1、線性代數(shù)與空間解析幾何,哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室,王寶玲,2007.9,第二章,矩 陣,2,矩陣的概念及運算 可逆矩陣* 矩陣的初等變換與初等陣 矩陣的秩 分塊矩陣,本章主要內(nèi)容,1. 矩陣的定義,由 mn 個數(shù)排成的m行、n列的矩形數(shù)表,稱為階數(shù)為,的矩陣.,2.1.1.矩陣的概念,2.1 矩陣的概念,簡記為,當(dāng) m=n 時稱為n 階方陣.,矩陣同形它們行數(shù)和列數(shù)相同.,矩陣相等它們同形且對應(yīng)元素相等.,2.特殊矩陣,零矩陣:,對角矩陣:,單位矩陣:,E ,In 或,數(shù)(純)量矩陣:,上三角矩陣:,下三角矩陣:,行矩陣:,列矩陣:,2.2 矩陣運算,矩陣的線性運算,矩陣的乘法運算,方陣的

2、冪及行列式 的乘法公式,矩陣的轉(zhuǎn)置,8,加 法:,負矩陣:,減 法:,2.2.2 數(shù)乘,其中,則,2.2.3 矩陣乘法,可乘原則: 前列數(shù)=后行數(shù). 乘積元素: cij 是 A 的第 i 行的元素與B 的第 j 列對應(yīng)元素乘積之和. 乘積階數(shù)：AB 階數(shù)為前行數(shù)后列數(shù).,總結(jié)如下:,運算性質(zhì):,學(xué)習(xí)矩陣運算,尤其要注意其不具備什 么熟知的運算規(guī)律.特別是乘法運算.,(A是mn的矩陣),設(shè),求 AB .,解,注意: 在這個例子中 BA 無意義.,例1,則,注意: 在這個例子中,雖然 AB 與 BA 均有意義,但是AB 是 22 矩陣,而BA是 11 矩陣.,例2,設(shè),則,注意: (1) AB與B

3、A是同階方陣，但AB 不等于BA. (2) 雖然A, B都是非零矩陣, 但是 AB = 0.,例3,設(shè),求 AB 及 AC.,解,注意: 雖然A不是零矩陣, 而且AB=AC, 但是B不等于C.這說明消去律不成立!,例4, 總結(jié)一下矩陣乘法的一些反常性質(zhì):,不滿足交換律:,不滿足消去律:,可能有零因子:, 如果 AB=BA, 則稱 A 與 B 可交換.,18,祝 大 家 中秋節(jié) 快 樂,預(yù)習(xí)2.3-2.4,!,19,2.2.4 方陣的冪,AA有意義當(dāng)且僅當(dāng)A為方陣.,對于方陣相乘可以定義乘冪的概念:,因為矩陣乘法不滿足交換律,所以對于 同階方陣A與 B, 一般,運算性質(zhì):,20,矩陣多項式,仍是

4、方陣.,設(shè),為A的矩陣多項式，,A是方陣，則稱,21,由 n 階方陣A的元素按原來的位置組成 的行列式稱為方陣A的行列式,記為 |A|,即,2.2.5 方陣的行列式及乘法公式,22,(行列式乘法公式),運算性質(zhì)(定理2.1):,設(shè)A, B, 為 n 階方陣, k 為數(shù), 則有,23,例1 設(shè)A為3階方陣, B為4階矩陣, 且|A|=3, | B |=-2, 則|B| A|= .,解 |B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)3=-24.,例2 設(shè)A為n階矩陣, k為非零常數(shù),則 |-k A|= . (A) k| A | (B) k| A | (C) (-1)nk n| A | (

5、D) kn| A |,-24,24,定義,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣.,2.2.6 矩陣的轉(zhuǎn)置,25,運算性質(zhì),26,特殊矩陣,對稱矩陣: AT =A,反對稱矩陣: AT = - A,27,2. 矩陣與行列式有什么區(qū)別?,問題:,28,本節(jié)主要內(nèi)容, 逆矩陣的定義, 可逆的條件, 伴隨矩陣,2.3 逆 矩 陣,29,在解方程 ax=b 的時候,如果 a 0, 等式兩邊同乘以 a-1, 得 x=a-1b . 線性方程組 AX=b, 能否在一定條件下引進 A-1 的概念,使得解為 X = A-1b ? 由a-1 a=1想到 A-1A= E.,問題的提出:,A應(yīng)當(dāng)滿足什么條件?如何定義A-1 ?,30,定義

6、A為n階方陣, 若存在n階方陣B, 使 AB = BA = E 則稱A為可逆矩陣,稱B為A的逆矩陣. 記作B = A-1.,2.3.1 逆矩陣的定義,注 定義中矩陣 A 與B的地位是相同的, 如果 A可逆,且B是 A的逆,則B也可逆, 且A 也是B的逆,即A與B互逆.,31,問題: 你學(xué)過的方陣中,哪些是可逆陣, 哪些是不可逆陣 ?,1. E-1=,E,2. 當(dāng) k1k2kn0 時,有:,32,性質(zhì),若矩陣A可逆,則A的逆矩陣唯一.,證,設(shè)B, C都是矩陣A的逆矩陣,則有,33,可推廣至有限個積,可逆陣還具有如下性質(zhì): A,B 可逆,34, 如何判斷一個矩陣是否存在逆矩陣? 如何求一個可逆矩陣

7、的逆矩陣?,復(fù)習(xí)行列式的展開性質(zhì),35,伴隨矩陣: A為n 階方陣,2.3.2 可逆的條件,36,稱,為矩陣A的伴隨矩陣.,A* 是用方陣A的元素的代數(shù)余子式 組成的矩陣.,37,A A= AA =AE,A(A)=( A)A =E,引理2.1 (基本公式),A為n階方陣,38,設(shè) A 為數(shù)域 F 上 n 階方陣,則,1. A 可逆,A0,2. A 可逆時, A-1=,定理 2.2,從而 |A| 0.必要性得證.,證,若A可逆,則,39,故矩陣A可逆,且, 在|A| 0時,若 |A| 0, 則由,也可逆,40, A= 0 時, 稱 A 為奇異陣,A0 時, 稱 A 為非奇異陣,41,例1,討論并

8、求 2 階矩陣的逆矩陣,解, 利用伴隨矩陣求逆矩陣,42,求滿足矩陣方程 AX=B 的矩陣 X,解 A=-270,X =A-1B =,還可以用初等變換求解,例2,其中,43,解 設(shè),設(shè),計算,則,例3,44,45,總結(jié)關(guān)于方陣 A :,A 可逆 |A| 0,AA*=A*A=|A| E,46,本節(jié)內(nèi)容提要, 矩陣的初等變換, 矩陣的等價, 矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形,2.4 矩陣的初等變換,47,解線性方程組的過程中經(jīng)常用到:,問題的引入,1.互換兩個方程的位置. 2.用一個非零常數(shù)乘某個方程. 3.把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上去.,這三種變換不改變方程組的解,且對應(yīng)與矩陣的三種變換.,48,矩陣的三

9、種初等行變換:,換法變換: rirj 倍法變換：ri (0)ri 消法變換: krj+riri,矩陣的三種初等列變換：,換法變換: cicj 倍法變換：ci ( 0)ci 消法變換：kcj+cici,2.4.1 矩陣的初等變換,49,問題,如果矩陣A 經(jīng)過初等變換變?yōu)锽 , 那么A 與B 之間究竟有何種關(guān)系?,定義 矩陣的三種初等行變換和三種初等 列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.,初等變換可逆. 第三種初等變換保持行列式值不變. 初等變換保持矩陣可逆性不變.,記為,50,性質(zhì):,自反性,A 與 A 等價;,對稱性,若A 與B等價，則B與A等價;,傳遞性,若A與B等價，B 與C等價， 則A與C等價.

10、,2.4.2 矩陣的等價,A與B等價,A與B同形且等秩.,51,2.4.3 矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形,定義 滿足下面兩個條件的矩陣稱為行階 梯形矩陣或階梯形矩陣: (1)零行全部位于非零行下方; (2) 非零行的左起第一個非零元素的 列數(shù)由上至下嚴格遞增.,例1,1.行階梯形,52,2.行最簡形,定義 如果階梯形矩陣A滿足: (1) 非零行左起第一個非零元素都是1; (2) 非零行左起第一個非零元所在列只有 一個非零元.則稱A為行最簡形矩陣.,例2,53,3.矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形,定理3.3 任意矩陣A都與一個形如 矩陣等價.,A的等價標(biāo)準(zhǔn)形,定義 如果一個矩陣的左上角為單位矩陣, 其余元素都是零 . 則

11、稱這個矩陣為 標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣（唯一）.,54,的矩陣都是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.,用分塊矩陣的表示方法,形如:,55,結(jié) 論,1 任一矩陣A都可經(jīng)初等行變換化成行階梯形;,2 任一矩陣A都可經(jīng)初等行變換化成行最簡形;,3 任一矩陣A都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形.,56,行階梯形,行最簡形,標(biāo)準(zhǔn)形,例3 化 簡,57,預(yù) 習(xí) 完 2.6,58,祝大家國慶節(jié)快樂,預(yù)習(xí)2.4,2.5,！,59,設(shè)A, B是三階方陣，,則,解,例1,由,60,設(shè)A為3階方陣, A*為A的伴隨矩陣,且|A|=1/2, 則|(3A)-1 -2 A*|的值為( ). (A) 16/27 (B)- 4/3 (C) 5 (D) -16/27 分

12、析 已知條件涉及A*, 應(yīng)該立即聯(lián)想到公式A A*= A*A =|A|E，A還可逆,利用這個公式可以得到A*=|A| A-1.,解 |(3A)-1 -2A*| = |(1/3) A-1 -2|A|A-1| = |(1/3) A-1- A-1| =|(-2/3) A-1| =(-2/3) 3|A-1| =(-8/27)2 =-16/27,例2,61,設(shè)A是n 階方陣，,的伴隨矩陣,試證:,證,由,下面分三種情況討論:,(1)若,則,(2)若,且,則,顯然結(jié)論成立:,有,例3,62,(3)若,而,下面證明,反證:若,則 可逆,所以,這與 矛盾.,63,2.5 矩陣的秩,本節(jié)內(nèi)容提要, 矩陣的秩的概

13、念, 矩陣的秩的求法,64,2.5.1 矩陣的秩的概念,定義 矩陣A的子方陣的行列式稱為矩陣A 的 一 個子式.,1 子矩陣,定義 劃去A的某些行或列后剩下的元素， 按原順序構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的一 個子矩陣.,2 子 式,65,3 矩陣秩的定義,A的非零子式的最高階數(shù)r.,3階子式只有一個,且 ,所以,r(A)=rA中存在一個r階非零子式,但 其中任意r+1階子式都等于零.,r(A)=2.,A的秩:,66,4 運算性質(zhì),若 A 是mn 矩陣，則,1. 0 r(A)minm,n,2. r(AT) = r(A),4. r(A1)r(A),(A1為 A的子陣),67,求法:,2.行階梯形矩陣的秩=

14、非零行的個數(shù).,2.5.2 秩的求法,可以通過初等變換把矩陣化為階梯形 來求矩陣的秩.,68,注,稱A為行滿秩.,稱A為列滿秩.,n方陣A可逆,稱A為滿秩陣.,69,例1,其中,解,1,可求,70,0,0,思考,71,本節(jié)內(nèi)容提要, 初等矩陣與初等變換的關(guān)系, 求逆矩陣的初等變換法, 矩陣等價的充要條件,2.6 初等矩陣,72,問題:為什么要引入“初等矩陣” 呢？,如果對于單位矩陣E進行一次初等變 換,它會變成什么樣? 如果矩陣A經(jīng)過一次初等變換變?yōu)锽, 那么A與B間如何建立等量關(guān)系?,73,定義 單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換所得 到的矩陣稱為初等矩陣:,2.6.1 初等矩陣的概念,74,1.

15、(換法)交換單位矩陣E 的第 i 行與第 j 行 （或交換E 的第 i 列與第 j 列）:,第i 行,第j 行,第i 列,第 j 列,75,第 i 行,第 i 列,2. (倍法)給單位矩陣 E 的第 i 行乘以非零數(shù) ( 或給 E 的第 i 列乘以非零數(shù) ):,76,3. (消法)將單位矩陣 E 的第 j行的 k 倍加到 第 i 行:,第 j 行,第 i 行,第 i 列,第 j 列,或看作是將 E 的第 i列的k 倍加到第 j 列.,77,2.6.2 初等矩陣的性質(zhì),78,用初等矩陣左乘一個矩陣,相當(dāng)于 對它進行一次相應(yīng)的初等行變換.,用初等矩陣右乘一個矩陣,相當(dāng)于 對它進行一次相應(yīng)的初等列變

16、換.,性質(zhì)2,79,例1,80,81,82,計算,解 原式,例2,83,總結(jié):,84,存在相應(yīng)初等陣P 使:,PA=B,存在相應(yīng)初等陣Q使:,AQ=B,85,86,預(yù)習(xí)完 2.7,87,*定理2.4,A可逆 初等陣 使:,證,顯然,A可逆,仍是初等陣.,即存在初等陣,2.6.3 矩陣等價的充要條件,r(A)=n,( A可分解為初等陣的積),88,證,是初等陣之積,故可逆且使,令,推論1,89,因為初等變換不變秩.,證 A可逆,則,使,可逆,所以存在初等陣,推論2,90,由A可逆，有,說明A僅經(jīng)過初等行(列)變換可化為 En . 完全相同的變換可以把 En化為 A-1 .,2.6.4 求逆矩陣的

17、初等變換法,可得,91,由此可得到求逆矩陣的初等變換法:,構(gòu)造一個n(2n)矩陣:,構(gòu)造一個 (2n) n矩陣:,行,列,*方法1,方法2,92,用初等行變換求矩陣A的逆矩陣:,例3,93,可驗證,94,例4,則 B =( ). (A) AP1P2 (B) AP2P1 (C) P1P2A (D) P2P1A,95,注 可用初等變換法求矩陣方程,可逆,方法為：,行,其中,96,解,故,97,本節(jié)內(nèi)容提要, 分塊矩陣的運算, 分塊矩陣的初等變換,2.7 分塊矩陣,98,處理有特點的大矩陣時需要進行分塊 分法: 將矩陣用縱線和橫線分成若干小 矩陣,每個小矩陣稱為原矩陣的 子塊.,2.7.1 分塊矩陣

18、的概念,定義 以子塊為元素的矩陣稱為分塊陣.,99,加法: 原矩陣同形且分塊方式相同,數(shù)乘: 分塊方式任意,2.7.2 分塊矩陣的運算,100,乘法: AB =C ( Amp , Bp n ) A的列數(shù) = B 的行數(shù) A的列的分法 = B 的行的分法,101,例1,102,轉(zhuǎn)置:,特別,103,例2,104,尤其要注意AB = 0時的特殊情況:,說明B 的每一列都是齊次線性方程組 AX= 0的一個解.,*例3,A為一子塊,105,預(yù)習(xí) 2.8,106,2.7.3 特殊的分塊矩陣,分塊對角矩陣,如,107,|A|=|A1| |A2| |As|,Ai是方陣時，,|Ai|0時,即Ai可逆時,A可逆

19、,108,109,Ai 是方陣時，,|A|=|A1| |A2| |As|,A可逆,|Ai| 0（i=1,2,s）,分塊三角矩陣,110,本節(jié)內(nèi)容提要, 利用分塊矩陣的初等變換求秩, 分塊矩陣的初等變換,2.8 分塊矩陣的初等變換, 分塊初等陣,111,對分塊矩陣同樣可以引進初等變換和 初等矩陣的概念.分塊矩陣關(guān)于子塊的 一次初等變換,可以看作是關(guān)于元素的 一批初等變換的合成.我們只以分成4塊 的情況簡單解釋.,設(shè),2.8.1 分塊矩陣的初等變換,112,定義 下面三種針對分塊矩陣M 的變形, 統(tǒng)稱為分塊矩陣的初等變換: 初等行變換 初等列變換 (1)換法: (2)倍法: (3)消法:,這里要假定運算滿足可行性原則. 為什么要