1、一、問題的提出,實例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,勻質(zhì)之質(zhì)量,分割,求和,取極限,近似值,精確值,二、對弧長的曲線積分的概念,1.定義,被積函數(shù),積分弧段,積分和式,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,2.存在條件：,3.推廣,注意：,4.性質(zhì),三、對弧長曲線積分的計算,定理,注意:,特殊情形,推廣:,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,由對稱性, 知,四、幾何與物理意義,五、小結(jié),1、對弧長曲線積分的概念,2、對弧長曲線積分的計算,3、對弧長曲線積分的應(yīng)用,思考題,對弧長的曲線積分的定義中 的符號可能為負(fù)嗎？,思考題解答,的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度.,練習(xí)題,練習(xí)題答案,一、問題的提出,實例: 變力沿曲線所作

2、的功,常力所作的功,分割,求和,取極限,近似值,精確值,二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念,1.定義,類似地定義,2.存在條件：,3.組合形式,4.推廣,5.性質(zhì),即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).,三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算,定理,特殊情形,(4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,其中,（可以推廣到空間曲線上 ）,可用向量表示,有向曲線元；,例1,解,例2,解,問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.,例3,解,問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.,四、小結(jié),1、對坐標(biāo)曲線積分的概念,2、對坐標(biāo)曲線積分的計算,3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,思考題,思考題解

3、答,曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、區(qū)域連通性的分類,設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,設(shè)空間區(qū)域G, 如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域;,如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.,一維單連通 二維單連通,一維單連通 二維不連通,一維不連通 二維單連通,二、格林公式,定理1,邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3

4、),由(2)知,L,1. 簡化曲線積分,三、簡單應(yīng)用,2. 簡化二重積分,解,(注意格林公式的條件),3. 計算平面面積,解,四、小結(jié),1.連通區(qū)域的概念;,2.二重積分與曲線積分的關(guān)系,3. 格林公式的應(yīng)用.,格林公式;,若區(qū)域 如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。,思考題,思考題解答,由兩部分組成,外邊界：,內(nèi)邊界：,一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義,B,A,如果在區(qū)域G內(nèi)有,二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件,定理2,兩條件缺一不可,有關(guān)定理的說明：,三、二元函數(shù)的全微分求積,定理3,解,解,四、小結(jié),與路徑無關(guān)的四個等價命題,條件,等 價 命 題,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、概念

5、的引入,實例,所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當(dāng)點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.,二、對面積的曲面積分的定義,1.定義,2.對面積的曲面積分的性質(zhì),三、計算法,則,按照曲面的不同情況分為以下三種：,則,則,例1,解,解,依對稱性知：,例3,解,（左右兩片投影相同）,例4,解,四、小結(jié),2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.,1、 對面積的曲面積分的概念;,（按照曲面的不同情況分為三種）,思考題,在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中, 有因子 , 試說明這個因子的幾何意義.,思考題解答,是曲面元的面積,故 是曲面法線與 軸夾角的余弦的倒數(shù).,練 習(xí) 題,練

6、習(xí)題答案,一、基本概念,觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;,2.單側(cè)曲面.,典型雙側(cè)曲面,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,播放,曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).,決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.,曲面的投影問題:,二、概念的引入,實例: 流向曲面一側(cè)的流量.,1. 分割,則該點流速為 .,法向量為 .,2. 求和,3.取極限,三、概念及性質(zhì),被積函數(shù),積分曲面,類似可定義,存在條件:,組合形式:,物理意義:,性質(zhì):,四、計算法,注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,解,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,向量

7、形式,解,六、小結(jié),1、物理意義,2、計算時應(yīng)注意以下兩點,思考題,思考題解答,此時 的左側(cè)為負(fù)側(cè)，,而 的左側(cè)為正側(cè).,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,（一）

8、曲線積分與曲面積分,（二）各種積分之間的聯(lián)系,（三）場論初步,一、主要內(nèi)容,第九章習(xí)題課,曲線積分,曲面積分,對面積的 曲面積分,對坐標(biāo)的 曲面積分,對弧長的 曲線積分,對坐標(biāo)的 曲線積分,定義,計算,定義,計算,（一）曲線積分與曲面積分,定積分,曲線積分,重積分,曲面積分,計算,計算,計算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各種積分之間的聯(lián)系,積分概念的聯(lián)系,定積分,二重積分,曲面積分,曲線積分,三重積分,曲線積分,計算上的聯(lián)系,其中,理論上的聯(lián)系,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系,格林公式,3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系,高斯公式,4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系,斯托克斯公式,Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系,推廣,推廣,梯度,通量,旋度,環(huán)流量,散度,（三）場論初步