1、2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,1,第五章 抽樣推斷,第三節(jié) 參數(shù)估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,2,統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題的產(chǎn)生,以下情況會(huì)導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題： 需要估計(jì)分布類型的問題 在許多實(shí)際問題中，總體被理解為我們所研究的某個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，它在一定范圍內(nèi)取值，而且以一定的概率取各種可能的值，從而形成一個(gè)概率分布 而這個(gè)概率分布往往未知。如，為了制定綠色食品的有關(guān)規(guī)定，需要研究蔬菜中殘留農(nóng)藥的分布狀況。對(duì)這個(gè)分布我們知之甚少，甚至不清楚它屬于何種類型的分布 需要估計(jì)分布參數(shù)的問題 有時(shí)分布類型已知，如，在農(nóng)民收入調(diào)查中，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和理論分析，可以斷定收入服從正態(tài)分布

2、但分布中的參數(shù)未知，需要估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,3,統(tǒng)計(jì)估計(jì)的類別,統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題專門研究由樣本估計(jì)總體的未知分布或分布中的未知參數(shù)的問題 分為：非參數(shù)估計(jì)和參數(shù)估計(jì) 直接對(duì)總體的未知分布進(jìn)行估計(jì)的問題為非參數(shù)估計(jì) 對(duì)分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，稱為參數(shù)估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,4,參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)估計(jì)問題中的地位,統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法,非參數(shù)估計(jì),參數(shù)估計(jì),點(diǎn)估計(jì),區(qū)間估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,5,參數(shù)估計(jì)的基本方法,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,6,一、估計(jì)量與估計(jì)值,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)

3、分,7,估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量 如樣本均值、樣本比例(成數(shù))、樣本方差等 例如：樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量 估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值 如果樣本均值 x =80，則80就是的估計(jì)值 注：有時(shí)，對(duì)估計(jì)量和估計(jì)值并不刻意區(qū)分，都稱為估計(jì)，根據(jù)上下文很容易明確其指代,估計(jì)量與估計(jì)值 (estimator & estimated value),隨機(jī)變量,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,8,一個(gè)總體參數(shù)的估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,9,二、估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn) 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),所謂優(yōu)良估計(jì)量，是從總體上來評(píng)價(jià)的 對(duì)于總體的同一參

4、數(shù)，可以有不同的估計(jì)量。例如，估計(jì)總體平均指標(biāo)，可以用樣本平均數(shù)，也可以用樣本中位數(shù)，用哪種估計(jì)量更好呢？ 希望選擇一個(gè)相對(duì)優(yōu)良、估計(jì)效果更好的估計(jì)量。 什么樣的估計(jì)量才算是一個(gè)好的估計(jì)量呢？ 這就需要有一定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)計(jì)學(xué)家給出了評(píng)價(jià)估計(jì)量的一些標(biāo)準(zhǔn) 一個(gè)優(yōu)良估計(jì)量主要需要符合下面三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)偏性、有效性、一致性,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,10,(一)無(wú)偏性(unbiasedness),估計(jì)量(隨機(jī)變量)的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù) 中心極限定理證明了：樣本平均數(shù)、樣本成數(shù)都滿足無(wú)偏性,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,11,(二)有效性(efficien

5、cy),對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效,樣本平均數(shù)比中位數(shù)更有效,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,12,(三)一致性(consistency),隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù) 大數(shù)定律已經(jīng)證明了：樣本平均數(shù)和樣本成數(shù)都滿足一致性,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,13,三、總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,14,參數(shù)估計(jì)的方法 點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì),估 計(jì) 方 法,點(diǎn)估計(jì),區(qū)間估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,15,(一)點(diǎn)估計(jì)/定值估計(jì) (point est

6、imate),做法：用樣本估計(jì)量的值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 例：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì) 例：用樣本成數(shù)直接作為總體成數(shù)的估計(jì) 例：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì) 缺點(diǎn)：沒有考慮抽樣誤差的大小，沒有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)的程度，即，它沒有給出一個(gè)用于衡量估計(jì)值的可靠程度的度量 點(diǎn)估計(jì)的方法： 矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等 點(diǎn)估計(jì)方法是區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,16,點(diǎn)估計(jì)缺陷的彌補(bǔ)區(qū)間估計(jì),雖然點(diǎn)估計(jì)可以給出未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)，但不能給出估計(jì)的精度 人們希望利用樣本給出一個(gè)范圍，要求該范圍以足夠大的概率包含待估參數(shù)

7、真值 這就是區(qū)間估計(jì)問題,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,17,(二)區(qū)間估計(jì) (interval estimate),構(gòu)造置信區(qū)間(confidence interval)： 由樣本統(tǒng)計(jì)量加減一個(gè)誤差范圍得到總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間范圍 同時(shí)指出了總體指標(biāo)落在這一區(qū)間范圍內(nèi)的可能性大小，即給出了做出這種結(jié)論的概率保證程度，F(xiàn)(t)/置信度/置信水平(1- ) (confidence level),抽樣極限誤差,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,18,置信區(qū)間的三要素,總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)必須同時(shí)具備三個(gè)要素： 點(diǎn)估計(jì)值（區(qū)間的中心） 抽樣極限誤差（區(qū)間的半徑） 概率保證程度

8、 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,19,區(qū)間估計(jì)的基本原理,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,20,區(qū)間估計(jì)的圖示,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,21,置信區(qū)間與置信水平,均值的抽樣分布,用某一具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè),(1 - ) % 區(qū)間包含了 % 的區(qū)間未包含,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)

9、本科3學(xué)分,22,總體參數(shù)區(qū)間估計(jì)的特點(diǎn)： 根據(jù)給定的概率保證程度的要求，利用實(shí)際抽樣資料，指出總體被估計(jì)值的上限和下限，即指出總體參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍，而不是直接給出總體參數(shù)的估計(jì)值。,總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)必須同時(shí)具備的三個(gè)要素: 點(diǎn)估計(jì)值（區(qū)間的中心） 抽樣誤差范圍（區(qū)間的半徑） 置信水平/概率保證程度（1-）,抽樣誤差范圍決定估計(jì)的精度而概率保證程度則決定估計(jì)的可靠性,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,23,1.實(shí)踐中對(duì)區(qū)間估計(jì)的基本要求 置信度和精確度,置信區(qū)間的各要素給出的含義不同： 說明了區(qū)間估計(jì)的精確性 越小，置信區(qū)間越窄，估計(jì)的精確性越高，但可靠度會(huì)降低 反之， 越

10、大，置信區(qū)間越寬，估計(jì)的精確性越低，但可靠度會(huì)提高 置信度F(t)則說明了區(qū)間估計(jì)的可靠程度 F(t)越高，置信區(qū)間越寬，估計(jì)的可靠性越高，但精確性卻降低了 相反， F(t)越低，置信區(qū)間越窄，估計(jì)的可靠性越低，但精確性卻提高了 由此可見，區(qū)間估計(jì)中精確性與可靠性是互相矛盾的兩個(gè)方面，二者依照一定的聯(lián)系而此消彼長(zhǎng) 因此，在實(shí)踐中，根據(jù)對(duì)精確性和可靠性的要求不同，研究者有時(shí)先主觀確定，有時(shí)先主觀確定F(t),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,24,2.區(qū)間估計(jì)方法,圍繞置信區(qū)間的三要素展開,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,25,區(qū)間估計(jì)做法1,情況1：在已經(jīng)主觀確定了抽

11、樣誤差范圍的情況下進(jìn)行區(qū)間估計(jì) (1)抽取樣本，計(jì)算抽樣指標(biāo)，如計(jì)算樣本平均數(shù)或樣本成數(shù)，作為相應(yīng)總體指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)值，并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差（抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤） (2)根據(jù)給定的抽樣誤差范圍，給出總體參數(shù)估計(jì)的上、下限 (3)將抽樣誤差范圍除以抽樣平均誤差求出概率度t值，再根據(jù)t值查“正態(tài)分布概率表”求出相應(yīng)的置信度F(t),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,26,區(qū)間估計(jì)做法2,情況2：在已經(jīng)主觀確定了置信度F(t)的前提下進(jìn)行區(qū)間估計(jì) （1）抽取樣本，計(jì)算抽樣指標(biāo)，如計(jì)算抽樣平均數(shù)或抽樣成數(shù)作為相應(yīng)總體指標(biāo)的估計(jì)值，并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差以推算抽樣平均誤差 （2）根據(jù)給定的置信

12、度F(t)要求，求得概率度t值 （3）根據(jù)概率度t和抽樣平均誤差來推算的可能范圍，再根據(jù)求出被估計(jì)總體指標(biāo)的上下限，對(duì)總體參數(shù)做區(qū)間估計(jì),2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,27,區(qū)間估計(jì)綜合例題,例某外貿(mào)公司出口一種茶葉，規(guī)定每包規(guī)格不低于150克，現(xiàn)用不重復(fù)抽樣方法從中隨機(jī)抽取1%進(jìn)行檢驗(yàn)，抽檢結(jié)果如表所示：,要求： （1）以允許誤差范圍0.2克，估計(jì)該批茶 葉每包平均重量的區(qū)間及其概率保證程度。 （2）茶葉包裝合格率的誤差范圍不超過 6%，估計(jì)包裝合格率的區(qū)間及其概率 保證程度。 （3）要求以95.45%的概率保證程度， 估計(jì)該批茶葉每包平均重量的區(qū)間。 （4）要求以95.45

13、%的概率保證程度， 估計(jì)該批茶葉的包裝合格率的區(qū)間。,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,28,計(jì)算表,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,29,解答,要求（1）：以允許誤差范圍0.2克，估計(jì)該批茶 葉每包平均重量的區(qū)間及其概率保證程度。 計(jì)算過程為,上限= =150.3+0.2=150.5克 下限= =150.3-0.2=150.1克 查概率表： 該批茶葉每包平均重量落在區(qū)間150.1，150.5克內(nèi)，概率保證程度為97.91%。,要求（2）：茶葉包裝合格率的誤差范圍不超過6%，估計(jì)包裝合格率的區(qū)間及其概率保證程度 計(jì)算過程為： 上限= =70%+6%76% 下限= =7

14、0%-6%64%,查概率表： t1.32時(shí) 該批茶葉的包裝合格率落在區(qū)間64%，76%內(nèi)，概率保證程度為81.32%。,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,33,要求(3)：以95.45%的概率保證程度，估計(jì)該批茶葉每包平均重量的區(qū)間 計(jì)算過程為： 上限= =150.3+0.1734=150.47克 下限= =150.3-0.1734=150.13克 以95.45%的概率保證程度估計(jì)該批茶葉每包平均重量在區(qū)間150.13，150.47內(nèi)。,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,34,要求（4）：以95.45%的概率保證程度，估計(jì)該批茶葉的包裝合格率的區(qū)間 計(jì)算過程為： 上限=

15、 =70%+9.12%79.12% 下限= =70%-9.12%61.88% 以95.45%的概率保證程度估計(jì)該批茶葉包裝合格率的區(qū)間為61.88%，79.12%。,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,35,注意：抽樣平均誤差和抽樣極限誤差的關(guān)系,抽樣平均誤差是客觀存在的，根據(jù)抽樣方法、總體離散度以及n大小可以計(jì)算出來，是抽樣誤差的衡量指標(biāo)之一 抽樣極限誤差是人為規(guī)定的。現(xiàn)實(shí)實(shí)踐中總是通過人為規(guī)定來規(guī)定抽樣推斷的精度大小 和通過概率度t連接到一起：=t 客觀存在，因此人為規(guī)定和人為規(guī)定t或F(t)是等價(jià)的,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,36,區(qū)間估計(jì)方法,詳細(xì)：分各種

16、具體情況的,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,37,總體均值的區(qū)間估計(jì),重點(diǎn)： 一個(gè)總體均值的區(qū)間估計(jì) 大樣本,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,38,總體均值的區(qū)間估計(jì)1,正態(tài)總體、已知 或者，大樣本,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,39,總體均值的區(qū)間估計(jì)1,假定條件 總體服從正態(tài)分布,方差() 已知 若非正態(tài)分布，但是大樣本(n 30)，可近似正態(tài) 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,重復(fù)抽樣,不重復(fù)抽樣,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,40,總體均值的區(qū)間估計(jì)1(例題分析),【例】某種零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的一批零件中重

17、復(fù)隨機(jī)抽取了9個(gè)，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4cm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為=0.15cm。試估計(jì)該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，置信水平為95%。,該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間在21.302cm21.498cm之間,解：已知N( , 0.152)，n=9, 1-=95%，t/2=1.96 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,41,總體均值的區(qū)間估計(jì)1(例題分析),【例】在某天生產(chǎn)的500袋食品中，不重復(fù)隨機(jī)抽取25袋進(jìn)行檢查，測(cè)得平均每袋的重量為996g。已知該種袋裝食品的重量服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為20g。試估計(jì)該種食品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。,

18、該種食品平均重量的置信區(qū)間為988.35g1003.65g之間,解：已知N(，202)，n=25, 1- = 95%，t/2=1.96 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,42,中心極限定理(central limit theorem),中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為 2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為2/n的正態(tài)分布,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,43,總體均值的區(qū)間估計(jì)2,正態(tài)總體、未知、小樣本,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,44,總體均值的區(qū)間估計(jì)

19、2,1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本 (n 30) 2. 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,45,t 分布,t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,46,總體均值的區(qū)間估計(jì)2(例題分析),【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,2020年7月26日,

20、非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,47,總體均值的區(qū)間估計(jì)2(例題分析),該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)1503.2小時(shí),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,48,總體比例的區(qū)間估計(jì),重點(diǎn)： 一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì) 大樣本,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,49,總體比例的區(qū)間估計(jì)1(大樣本，重復(fù)抽樣),1.假定條件 總體服從二項(xiàng)分布，即考察0-1標(biāo)志的分布特征 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量t,3. 總體比例P在1-置信

21、水平下的置信區(qū)間為,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,50,總體比例的區(qū)間估計(jì)2(大樣本，不重復(fù)抽樣),1.假定條件 總體服從二項(xiàng)分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量t,3. 總體比例P在1-置信水平下的置信區(qū)間為,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,51,總體比例的區(qū)間估計(jì)1(例題分析),【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)重復(fù)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% ， t/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,2020年7月26日,非統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科3學(xué)分,52,總體比例的區(qū)間估計(jì)2(例題分析),【例】某企業(yè)共有