1、1,通信原理,第3章 隨機(jī)過(guò)程,隨機(jī)變量 (回顧) 一、隨機(jī)變量,，當(dāng)X, Y 獨(dú)立時(shí),二、分布函數(shù),三、概率分布密度,3,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念,確定性過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。 可從兩種不同角度看：,4,定義1.隨機(jī)過(guò)程的每一個(gè)記錄都是一個(gè)確定的函數(shù)xi(t), 稱為樣本函數(shù), 或隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn). 全部樣本函數(shù)的總體x1(t), x2(t), , xi(t)就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.記為(t). 樣本函數(shù)xi(t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。,角度1：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合。,5,定義2: 隨機(jī)過(guò)程是在時(shí)間進(jìn)程中處于不

2、同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合 隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量,即(t)在t=t1時(shí)刻表現(xiàn)為一個(gè)隨機(jī)變量(t1).,角度2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。,6, (t)：隨機(jī)過(guò)程 (t1)：隨機(jī)變量 隨機(jī)過(guò)程 (t)的一維分布函數(shù)： 隨機(jī)過(guò)程 (t)的一維概率密度函數(shù)：,3.1.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù),7,隨機(jī)過(guò)程 (t) 的二維分布函數(shù)： 隨機(jī)過(guò)程 (t)的二維概率密度函數(shù)： 隨機(jī)過(guò)程 (t) 的n維分布函數(shù)： 隨機(jī)過(guò)程 (t) 的n維概率密度函數(shù)：,3.1.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù),8,均值（數(shù)學(xué)期望）： 在任意給定時(shí)刻t1的取值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值,3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,

3、(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t ) ， 它表示隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。,a (t ),9,方差 方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t 。 因?yàn)?所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻 t 對(duì)于均值a ( t )的偏離程度。,均方值,均值平方,3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,10,相關(guān)函數(shù) R(t1, t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。 協(xié)方差函數(shù) 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時(shí)刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。,3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,

4、11,相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若a(t1) = 0或a(t2)0，則B(t1, t2) = R(t1, t2) 因此通常用R(t1, t2)來(lái)表示隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)間點(diǎn)的相關(guān)特征 互相關(guān)函數(shù) 式中 (t) 和 (t) 分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 R(t1, t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。,3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,12,3.2.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義 若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 (t) 的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有 則稱該隨機(jī)過(guò)程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,13,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。

5、它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)： 二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：,性質(zhì),14,數(shù)字特征： 可見(jiàn)，（1）其均值與t 無(wú)關(guān)，為常數(shù)a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程同時(shí)滿足（1）和（2）的隨機(jī)過(guò)程。 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。,15,能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來(lái)決定平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征呢? 具有“各態(tài)歷經(jīng)性” （又稱“遍歷性”）的隨機(jī)過(guò)程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。,3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性,16,各態(tài)歷經(jīng)性條件 設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過(guò)程 (t) 的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本） 時(shí)

6、間均值的定義： 時(shí)間相關(guān)函數(shù)的定義： 如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立 則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。,3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性,17,“各態(tài)歷經(jīng)”的含義： 隨機(jī)過(guò)程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無(wú)需作無(wú)限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。 各態(tài)歷經(jīng) 的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。,3.2.2 各態(tài)歷經(jīng)性,18,例3-1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)

7、變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值，證明其平穩(wěn)性： 數(shù)學(xué)期望,例題,19,自相關(guān)函數(shù) 令t2 t1 = ，得到 可見(jiàn)， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與t 無(wú)關(guān)， 只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過(guò)程。,例題,20,(2) 再求 (t) 的時(shí)間平均值，證明其各態(tài)歷經(jīng)性 比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。,例題,21,實(shí)平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)： 性質(zhì)： (t)的平均功率 的偶函數(shù) R( )的上界（可以證明） 自相關(guān)函數(shù)R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率 (t)的交流功率 當(dāng)均值為0時(shí)，R(0) = 2,3.2

8、.3 平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),22,對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f (t)，它的功率譜密度定義為 FT ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t) 所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 (t)的功率譜密度定義為：,3.2.4 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度,23,維納-辛欽關(guān)系,功率譜密度的計(jì)算,24,平穩(wěn)過(guò)程的總功率： 從頻域的角度給出了平均功率的計(jì)算法。 各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過(guò)程的功率譜密度。（證明見(jiàn)教材） 功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性 這與R()的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。,功率譜密度的計(jì)算,25,例3-2 求隨機(jī)相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率譜密度。 解 在例3-

9、1中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為 已知 功率譜密度: 平均功率:,例題,26,3.3.1 定義 如果隨機(jī)過(guò)程 (t)的任意n維（n =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。 n維正態(tài)概率密度函數(shù)： 式中,3.3 高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）,27,式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即,3.3.1 定義,28,(1)高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。 (2)廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 (3)如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取

10、值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j k，有bjk =0，則其概率密度 不同時(shí)刻的取值是不相關(guān) 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 (4)高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后生成的過(guò)程仍是高斯過(guò)程。若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過(guò)程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過(guò)程。,3.3.2 重要性質(zhì),29,定義：高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量 一維概率密度函數(shù)為 a 均值 2 方差,3.3.3 高斯隨機(jī)變量,30,性質(zhì) f (x)對(duì)稱于直線 x = a a表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。 當(dāng)a = 0和 = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：,3.3.3 高斯隨機(jī)變量,31,正態(tài)分布函數(shù) 用誤差函

11、數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 誤差函數(shù)，可以查表求出,3.3.3 高斯隨機(jī)變量,32,用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)： 式中 當(dāng)x 2時(shí)， 用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：,3.3.3 高斯隨機(jī)變量,33,3.3.3 高斯隨機(jī)變量,作業(yè),3-2 3-5 （需要對(duì)照習(xí)題說(shuō)明一下）,34,35,確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng) 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系： 隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng) 輸出隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性？,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),36,1. 輸出過(guò)程o(t)的均值 設(shè)輸入過(guò)程是平穩(wěn)的 ，則 輸出過(guò)程的均值是一個(gè)常數(shù)。,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),37,2. 輸出過(guò)程o(t)的自相關(guān)函數(shù) 輸

12、入過(guò)程的平穩(wěn) 于是 輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)。,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。,38,3. 輸出過(guò)程o(t)的功率譜密度 令 = + - ,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入過(guò)程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。,39,4. 輸出過(guò)程o(t)的概率分布 注意:與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。,3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),如果線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。,40,若隨機(jī)過(guò)程 (t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍 f 內(nèi)，即滿足 f

13、fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。,3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程,41,窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示式 式中，a (t) 隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位 c 中心角頻率 a (t)和 (t)的變化相對(duì)于載波cos ct 的變化要緩慢得多。,3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程,42,窄帶隨機(jī)過(guò)程表示式展開(kāi) 式中 (t) 的同相分量 (t) 的正交分量 a (t)和 (t) c(t) 和s(t),3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程, (t)的統(tǒng)計(jì)特性,43,設(shè)(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程，且均值為零，方差為 則 c(t)和s(t)也是零均值、同方差的平穩(wěn)高斯過(guò)程。 證明： 1. 數(shù)學(xué)期望： 因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)

14、于任意的時(shí)間t，都有E(t) = 0 ，所以,3.5.1 c(t) 和s(t) 的統(tǒng)計(jì)特性,44,2. (t)的自相關(guān)函數(shù)： 式中 因?yàn)?t)平穩(wěn)，故有 這就要求上式的右端與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而僅與 有關(guān)。 因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?3.5.1 c(t) 和s(t) 的統(tǒng)計(jì)特性,45,因與時(shí)間t無(wú)關(guān) 所以 令 t = /2c，同理可得,3.5.1 c(t) 和s(t) 的統(tǒng)計(jì)特性,若窄帶過(guò)程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。,46,3. 方差 同時(shí)成立 同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。 根據(jù)互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)，有 則 奇函數(shù) 同理可證,3.

15、5.1 c(t) 和s(t) 的統(tǒng)計(jì)特性,(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。,47,4. 分布 c(t1)， s(t2) 高斯隨機(jī)變量 c(t) 、 s(t) 高斯過(guò)程 根據(jù) c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)， 因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。(見(jiàn)書P.46),3.5.1 c(t) 和s(t) 的統(tǒng)計(jì)特性,48,結(jié)論： 一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。,3.5.1 c(t) 和s(t) 的統(tǒng)計(jì)特性,49,聯(lián)合概

16、率密度函數(shù) f (a , ) 由 可以求得 a 0, = (0 2),3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性,50,a的一維概率密度函數(shù) 的一維概率密度函數(shù),3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性,a服從瑞利(Rayleigh)分布,服從均勻分布,51,結(jié)論 一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有,3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性,52,窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2 A和c 確知振幅和角頻率 包絡(luò)： 相位：,3.6 正弦波加窄帶高斯噪

17、聲,53,正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性 包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z) 利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有 所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲,54,利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系 可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù) 然后求給定條件下的邊際分布， 即,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲,55,由于 故有 式中 I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù) 因此 由上式可見(jiàn)，f (, z)與無(wú)關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲

18、,56,包絡(luò)的概率密度函數(shù)f (z) 廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布 討論 當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中(Az/n2)很小， I0 (Az/n2) 1，萊斯分布退化為瑞利分布。 當(dāng)(Az/n2)很大時(shí) 近似為高斯分布。,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲,57,包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲,58,正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性(比較復(fù)雜，推導(dǎo)省略） 小信噪比時(shí)， 接近于均勻分布，反映窄帶高斯過(guò)程為主的情況 大信噪比時(shí)， 主要集中在有用信號(hào)相位附近。,3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲,59,小結(jié)表,60,1. 白噪聲n (t) 定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲 雙邊功率譜密度 或 單邊功率譜密度 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)（由功率譜密度求傅立葉反變換）,3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲,61,白噪聲和其自相關(guān)函