1、1,第三節(jié) 向量組的最大無關(guān)組與秩,一、向量組的秩 二、向量組的等價 三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,2,一、向量組的秩,一個向量組所含的向量個數(shù)最多的無關(guān) 部分組有什么性質(zhì)?,問 題,定義2.3.1,如果一個向量組的一個部分組,線性無關(guān), 并且向量組中的任意一個向量都可以由,線性表出, 則稱,為這個向量組,的一個最大線性無關(guān)向量組, 簡稱最大無關(guān)組.向量組的,最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)r稱為向量組的秩,記作,只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組, 并規(guī)定它的秩為0.,3,例1,設(shè)向量組 A: 1 = 1, 1, 1T ,2 =2,1, 0T , 3 =3,2,1T 求A的一個最大無關(guān)組,解,因 1

2、, 2線性無關(guān) , 3 = 1+ 2 1 , 2為A的一個最大無關(guān)組 1 , 3和2 , 3也都是A的最大無關(guān)組,例2,n維單位坐標(biāo)向量組1,2,n 是Rn的一個 最大無關(guān)組,因為向量組1,2,n 線性無關(guān) 而n+1個n 維向量必然線性相關(guān),Rn的任一個向量都可由1,2,n 線性表出 所以1,2,n 為Rn的一個最大無關(guān)組,4,一個向量組的最大無關(guān)組與原向量組有什么關(guān)系? 向量組最大無關(guān)組的四個基本問題 存在、唯一、個數(shù)、求法 需要進(jìn)一步討論兩個向量組之間的關(guān)系,向量組最大無關(guān)組的幾個問題,5,二、向量組的等價,設(shè)有兩個n維向量組A與B,如果向量組A的每個向量可由向量組B線性表出,則稱向量組A

3、可由向量組B線性表出,如果向量組A和向量組B可以互相線性表出,則稱向量組A與向量組B是等價的,記為 向量組A 向量組B,定義2.3.2,6,向量組A,B,C之間的等價具有下列性質(zhì),(1) 自反性 A A,(2) 對稱性 A B = B A,(3) 傳遞性 A B, B C =A C,7,由定義2.3.1, A: 1, 2 , s中任意一個向量 都可由A1: 1, 2 , r線性表出 故 A A1,對i ( i = 1,2,r), 由,可知A1 可由A線性表出,i = 01 +1i + 0r + 0r+1+ 0s,推論2.3.1,向量組的任意兩個最大無關(guān)組等價,定理2.3.1,向量組與它的任一最

4、大無關(guān)組等價,證,設(shè)向量組A :1 , 2 , r , r+1 , ,s A1 :1 , 2 , ,r 是A的一個最大無關(guān)組,8,定理2.3.2,如果n維向量組1, 2 , s可由n維向量 組1,2 ,t線性表出,并且st,則向量組 1, 2 , s必線性相關(guān),如果向量組1,2 ,s 可由向量組 1,2 ,t線性表出,并且1,2 ,s 線性無關(guān), 則s t,推論2.3.2,9,設(shè)無關(guān)向量組A,B含向量數(shù)分別為s,t,由推論2.3.2, 因A可由B線性表出,所以st;同樣因為B也可由A線 性表出,所以ts 故 s =t,兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含 向量的個數(shù)相同,證,推論2.3.3,一個向量

5、組的任意兩個最大無關(guān)組所含 向量的個數(shù)相同,推論2.3.4,推論2.3.5,等價向量組的秩相等,推論2.3.5的逆命題不成立,10,例3,已知向量組1,2可由向量組1,2線性表示,即,問這兩個向量組是否等價?,解,已知,由于,可逆,11,向量組1,2 可由向量組1,2線性表示,綜合(1)(2), 這兩個向量組等價,12,三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,定義2.3.3,矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩, A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩,設(shè)A是一個mn矩陣,令,每行構(gòu)成1個n維行向量；每列構(gòu)成1個m維列向量 A是由m個n維行向量或n個m維列向量構(gòu)成的,13,定理2.3.3,行初等變換不改變矩陣

6、的行秩與列秩,證明思路1,僅需證明如果矩陣A經(jīng)一次行初等變換化 為B時A,B有相同的行秩. 注意到此時A, B 的行向量組等價, 秩自然相同. 即證,考慮對A的列向量進(jìn)行行初等變換化為B時, A與B有相同的列秩. 注意到此時AX=0與 BX=0 為同解方程組,證明思路2,14,推論2.3.6,矩陣的列初等變換不改變矩陣的行秩與列秩,定理2.3.4,矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩,據(jù) 定理2.3.3 和 定理2.3.6 得,如果對矩陣A的轉(zhuǎn)置AT作行初等變換,由定理2.3.3, 行初等變換不改變矩陣AT的行秩與列秩.即對應(yīng)于A 作列初等變換不改變矩陣A的列秩與行秩,矩陣的行秩和列秩相等且即為矩陣的秩,定理2.3.5,15,1=1,2,3T, 2=-3,-2,3T 3=4,7,9T, 4=5,9,12T,例4,已知向量組,求1,2,3,4的秩及其一個