1、高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題,考點自測,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,考點自測,1.(2015課標(biāo)全國)已知a，b為雙曲線e的左，右頂點，點m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120，則e的離心率為,答案,解析,如圖，設(shè)雙曲線e的方程為 1(a0，b0)，則|ab|2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點m(x1，y1) 在第一象限內(nèi)，過m作mnx軸于點n(x1,0)，,abm為等腰三角形，且abm120， |bm|ab|2a，mbn60， y1|mn|bm|sinmbn2asin 60 a，,2.如圖，已知橢圓c的中心為原點o，f(2 ，0)為c的左焦點，p為c上一點，滿足|op|o

2、f|，且|pf|4，則橢圓c的方程為,答案,解析,由|op|of|of|知，fpf90，即fppf. 在rtpff中，由勾股定理，,由橢圓定義，得|pf|pf|2a4812，,3.(2017太原質(zhì)檢)已知a，b分別為橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點，直線ykx(k0)與橢圓交于c，d兩點，若四邊形acbd的面積的最大值為2c2，則橢圓的離心率為,答案,解析,設(shè)c(x1，y1)(x10)，d(x2，y2)，,即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，,4.(2016北京)雙曲線 1(a0，b0)的漸近線為正方形oabc的邊oa，oc所在的直線，點b為該雙

3、曲線的焦點，若正方形oabc的邊長為2，則a_.,答案,解析,2,設(shè)b為雙曲線的右焦點，如圖所示.,四邊形oabc為正方形且邊長為2，,又a2b2c28，a2.,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,例1已知橢圓e： 1(ab0)的右焦點為f(3,0)，過點f的直線交e于a、b兩點.若ab的中點坐標(biāo)為(1，1)，則e的方程為,答案,解析,設(shè)a(x1，y1)、b(x2，y2)，,聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，,又因為a2b29，解得b29，a218.,思維升華,求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中

4、的參數(shù)，從而求得方程.,跟蹤訓(xùn)練1(2015天津)已知雙曲線 1(a0，b0 )的一個焦點為f(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為,答案,解析,則a2b24，,題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì),例2(1)(2015湖南)若雙曲線 1的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為,答案,解析,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,答案,解析,思維升華,圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運算能力.,跟蹤訓(xùn)練2已

5、知橢圓 1(ab0)與拋物線y22px(p0)有相同的焦點f，p，q是橢圓與拋物線的交點，若pq經(jīng)過焦點f，則橢圓 1(ab0)的離心率為_.,答案,解析,|pf|p，|ef|p.,題型三最值、范圍問題,例3若直線l：y 過雙曲線 1(a0，b0)的一個焦點，且與雙曲線的一條漸近線平行. (1)求雙曲線的方程；,解答,所以a23b2，且a2b2c24，,(2)若過點b(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點m，n，mn的垂直平分線為m，求直線m在y軸上的截距的取值范圍.,解答,幾何畫板展示,由(1)知b(0,1)，依題意可設(shè)過點b的直線方程為 ykx1(k0)，m(x1，y1)，

6、n(x2，y2).,設(shè)mn的中點為q(x0，y0)，,故直線m在y軸上的截距的取值范圍為(，4)(4，).,思維升華,圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和均值不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍.,跟蹤訓(xùn)練3如圖，曲線由兩個橢圓t1： 1 (ab0)和橢圓t2： 1(bc0)組成，當(dāng)a，b，c成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼”.,a2，c1，,解答,(2)對于(1)中的“貓眼曲線”，任作斜率為k(k0)且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓

7、t1所得弦的中點為m，交橢圓t2所得弦的中點為n，求證： 為與k無關(guān)的定值；,證明,幾何畫板展示,設(shè)斜率為k的直線交橢圓t1于點c(x1，y1)，d(x2，y2) ， 線段cd的中點為m(x0，y0)，,k存在且k0，x1x2且x00，,(3)若斜率為 的直線l為橢圓t2的切線，且交橢圓t1于點a，b，n為橢圓t1上的任意一點(點n與點a，b不重合)，求abn面積的最大值.,解答,幾何畫板展示,由0化簡得m2b22c2，,由0得m2b22a2，,l1，l2兩平行線間距離,題型四定值、定點問題,例4(2016全國乙卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為a，直線l過點b(1,0)且與x軸不重合，l交圓

8、a于c，d兩點，過b作ac的平行線交ad于點e. (1)證明|ea|eb|為定值，并寫出點e的軌跡方程；,解答,因為|ad|ac|，ebac，故ebdacdadc， 所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|. 又圓a的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|ad|4，所以|ea|eb|4. 由題設(shè)得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，,幾何畫板展示,(2)設(shè)點e的軌跡為曲線c1，直線l交c1于m，n兩點，過b且與l垂直的直線與圓a交于p，q兩點，求四邊形mpnq面積的取值范圍.,解答,幾何畫板展示,當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，

9、y2).,故四邊形mpnq的面積,當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|mn|3，|pq|8，四邊形mpnq的面積為12.,思維升華,求定點及定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān). (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.,跟蹤訓(xùn)練4(2016北京)已知橢圓c： 1(ab0)的離心率為 ，a(a,0)，b(0，b)，o(0,0)，oab的面積為1. (1)求橢圓c的方程；,解答,(2)設(shè)p是橢圓c上一點，直線pa與y軸交于點m，直線pb與x軸交于點n.求證：|an|bm|為定值.,證明,幾何畫板展示,由(1)知，a(2,0)，b(0

10、,1).,當(dāng)x00時，y01，|bm|2，|an|2， |an|bm|4. 故|an|bm|為定值.,題型五探索性問題,例5(2015廣東)已知過原點的動直線l與圓c1：x2y26x50相交于不同的兩點a，b. (1)求圓c1的圓心坐標(biāo)；,解答,圓c1：x2y26x50化為(x3)2y24，圓c1的圓心坐標(biāo)為(3,0).,(2)求線段ab的中點m的軌跡c的方程；,解答,幾何畫板展示,設(shè)m(x，y)， a，b為過原點的直線l與圓c1的交點，且m為ab的中點， 由圓的性質(zhì)知mc1mo，,由向量的數(shù)量積公式得x23xy20. 易知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為ymx，,把相切時直線l的方程代入

11、圓c1的方程，,當(dāng)直線l經(jīng)過圓c1的圓心時，m的坐標(biāo)為(3,0). 又直線l與圓c1交于a，b兩點，m為ab的中點，,(3)是否存在實數(shù)k，使得直線l：yk(x4)與曲線c只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.,解答,幾何畫板展示,由題意知直線l表示過定點(4,0)，斜率為k的直線，把直線l的方程代入軌跡c的方程x23xy20，其中 x3， 化簡得(k21)x2(38k2)x16k20，其中 x3， 記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中 x3. 若直線l與曲線c只有一個交點，令f(x)0.,此時方程可化為25x2120 x1440，即(5x12)20，,當(dāng)

12、0時，,思維升華,(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在. (2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.,跟蹤訓(xùn)練5已知拋物線c：y22px(p0)的焦點為f，a為c上異于原點的任意一點，過點a的直線l交c于另一點b，交x軸的正半軸于點d，且有|fa|fd|.當(dāng)點a的橫坐標(biāo)為3時，adf為正三角形. (1)求c的方程；,解答,因為|fa|fd|，,解得t3p或t3(舍去).

13、,所以拋物線c的方程為y24x.,(2)若直線l1l，且l1和c有且只有一個公共點e， 證明直線ae過定點，并求出定點坐標(biāo).,證明,由(1)知f(1,0). 設(shè)a(x0，y0)(x0y00)，d(xd,0)(xd0). 因為|fa|fd|，則|xd1|x01， 由xd0，得xdx02，故d(x02,0)，,因為直線l1和直線ab平行，,直線ae恒過點f(1,0).,所以直線ae過定點f(1,0).,abe的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.,解答,幾何畫板展示,由知直線ae過焦點f(1,0)，,所以abe的面積的最小值為16.,課時作業(yè),(1)求橢圓e的方程；,1

14、,2,3,4,解答,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,當(dāng)直線l與x軸垂直時不滿足條件. 故可設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1， 代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，,即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，,1,2,3,4,4(x12)(x22)(1k2)5， 即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，,1,2,3,4,1,2,3,4,解答,(1)求橢圓e的方程；,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,設(shè)a(x1，y1)，則b(x1，y1)，,1,2,3,4,1,2,3,4,3.(2016北京順義尖子生素質(zhì)展示)已知橢

15、圓 1的左頂點為a，右焦點為f，過點f的直線交橢圓于b，c兩點.,解答,1,2,3,4,(1)求該橢圓的離心率；,(2)設(shè)直線ab和ac分別與直線x4交于點m，n，問：x軸上是否存在定點p使得mpnp？若存在，求出點p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.,解答,1,2,3,4,依題意，直線bc的斜率不為0， 設(shè)其方程為xty1.,設(shè)b(x1，y1)，c(x2，y2)，,1,2,3,4,假設(shè)x軸上存在定點p(p,0)使得mpnp，,將x1ty11，x2ty21代入上式，整理得,1,2,3,4,即(p4)290，解得p1或p7.,所以x軸上存在定點p(1,0)或p(7,0)，,使得mpnp.,1,2,3,4,*4.已知橢圓 1(ab0)的離心率為 ，且經(jīng)過點p(1， )，過它的左，右焦點f1，f2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于a，b兩點，l2交橢圓于c，d兩點，且l1l2（如圖所示）.,1,2,3,4,(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方