1、11.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考綱展示1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理2會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題考點1分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N_種不同的方法答案：mn分類加法計數(shù)原理：每一種方法都能完成這件事情；類與類之間是獨立的某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有_種答案：10解析：贈送1本畫冊，3本集郵冊，需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有C種方

2、法；贈送2本畫冊，2本集郵冊，需從4人中選出2人送畫冊，其余2人送集郵冊，有C種方法由分類加法計數(shù)原理知不同的贈送方法有CC10(種).典題1(1)2017重慶銅梁第一中學(xué)月考如果把個位數(shù)是1，且恰好有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有()A9個 B3個 C12個 D6個答案C解析當(dāng)重復(fù)數(shù)字是1時，有CC種；當(dāng)重復(fù)數(shù)字不是1時，有C種由分類加法計數(shù)原理得滿足條件的“好數(shù)”有CCC12(個)(2)2017河南鄭州質(zhì)檢滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A14 B13 C

3、12 D10答案B解析當(dāng)a0，有x，b1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a0時，則44ab0，ab1.()當(dāng)a1時，b1,0,1,2，有4種可能；()當(dāng)a1時，b1,0,1，有3種可能；()當(dāng)a2時，b1,0，有2種可能所以有序數(shù)對(a，b)共有443213(個)點石成金利用分類加法計數(shù)原理解題時的注意事項(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)考點2分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N_種不同的方法答案：mn

4、分步乘法計數(shù)原理：所有步驟完成才算完成；步與步之間是相關(guān)聯(lián)的將甲、乙、丙等6人分配到高中三個年級，每個年級2人，要求甲必須在高一年級，乙和丙均不能在高三年級，則不同的安排種數(shù)為_答案：9分步計數(shù)原理：步驟互相獨立，互不干擾；步與步確保連續(xù)，逐步完成某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從09這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，某車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有_種答案：960解析：按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有

5、3種選法，其余三個號碼各有4種選法因此車牌號碼可選的所有可能情況有53444960(種).典題2(1)2017廣東佛山二模教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有()A10種 B25種 C52種 D24種答案D解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步由分步乘法計數(shù)原理，共有24種不同的走法(2)已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的點，則P可表示平面上_個不同的點；P可表示平面上_個第二象限的點答案366解析確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種方法；第2步，確定b的值，也有6種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上

6、的點的個數(shù)是6636.確定第二象限的點，可分兩步完成：第1步，確定a，由于a0，所以有2種方法由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限的點的個數(shù)是326.點石成金1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事2分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.2017河北石家莊模擬將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同的分法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案：8解析：第1步，把甲、乙分到不同

7、班級有A2(種)分法；第2步，分丙、丁：丙、丁分到同一班級有2種方法；丙、丁分到兩個不同班級有A2(種)分法由分步乘法計數(shù)原理，不同的分法為2(22)8(種)考點3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用考情聚焦兩個計數(shù)原理的應(yīng)用是高考命題的一個熱點，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題主要有以下幾個命題角度：角度一涂色問題典題32017四川成都二診如圖所示，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為_.答案96解析(1)按區(qū)域1與3是否同色分類：區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3，有4種方法，再涂區(qū)域2,4

8、,5(還有3種顏色)，有A種方法區(qū)域1與3同色，共有4A24(種)方法區(qū)域1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法共有A21372(種)方法由分類加法計數(shù)原理，不同的涂色方法為247296(種)角度二選派或分配問題典題4某班一天上午有4節(jié)課，每節(jié)都需要安排1名教師去上課，現(xiàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn) 6名教師中安排4人分別上一節(jié)課，第一節(jié)課只能從A，B兩人中安排一人，第四節(jié)課只能從A，C兩人中安排一人，則不同的安排方案共有多少種？解(1)第一節(jié)課若安排A，則第四節(jié)課只能安排C，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課

9、從剩余3人中任選1人，共有4312(種)排法(2)第一節(jié)課若安排B，則第四節(jié)課可由A或C上，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有24324(種)排法因此不同的安排方案共有122436(種)角度三幾何問題典題5已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A40 B16 C13 D10答案C解析分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8513(個)不同的平面角度四集合問題典題6已知集合M1,2,3,4，

10、集合A，B為集合M的非空子集，若對xA，yB，xy恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有_個答案17解析當(dāng)A1時，B有2317(種)情況；當(dāng)A2時，B有2213(種)情況；當(dāng)A3時，B有1種情況；當(dāng)A1,2時，B有2213(種)情況；當(dāng)A1,3，2,3，1,2,3時，B均有1種情況；所以滿足題意的“子集對”共有7313317(個)角度五與數(shù)字有關(guān)的問題典題7如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A240 B204 C729 D920答案A解析若a22，則百位數(shù)字只能選1，

11、個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個，若a23，滿足條件的“凸數(shù)”有236(個)，若a24，滿足條件的“凸數(shù)”有3412(個)，若a29，滿足條件的“凸數(shù)”有8972(個)所以所有凸數(shù)有26122030425672240(個)點石成金1.注意在綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題時，一般是先分類再分步在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理2注意對于較復(fù)雜的兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化3解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.方法技巧1.應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確分類還是分步在處理具體的應(yīng)用問題時，首先必須弄清楚“分類

12、”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏2(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)(2)分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)3混合問題一般是先分類再分步4要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律易錯防范1.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行2分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分

13、步3確定題目中是否有特殊條件限制 真題演練集訓(xùn) 12016新課標(biāo)全國卷如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A24 B18 C12 D9答案：B解析：由題意可知EF共有6種走法，F(xiàn)G共有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6318(種)走法，故選B.22016新課標(biāo)全國卷定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A18個 B16個C14個 D12個答案：C解析：由題意可得，a1

14、0，a81，a2，a3，a7中有3個0、3個1，且滿足對任意k8，都有a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，利用列舉法可得不同的“規(guī)范01數(shù)列”有,，共14個32016四川卷用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A24 B48C60 D72答案：D解析：由題意可知，個位可以從1,3,5中任選一個，有A種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有A種方法，所以奇數(shù)的個數(shù)為AA3432172，故選D.42015四川卷用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A144個 B120個 C96個 D72

15、個答案：B解析：當(dāng)萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有2A個偶數(shù)；當(dāng)萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有CA個偶數(shù)故符合條件的偶數(shù)共有2ACA120(個) 課外拓展閱讀 應(yīng)用兩個計數(shù)原理求解涂色問題典例如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為_審題視角染色問題是常見的計數(shù)應(yīng)用問題，可從選顏色、選頂點進(jìn)行分類、分步，從不同角度解決問題解析解法一：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論由題設(shè)，四棱錐SABCD的頂點S，

16、A，B所染的顏色互不相同，它們共有54360(種)染色方法當(dāng)S，A，B染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法可見，當(dāng)S，A，B已染好時，C，D還有7種染法，故不同的染色方法有607420(種)解法二：以S，A，B，C，D順序分步染色第一步，點S染色，有5種方法；第二步，點A染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，點B染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，點C染色，也有3種方法，但考慮到點D與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進(jìn)行分類：當(dāng)A與C同色時，點D有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以點C有2種染色方法，點D也有2種染色方法所以不同的染色方法共有543(1322)420(種)解法三：按所用顏色種數(shù)分類第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2A種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則