1、,一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,95 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,柱面坐標(biāo)、,柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系、,柱面坐標(biāo)系中的體積元素,柱面坐標(biāo)系中的三重積分,球面坐標(biāo)、,球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系、,球面坐標(biāo)系中的體積元素,球面坐標(biāo)系中的三重積分,一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù) r、q 、z相對(duì)應(yīng)， 其中P(r, q )為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo),這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為： 0 r， 0 q 2 ， z,r,z,P(r, q ),M(x, y, z),x,y,三個(gè)

2、數(shù) r、q 、z 叫做點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo),一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,坐標(biāo)面rr0，q q 0，zz0的意義：,r0,z0,設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù) r、q 、z相對(duì)應(yīng)， 其中P(r, q )為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo),這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為： 0 r， 0 q 2 ， z,三個(gè)數(shù) r、q 、z 叫做點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo),直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：,柱面坐標(biāo)系中的體積元素： dv rdrdqdz,柱面坐標(biāo)系中的三重積分：,解 閉區(qū)域W可表示為： r 2z4，0r2，0q2,于是,zx2y2,或 zr2,例1,二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,這樣的三個(gè)數(shù)r、j 、

3、q 叫做點(diǎn)M 的球面坐標(biāo),設(shè)M(x，y，z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r 、j 、q 相對(duì)應(yīng)，,其中r 為原點(diǎn)O 與點(diǎn)M 間的距離，,j為有向線段 與z 軸正向所夾 的角，,q 為從正z 軸來(lái)看自x 軸按逆時(shí)針 方向轉(zhuǎn)到有向線段 的角,這里r 、j 、q 的變化范圍為 0 r，0 j ，0q 2,z,P,M(x, y, z),x,y,坐標(biāo)面rr0，jj 0，q q 0的意義：,r,點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：,球面坐標(biāo)系中的體積元素： dvr2 sin j drdjdq ,柱面坐標(biāo)系中的三重積分：,例2 求半徑為a 的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立 體的體積,2a,例2 求半徑為a 的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立 體的體積,解 該立體所占區(qū)域W可表示為： 0r2a cos j ，0ja ，0q2,于是所求立體的體積為,2a,例3 求均勻半球體的重心,解 取半球體的對(duì)稱(chēng)軸為 z 軸， 原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a,顯然，重心在z 軸上，故x y 0,解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸與軸l重合，又設(shè)球的半徑為a，,例4 求均勻球體對(duì)于過(guò)球