1、2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì),新知探求,課堂探究,新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成,知識點(diǎn)一,問題1:類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),你認(rèn)為可以討論拋物線哪些幾何性質(zhì)? 答案:可以討論拋物線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì). 問題2:與橢圓、雙曲線相比較,拋物線的幾何性質(zhì)有哪些不同? 答案:拋物線只有一條對稱軸、一個(gè)頂點(diǎn),它沒有對稱中心,拋物線的離心率是常數(shù)1.,拋物線的幾何性質(zhì),梳理,(0,0),y=0,x=0,1,知識點(diǎn)二,梳理已知AB是拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)(如圖),則有:,拋物線的焦點(diǎn)弦,梳理設(shè)直線方程為y=kx+b,拋物

2、線方程為y2=2px(p0),兩方程聯(lián)立并消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0. (1)當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線的對稱軸平行(b=0時(shí)重合),直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn); (2)當(dāng)k0時(shí),若0,直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn);若=0,直線與拋物線相切,有一個(gè)公共點(diǎn); 若0,直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).,知識點(diǎn)三,直線與拋物線的位置關(guān)系,名師點(diǎn)津:拋物線的幾何性質(zhì),只要與橢圓、雙曲線加以對照,很容易把握,但由于拋物線的離心率等于1.,題型一,拋物線的幾何性質(zhì),課堂探究 素養(yǎng)提升,【例1】 已知正三角形AOB的一個(gè)頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)A,B在拋物線y2=2px(p0)上,求這個(gè)三角

3、形的邊長.,方法技巧 若等腰三角形的頂點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,則這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.,即時(shí)訓(xùn)練1:等腰RtABO內(nèi)接于拋物線y2=2px(p0),O為拋物線的頂點(diǎn),OAOB,則ABO的面積是() (A)8p2(B)4p2(C)2p2(D)p2,題型二,直線與拋物線的位置關(guān)系,【例2】 已知直線l:y=k(x+1)與拋物線C:y2=4x.問:k為何值時(shí),直線l與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、無交點(diǎn)?,方法技巧 探究直線和拋物線的位置關(guān)系時(shí),由于消元后所得的方程中含參數(shù),因此要注意分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況討論,然后再對判別式進(jìn)行討論.,題型三,拋物線的焦點(diǎn)弦

4、,【例3】 (2018包頭高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;,(2)設(shè)|FA|=2|BF|,求直線l的方程.,方法技巧 有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦點(diǎn)在x軸正半軸),若不過焦點(diǎn),則必須用弦長公式.,即時(shí)訓(xùn)練2:(2018河北高二質(zhì)檢)如圖所示,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)P(2,0),且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn). (1)求x1x2與y1y2的值

5、;,(2)求證:OMON.,題型四,拋物線中的定點(diǎn)、定值問題,【例4】(2018長春高二檢測)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8. (1)求動圓圓心的軌跡C的方程;,(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是PBQ的角平分線,證明直線l過定點(diǎn).,方法技巧 (1)圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系,找到定點(diǎn). 特殊到一般法:根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān). (2)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 求代數(shù)式為定值

6、.依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值. 求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、變形求得. 求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.,【備用例2】 設(shè)拋物線C:y2=4x,F為C的焦點(diǎn),過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn). (1)設(shè)l的斜率為1,求|AB|的大小;,題型五,易錯(cuò)辨析對直線與拋物線的公共點(diǎn)認(rèn)識不清致誤,錯(cuò)解:選A 糾錯(cuò):只考慮斜率存在的情況,忽視斜率不存在及直線平行于拋物線對稱軸時(shí)的兩種情形. 正解:易知過點(diǎn)(0,1),斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線

7、y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+1,再與y2=4x聯(lián)立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,當(dāng)k=0時(shí),方程是一次方程,有一個(gè)解,滿足一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k0時(shí),由=0可得k值有一個(gè),即有一個(gè)公共點(diǎn),所以滿足題意的直線有3條.故選C.,【例5】 過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有() (A)1條(B)2條(C)3條(D)0條,學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)分享區(qū) 直線與拋物線的位置關(guān)系的常見類型及解題策略 (1)求線段長度和線段之積(和)的最值.可依據(jù)直線與拋物線相交,依據(jù)弦長公式,求出弦長或弦長關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),然后利用基本不等式或利用函數(shù)的知識,求函數(shù)的最值;也可利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的