1、7-3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means),一、莫爾圓（Mohrs circle）,將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫為,把上面兩式等號(hào)兩邊平方,然后相加便可消去,得,1,PPT學(xué)習(xí)交流,因?yàn)閤 ,y ,xy 皆為已知量,所以上式是一個(gè)以,為變量的圓周方程.當(dāng)斜截面隨方位角 變化時(shí),其上的應(yīng)力 , 在 - 直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓.,1.圓心的坐標(biāo) （Coordinate of circle center）,2.圓的半徑（Radius of circle）,此圓習(xí)慣上稱為 應(yīng)力圓（ plane stres

2、s circle）,或稱為莫爾圓（Mohrs circle）,2,PPT學(xué)習(xí)交流,（1）建 - 坐標(biāo)系,選定比例尺,二、應(yīng)力圓作法（The method for drawing a stress circle）,1.步驟（Steps）,3,PPT學(xué)習(xí)交流,o,（2）量取,OA= x,AD = xy,得D點(diǎn),OB= y,（3）量取,BD= yx,得D點(diǎn),（4）連接 DD兩點(diǎn)的直線與 軸相交于C 點(diǎn),（5）以C為圓心, CD 為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓,4,PPT學(xué)習(xí)交流,（1）該圓的圓心C點(diǎn)到 坐標(biāo)原點(diǎn)的 距離為,（2）該圓半徑為,2.證明(Prove),5,PPT學(xué)習(xí)交流,三、

3、應(yīng)力圓的應(yīng)用（Application of stress-circle）,1.求單元體上任一 截面上的應(yīng)力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle）,從應(yīng)力圓的半徑 CD 按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2得到半徑CE.圓周上 E 點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力.,o,20,6,PPT學(xué)習(xí)交流,證明：,7,PPT學(xué)習(xí)交流,（1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:單元體某一面上的應(yīng)力,必對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo).,（2）夾角關(guān)系:圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍.兩者的轉(zhuǎn)向一致.,8,P

4、PT學(xué)習(xí)交流,2.求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置 （Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle）,（1）主應(yīng)力數(shù)值,A1 和 B1 兩點(diǎn)為與主平面 對(duì)應(yīng)的點(diǎn),其橫坐標(biāo) 為主應(yīng)力 1,2,9,PPT學(xué)習(xí)交流,（2）主平面方位,由 CD順時(shí)針轉(zhuǎn) 20 到CA1,所以單元體上從 x 軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 0 （負(fù)值）即到 1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線,0 確定后,1 對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定,10,PPT學(xué)習(xí)交流,3.求最大切應(yīng)力（Determine maximum shearing stres

5、s by using stress circle）,G1和G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力,因?yàn)樽畲笞钚∏袘?yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑,11,PPT學(xué)習(xí)交流,例7-4-1 已知 求此單元體在30和 -40兩斜截面上的應(yīng)力。,12,PPT學(xué)習(xí)交流,例7-4-2 ：討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵件受扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象。,解：1取單元體ABCD，其中 ， ，這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。,13,PPT學(xué)習(xí)交流,2作應(yīng)力圓 主應(yīng)力為 ，并可確定主平面的法線。,14,PPT學(xué)習(xí)交流,3分析 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力絕對(duì)值相等，但一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)構(gòu)件將沿傾角為

6、 45的螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。,15,PPT學(xué)習(xí)交流,已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1, 2, 3,利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力.,一、 空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力 (the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state),7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)分析 （analysis of three-dimensional stress-state）,16,PPT學(xué)習(xí)交流,首先研究與其中一個(gè)主平面 （例如主應(yīng)力3 所在的平面）垂直的斜截面上的應(yīng)力,1,2,2,用截面法,沿求應(yīng)

7、力的 截面將單元體截為兩部分, 取左下部分為研究對(duì)象,17,PPT學(xué)習(xí)交流,主應(yīng)力 3 所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力,因而該斜面上的應(yīng)力 , 與3 無關(guān), 只由主應(yīng)力1 , 2 決定,與3 垂直的斜截面上的應(yīng)力可由 1 , 2 作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示,18,PPT學(xué)習(xí)交流,該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與3 垂直的所有斜截面上的應(yīng)力,O,與主應(yīng)力 2 所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力, 可用由1 ,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示,與主應(yīng)力所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力 , 可用由2 ,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示,19,PPT學(xué)習(xí)交流,該截面上應(yīng)力 和 對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影內(nèi),abc

8、 截面表示與三個(gè)主平 面斜交的任意斜截面,a,b,c,1,2,1,2,3,20,PPT學(xué)習(xí)交流,結(jié)論,三個(gè)應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力,該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力（指代數(shù)值）應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo)1,21,PPT學(xué)習(xí)交流,最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑,最大切應(yīng)力所在的截面與 2 所在的主平面垂直,并與1和3所在的主平面成45角.,22,PPT學(xué)習(xí)交流,例題9 單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓, 并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.,解: 該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力,因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z 無關(guān), 依據(jù) x截

9、面和y 截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓. 求另外兩個(gè)主應(yīng)力,23,PPT學(xué)習(xí)交流,由 x , xy 定出 D 點(diǎn),由 y , yx 定出 D 點(diǎn),以 DD為直徑作應(yīng)力圓,A1,A2 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個(gè)主應(yīng)力 1 和 3,O, 1 =46MPa, 3 =-26MPa,該單元體的三個(gè)主應(yīng)力, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa,根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓,24,PPT學(xué)習(xí)交流, 7-5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析 (Analysis of plane strain-state),平面應(yīng)力狀態(tài)下，已知一點(diǎn)的應(yīng)變分量x ,y , xy ，欲求方向上的線應(yīng)變和切應(yīng)變 ,可根據(jù)彈性小變形的幾何條件,分別找出微單元體（長方形）由于已知應(yīng)變分量x ,y , xy在此方向上引