1、金凱國(guó)家訓(xùn)練隊(duì)論文第1頁，共12頁？金凱長(zhǎng)君中學(xué)？在平面幾何問題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些求極值的問題。在這些問題中，自變量和目標(biāo)函數(shù)可能涉及一些復(fù)雜的量，如坐標(biāo)、斜率、長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積等。而自變量往往有一些復(fù)雜的約束條件，所以用函數(shù)直接求極值的方法是不可行的或極其復(fù)雜的。在這些問題中，變量通常有無限多個(gè)值方案(例如，一個(gè)點(diǎn)的值范圍可能是整個(gè)平面或在一條直線上)，因此不可能枚舉每個(gè)值方案來找到最大值，然后通常有可能通過？證明了當(dāng)自變量取一些非特殊值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)不可能是最優(yōu)的，因?yàn)榇藭r(shí)？一個(gè)？1可以使目標(biāo)函數(shù)的值更好，從而使有限數(shù)量的特殊情況可能成為最優(yōu)解，并且目標(biāo)函數(shù)可以通過枚舉所有特殊情況

2、來找到。就這樣。在其他類似的問題中，我們可以通過枚舉有限數(shù)量的值來找到最優(yōu)解，但是枚舉非常大并且時(shí)間復(fù)雜度很高。我們也可以嘗試通過極限方法大大減少對(duì)枚舉的需求，從而降低時(shí)間復(fù)雜度。以上是極限方法的一般思想，其？簡(jiǎn)而言之，是嗎？極限方法有許多應(yīng)用實(shí)例，如經(jīng)典的最小矩形覆蓋3問題，它證明了最小矩形的一條邊必須經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)，從而大大減少了要枚舉的矩形數(shù)。然而，極限方法確實(shí)很難使用，有時(shí)它很難證明，它可能很復(fù)雜，或者它可能不知道如何調(diào)整它，而且它需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，如三角函數(shù)。因此，有必要以扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、較強(qiáng)的觀察能力和必要的經(jīng)驗(yàn)來掌握它。讓我們用極限方法來解決一些典型的問題，并通過實(shí)例分析逐步了

3、解極限方法的使用和用法。？1例如，旋轉(zhuǎn)一個(gè)無限小的角度，稍微移動(dòng)一個(gè)無限小的距離。本文中的“跡”是指無窮小量：只要變化足夠小，點(diǎn)的相對(duì)位置和線段的交點(diǎn)就不能改變。極限方法的本質(zhì)是推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)。如果導(dǎo)數(shù)不是0，獨(dú)立變量不在域的邊界，它就不是最優(yōu)值。這就是為什么它被稱為“極限方法”。平面上有n個(gè)已知點(diǎn)，所以找一個(gè)面積最小的矩形，這樣所有已知點(diǎn)都在矩形內(nèi)。？提問描述：提問描述：？數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型？已知數(shù)量，已知數(shù)量？約束約束？目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)？問題分析：?jiǎn)栴}分析？魯魯羅。是的，但是是的，但是？頂點(diǎn)的最短分割線，然后頂點(diǎn)的最短分割線，然后呢？然后呢。兩個(gè)夾角必須相等。兩個(gè)夾角必須相等。？摘要：摘要：？

4、例2，空間站例2，空間站？培訓(xùn)討論問題中有哪些培訓(xùn)討論問題？問題描述：?jiǎn)栴}描述：？數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：？測(cè)試分析：測(cè)試分析：？問？一個(gè)非常小的角度。非常小的角度？只要足夠小，它就可以避免在旋轉(zhuǎn)過程中接觸其他已知點(diǎn)。只要足夠小，它就可以避免在旋轉(zhuǎn)過程中接觸其他已知點(diǎn)。？有限有限？在L上沒有其他已知的點(diǎn)，因?yàn)樗且粋€(gè)軌跡運(yùn)動(dòng)。在L處取點(diǎn)A，在結(jié)論中將A視為V1，并圍繞A對(duì)其進(jìn)行微調(diào)。利用類似的證明方法，得出f(l)不可能是最優(yōu)解，因此f(l)也不可能是最優(yōu)解。滿足結(jié)論的直線集被設(shè)置為E?？梢宰C明|E|是n階的，從E中的一條直線找到下一條直線需要O(n)個(gè)時(shí)間復(fù)雜度(E中的所有直線都可以在旋轉(zhuǎn)一周后

5、找到)，并且計(jì)算一條直線的f值只需要O(n)個(gè)時(shí)間復(fù)雜度，所以總的時(shí)間復(fù)雜度只有O(n2)。4？這個(gè)主題的幾個(gè)證明過程并不復(fù)雜。從本質(zhì)上說，這三個(gè)結(jié)論的證明方法與極限方法密切相關(guān)：通過？證明了某一類直線不可能是最優(yōu)解，l的范圍從所有平面上的直線縮小到通過已知點(diǎn)的直線；通過？證明了剩余的一些直線不可能是最優(yōu)解，從而使自變量L的取值范圍進(jìn)一步縮小到一個(gè)有限的數(shù)。先通過？又來了？從這個(gè)題目中，我們可以看到求解平面優(yōu)化問題的一般規(guī)律：遇到問題后，很容易有這樣一個(gè)猜想：最優(yōu)解滿足某些性質(zhì)嗎？如果滿意，是不是更特別？這樣，我們不斷地提出猜想并試圖證明它們，從而使自變量的取值范圍不斷縮小，直到它不能變小或達(dá)

6、到我們滿意的程度，剩下的工作只能通過列舉和計(jì)算來解決。這些推測(cè)有時(shí)是正確的，有些有反例，有些很明顯，有些很難證明。如何形成猜測(cè)？最簡(jiǎn)單最有效的方法是通過一些簡(jiǎn)單的例子找到一些規(guī)律，只有通過仔細(xì)的觀察我們才能得到直覺和靈感。如何證明這個(gè)猜想？最簡(jiǎn)單的方法是舉幾個(gè)例子來驗(yàn)證。如果有反例，則該猜想失敗，需要對(duì)其進(jìn)行部分修正或提出新的猜想。如果你找不到反例呢？這并不意味著這個(gè)猜想是正確的。它需要分析才能完全證明，而極限是一個(gè)簡(jiǎn)單而實(shí)用的分析工具。前兩個(gè)問題都比較簡(jiǎn)單，都直接提出了正確的猜想，而且證明的方法也很簡(jiǎn)單，但是通常解決問題都不是那么順利，這時(shí)應(yīng)該怎么做呢？讓我們徹底考慮一個(gè)復(fù)雜的實(shí)際問題。？一

7、個(gè)國(guó)家的國(guó)境線是一個(gè)凸多邊形，所以國(guó)王計(jì)劃派人修建四座防御塔。戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后，敵人可能會(huì)偷襲其中一個(gè)防御塔，但一旦受到攻擊，其他三個(gè)防御塔將進(jìn)入戰(zhàn)爭(zhēng)即將來臨的狀態(tài)，它們成對(duì)連接形成的三角形區(qū)域?qū)?huì)完整。狡猾的敵人會(huì)使這個(gè)區(qū)域盡可能小，而精明的國(guó)王希望被敵人摧毀后開始的區(qū)域盡可能大。詳細(xì)的證明和算法請(qǐng)參考我2003年的培訓(xùn)作業(yè)0039問題解決報(bào)告。L l A圖8 IO I2004國(guó)家訓(xùn)練隊(duì)論文金凱第6頁共1 2頁數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：函數(shù)f(A，B，C，D )=m在SA B C，SA B D，SA C D，SB C D在平面上有一個(gè)凸的n邊p。請(qǐng)?jiān)趐的內(nèi)部(或邊界)選擇四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，使f(A，B，C，D)最大。問題分析：?jiǎn)栴}分析：首先，f函數(shù)是尋找四個(gè)量的最小值，這是不容易管理的。四個(gè)三角形中哪個(gè)最小？考慮到平面上的任意四個(gè)點(diǎn)，它們有以下三種排列條件：1 .某三點(diǎn)形成一條直線，此時(shí)F(甲、乙、丙、丁)=0；2.任何三個(gè)