1、復(fù)習(xí)課(三)不等式一元二次不等式一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函數(shù)三者構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的整體貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，更是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，在考題中有時(shí)單獨(dú)對(duì)某類不等式的解法進(jìn)行考查，一般以小題形式出現(xiàn)，難度不大，但有時(shí)在解答題中與其它知識(shí)聯(lián)系在一起，難度較大解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式三者之間的關(guān)系，其中二次函數(shù)的零點(diǎn)是聯(lián)系這三個(gè)“二次”的樞紐(1)確定ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)在判別式0時(shí)解集的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵在未確定a的取值情況下，應(yīng)先分a0和a0兩種情況進(jìn)行討論(2)若給出了一元二次不等式的解集，則可知二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)和方程ax2bxc0的兩個(gè)根

2、，再由根與系數(shù)的關(guān)系就可知a，b，c之間的關(guān)系(3)解含有參數(shù)的一元二次不等式，要注意對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)與0的大小進(jìn)行討論；在轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的一元二次不等式后，對(duì)判別式與0的大小進(jìn)行討論；當(dāng)判別式大于0，但兩根的大小不確定時(shí)，對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論典例(1)已知不等式ax2bx20的解集為x|1x2，則不等式2x2bxa0的解集為()A.B.Cx|2x1 Dx|x1(2)解關(guān)于x的不等式ax22axa30.解析(1)由題意知x1，x2是方程ax2bx20的根由根與系數(shù)的關(guān)系得不等式2x2bxa0，即2x2x10.解得1x.答案A(2)解：當(dāng)a0時(shí)，解集為R；當(dāng)a0時(shí)，12a0，解

3、集為R；當(dāng)a0時(shí)，12a0，方程ax22axa30的兩根分別為，此時(shí)不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為R；a0時(shí)，不等式的解集為.類題通法解一元二次不等式時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)要先化為正，再根據(jù)判別式符號(hào)判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集1若關(guān)于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，則m_.解析：根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程ax26xa20的一個(gè)根，即a2a60，解得a2或a3，當(dāng)a2時(shí)，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；當(dāng)a3時(shí)，不等式ax26xa24的解集為x|xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(ac

4、b)xbc4的解集為x|xb，所以x11與x2b是方程ax23x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，b1且a0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2時(shí)，不等式(x2)(xc)0的解集為x|2xc；當(dāng)c2時(shí)，不等式(x2)(xc)0的解集為x|cx2；當(dāng)c2時(shí)，不等式(x2)(xc)2時(shí)，不等式ax2(acb)xbc0的解集為x|2xc；當(dāng)c2時(shí)，不等式ax2(acb)xbc0的解集為x|cx2；當(dāng)c2時(shí)，不等式ax2(acb)xbc0，b0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立；(2)a2b22ab，ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立；(3)

5、2(a，b同號(hào)且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立；(4)a2(a0)，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，等號(hào)成立；a2(a0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)等號(hào)成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值為2.答案(1)C(2)C類題通法條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值1若正數(shù)a，b滿足1，則的最小值為()A3 B4C5 D6解析：選B依題意，因?yàn)?，(a1)(b1)1，因此2 4，當(dāng)且僅當(dāng)，即

6、a，b3時(shí)“”成立2設(shè)x，yR，且xy0，則的最小值為_解析：54x2y2529，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2時(shí)“”成立答案：9絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式主要考查解法及簡(jiǎn)單的應(yīng)用，題目難度中檔偏下，著重考查學(xué)生的分類討論思想及應(yīng)用能力1公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3零點(diǎn)分段法含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可先求出使每個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，討論每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式在每一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式去解4對(duì)于不等

7、式恒成立求參數(shù)范圍問題，常用分離參數(shù)法、更換主元法、數(shù)形結(jié)合法解決典例已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍解(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時(shí)，不合題意當(dāng)a0時(shí)，x，得a2.(2)法一：記h(x)f(x)2f，則h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范圍是1，)法二：|2x1|2|x1|21，由k恒成立，可知k1，所以k的取值范圍是1，)類題通法解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成不含絕對(duì)值的不等式，其一是依據(jù)絕對(duì)值的意義；其二是先令每一個(gè)絕對(duì)值等于零，找到分界點(diǎn)，通

8、過討論每一區(qū)間內(nèi)的代數(shù)式的符號(hào)去掉絕對(duì)值1不等式|2x1|2|x1|0的解集為_解析：原不等式即|2x1|2|x1|，兩端平方后解得12x3，即x.答案：2設(shè)關(guān)于x的不等式lg(|x3|x7|)a.(1)當(dāng)a1時(shí)，解此不等式；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，此不等式的解集是R.解：(1)當(dāng)a1時(shí)，lg(|x3|x7|)1，|x3|x7|10，或或x7或x3.所以不等式的解集為x|x3或x7(2)設(shè)f(x)|x3|x7|，則有f(x)|(x3)(x7)|10，當(dāng)且僅當(dāng)(x3)(x7)0，即3x7時(shí)，f(x)取得最小值10.lg(|x3|x7|)1.要使lg(|x3|x7|)a的解集為R，只要a1.1若0，則

9、下列不等式不正確的是()AababB.0Cabb2 Da2b2解析：選D由0，可得ba0，故選D.2已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1C1 D3解析：選A由題意：Ax|1x3，Bx|3x2ABx|1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a1，b2，ab3.3函數(shù)y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：選Ax1，x10.yx1222（當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)等號(hào)成立）4不等式|x2|x1|0的解集為()A. B.C. D.解析：選A不等式|x2|x1|0即|x2|x1|，平方化簡(jiǎn)可得 2x3，解得x，故選A.

10、5已知圓C：(xa)2(yb)21，平面區(qū)域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為()A5 B29C37 D49解析：選C由已知得平面區(qū)域?yàn)镸NP內(nèi)部及邊界圓C與x軸相切，b1.顯然當(dāng)圓心C位于直線y1與xy70的交點(diǎn)(6,1)處時(shí)，amax6.a2b2的最大值為621237.故選C.6設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為()A0 B1C. D3解析：選B由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x，y，z為正實(shí)數(shù)，4，即1，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z2y2.221，當(dāng)1，即y1時(shí)，上式有最大值1.7若x，y滿足約束條件則的最大值為_

11、解析：畫出可行域如圖陰影部分所示，表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)最大由得A(1,3)的最大值為3.答案：38設(shè)正數(shù)a，使a2a20成立，若t0，則logat_loga(填“”“”“”或“0，所以a1，又a0，所以a1，因?yàn)閠0，所以 ，所以logalogalogat.答案：9若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件已知點(diǎn)(x，y)所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_，又zx2y有最大值8，則實(shí)數(shù)k_.解析：作出一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示要想點(diǎn)(x，y)所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則B(2,2)必須在直線2xyk的右下方，即222k，則k0，所以2n240n720，解得2n18.由nN知從第三年開始獲利(2)年平均利潤(rùn)40216.當(dāng)且僅當(dāng)n6時(shí)取等號(hào)故此方案共獲利61648144(萬美元)，此時(shí)n6.f(n)2(n10)2128.當(dāng)n10時(shí)，f(n)max128.故第種方案共獲利12816144(萬美元)，故比較兩種方案，獲利都是144萬美元但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案最合算12已