1、高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題,考點(diǎn)自測(cè),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,考點(diǎn)自測(cè),1.(2015課標(biāo)全國(guó))已知a，b為雙曲線e的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120，則e的離心率為,答案,解析,如圖，設(shè)雙曲線e的方程為 1(a0，b0)，則|ab|2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)m(x1，y1) 在第一象限內(nèi)，過m作mnx軸于點(diǎn)n(x1,0)，,abm為等腰三角形，且abm120， |bm|ab|2a，mbn60， y1|mn|bm|sinmbn2asin 60 a，,2.如圖，已知橢圓c的中心為原點(diǎn)o，f(2 ，0)為c的左焦點(diǎn)，p為c上一點(diǎn)，滿足|op|o

2、f|，且|pf|4，則橢圓c的方程為,答案,解析,由|op|of|of|知，fpf90，即fppf. 在rtpff中，由勾股定理，,由橢圓定義，得|pf|pf|2a4812，,3.設(shè)f為拋物線c：y23x的焦點(diǎn)，過f且傾斜角為30的直線交c于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab的面積為,答案,解析,方法一聯(lián)立直線方程與拋物線方程化簡(jiǎn)得,4.(2016北京)雙曲線 1(a0，b0)的漸近線為正方形oabc的邊oa，oc所在的直線，點(diǎn)b為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形oabc的邊長(zhǎng)為2，則a_.,答案,解析,2,設(shè)b為雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖所示.,四邊形oabc為正方形且邊長(zhǎng)為2，,又a2b2c28，a2.

3、,答案,解析,題型分類深度剖析,題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,例1已知橢圓e： 1(ab0)的右焦點(diǎn)為f(3,0)，過點(diǎn)f的直線交e于a、b兩點(diǎn).若ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則e的方程為,答案,解析,設(shè)a(x1，y1)、b(x2，y2)，,聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，,又因?yàn)閍2b29，解得b29，a218.,思維升華,求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程.,跟蹤訓(xùn)練1(2015天津)已知雙曲線 1(a0，b0 )的一個(gè)焦點(diǎn)為f(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方

4、程為,答案,解析,則a2b24，,題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì),例2(1)(2015湖南)若雙曲線 1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為,答案,解析,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,答案,解析,思維升華,圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力.,跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓 1(ab0)與拋物線y22px(p0)有相同的焦點(diǎn)f，p，q是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，若pq經(jīng)過焦點(diǎn)f，則橢圓 1(ab0)的離心率為_.,答案,解析,|p

5、f|p，|ef|p.,題型三最值、范圍問題,例3若直線l：y 過雙曲線 1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線的一條漸近線平行. (1)求雙曲線的方程；,解答,所以a23b2，且a2b2c24，,(2)若過點(diǎn)b(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)m，n，mn的垂直平分線為m，求直線m在y軸上的截距的取值范圍.,解答,由(1)知b(0,1)，依題意可設(shè)過點(diǎn)b的直線方程為 ykx1(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2).,設(shè)mn的中點(diǎn)為q(x0，y0)，,故直線m在y軸上的截距的取值范圍為(，4)(4，).,思維升華,圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法

6、，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和均值不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍.,答案,解析,設(shè)與l平行的直線l：yxm與橢圓相切于p點(diǎn). 則abp面積最大.,(4m)243(2m22)0，,題型四定值、定點(diǎn)問題,例4(2016全國(guó)乙卷)設(shè)圓x2y22x150的圓心為a，直線l過點(diǎn)b(1,0)且與x軸不重合，l交圓a于c，d兩點(diǎn)，過b作ac的平行線交ad于點(diǎn)e. (1)證明|ea|eb|為定值，并寫出點(diǎn)e的軌跡方程；,解答,因?yàn)閨ad|ac|，ebac，故ebdacdadc， 所以|eb|e

7、d|，故|ea|eb|ea|ed|ad|. 又圓a的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|ad|4，所以|ea|eb|4. 由題設(shè)得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，,(2)設(shè)點(diǎn)e的軌跡為曲線c1，直線l交c1于m，n兩點(diǎn)，過b且與l垂直的直線與圓a交于p，q兩點(diǎn)，求四邊形mpnq面積的取值范圍.,解答,當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2).,故四邊形mpnq的面積,當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|mn|3，|pq|8，四邊形mpnq的面積為12.,思維升華,求定點(diǎn)及定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變

8、量無關(guān). (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.,跟蹤訓(xùn)練4(2016北京)已知橢圓c： 1(ab0)的離心率為 ，a(a,0)，b(0，b)，o(0,0)，oab的面積為1. (1)求橢圓c的方程；,解答,(2)設(shè)p是橢圓c上一點(diǎn)，直線pa與y軸交于點(diǎn)m，直線pb與x軸交于點(diǎn)n.求證：|an|bm|為定值.,證明,由(1)知，a(2,0)，b(0,1).,當(dāng)x00時(shí)，y01，|bm|2，|an|2， |an|bm|4. 故|an|bm|為定值.,題型五探索性問題,例5(2015廣東)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓c1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)a，b. (1)求圓

9、c1的圓心坐標(biāo)；,解答,圓c1：x2y26x50化為(x3)2y24，圓c1的圓心坐標(biāo)為(3,0).,(2)求線段ab的中點(diǎn)m的軌跡c的方程；,解答,設(shè)m(x，y)， a，b為過原點(diǎn)的直線l與圓c1的交點(diǎn)，且m為ab的中點(diǎn)， 由圓的性質(zhì)知mc1mo，,由向量的數(shù)量積公式得x23xy20. 易知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為ymx，,把相切時(shí)直線l的方程代入圓c1的方程，,當(dāng)直線l經(jīng)過圓c1的圓心時(shí)，m的坐標(biāo)為(3,0). 又直線l與圓c1交于a，b兩點(diǎn)，m為ab的中點(diǎn)，,(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線l：yk(x4)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.,解

10、答,由題意知直線l表示過定點(diǎn)(4,0)，斜率為k的直線，把直線l的方程代入軌跡c的方程x23xy20，其中 x3， 化簡(jiǎn)得(k21)x2(38k2)x16k20，其中 x3， 記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中 x3. 若直線l與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn)，令f(x)0.,此時(shí)方程可化為25x2120 x1440，即(5x12)20，,當(dāng)0時(shí)，,思維升華,(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、

11、直線、曲線或參數(shù))不存在. (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.,解答,(1)求橢圓e的方程；,解答,得(4k23)x28kmx4m2120.,設(shè)t(t,0)，q(4，m4k)，,4k234m2，,t1，,課時(shí)作業(yè),(1)求橢圓e的方程；,1,2,3,4,解答,1,2,3,(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓e交于不同的兩點(diǎn)p，q(均異于點(diǎn)a)，證明：直線ap與aq的斜率之和為2.,證明,4,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0， 設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x20，,1,2,3,從而直線ap，aq的斜率之和,4,1,2,3,4,1,2

12、,3,解答,(1)求橢圓e的方程；,4,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,設(shè)a(x1，y1)，則b(x1，y1)，,1,2,3,4,1,2,3,4,3.(2016北京順義尖子生素質(zhì)展示)已知橢圓 1的左頂點(diǎn)為a，右焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f的直線交橢圓于b，c兩點(diǎn).,解答,1,2,3,(1)求該橢圓的離心率；,4,(2)設(shè)直線ab和ac分別與直線x4交于點(diǎn)m，n，問：x軸上是否存在定點(diǎn)p使得mpnp？若存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.,解答,1,2,3,4,依題意，直線bc的斜率不為0， 設(shè)其方程為xty1.,設(shè)b(x1，y1)，c(x2，y2)，,1,2,3,4,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)p(p,0)使得mpnp，,將x1ty11，x2ty21代入上式，整理得,1,2,3,4,即(p4)290，解得p1或p7.,所以x軸上存在定點(diǎn)p(1,0)或p(7,0)，,使得mpnp.,1,2,3,4,4.如圖，已知m(x1，y1)是橢圓 1(ab0)上任意一點(diǎn)，f為橢圓的右焦點(diǎn).,1,2,3,(1)若橢圓的離心率為e，試用e，a，x1表示|mf|，并求|mf|的最值；,解答