分布在虛軸上系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 3勞斯判據(jù)的應(yīng)用 勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 問題： 1。這種判據(jù)并不能指出如何使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。 2。如果采用勞斯表判別出的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，它也不能表明系統(tǒng)一定具備滿意的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。即：勞斯判據(jù)不能表征特征方程在左半面的根相對(duì)于虛軸的距離。,18,例： 確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T值。 解: 系統(tǒng)的特征方程為 列出勞斯表 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，第一列元素的符號(hào)均應(yīng)大于零 由此得： 1。 即： 2。,19,則穩(wěn)定條件為： , 0 K ,20,例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為： 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分析有幾個(gè)根位于垂線 與虛軸