1、小學數學核心素養(yǎng)簡介,二0一八年十月二十日,主要內容,1.中國學生“核心素養(yǎng)”的提出,2.小學數學“核心素養(yǎng)”,3.小學數學“核心素養(yǎng)”的六大要素,一、核心素養(yǎng)的提出,核心素養(yǎng)是國際課程改革的共同話題,歐盟: 2005 母語交流，外語交流，數學素養(yǎng)和科技素養(yǎng)，數字化素養(yǎng)，學會學習，社交和公民素養(yǎng)，主動和創(chuàng)業(yè)意識，文化意識和表達 美國: 2011 21世紀技能 日本: 2012 21世紀型能力：基礎能力、思維能力、實踐能力 新加坡: 2010 自信的人、自主學習者、積極貢獻者、熱心的公民 新西蘭: 2007 思維能力、語言能力、自我管理、與人相處、參與與貢獻 法國: 2013 重建共和國基礎教育

2、規(guī)劃法案共同基石即七項能力 韓國: 2015 創(chuàng)造性思維、審美感性、溝通、共同體、知識信息處理、自我管理 世界經濟論壇: 2016 基本素養(yǎng)、核心素養(yǎng)、品格,中國學生發(fā)展核心素養(yǎng),2016年9月13日中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架正式發(fā)布，正式確定了學生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架、維度和指標。 1個核心 3個方面 6大要素 18個要點,社 會 參 與,自 主 發(fā) 展,文化基礎,全面發(fā) 展的人,學會學習 健康生活,人文底蘊 科學精神,責任擔當 實踐創(chuàng)新,中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系,學生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力。研究學生發(fā)展核心素養(yǎng)是落實立德樹人根本

3、任務的一項重要舉措，也是適應世界教育改革發(fā)展趨勢、提升我國教育國際競爭力的迫切需要。 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎、自主發(fā)展、社會參與三個方面。 綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細化為國家認同等十八個基本要點。根據這一總體框架，可針對學生年齡特點進一步提出各學段學生的具體表現要求。,一般認為，“素養(yǎng)與知識(或認知)、能力(或技能)、態(tài)度(或情意)等概念的不同在于，它強調知識、能力、態(tài)度的統(tǒng)整，超越了長期以來知識與能力二元對立的思維方式，凸顯了情感、態(tài)度、價值觀的重要，強調了

4、人的反省思考及行動與學習?！?“數學素養(yǎng)是指當前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關心、會思考的市民的需要而具備的認識、理解數學在自然、社會生活中的地位和能力，做出數學判斷的能力，以及參與數學活動的能力?！?可見，數學素養(yǎng)是人們通過數學的學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質，通常是在人們與周圍環(huán)境產生相互作用時所表現出來的思考方式和解決問題的策略。,比如， 在超市設立購物少于一定數量的特殊收銀通道。 有數感人覺得這是一個數學問題。 具有數學素養(yǎng)有助于幫助人們提出問題和解決問題。具有數感的人會有意識地把一些事情與數和數量建立起聯系，認識到排隊結賬這件事中有數學問題，人們買東西的數

5、量（個數）與結賬的速度有關系。并且買很少的東西也同樣排很長時間隊，一方面會顯得交款處排很長的隊，另一方面這些只買很少東西的人在心理上會產生焦慮。而解決這個問題時就需要數據分析觀念，用具體的數據說話會有說服力地解決這個問題。 具備數學素養(yǎng)可能有助于人們在具體的情境中發(fā)現問題、提出問題和解決問題。而這個情境本身可能并非有明顯的數學問題。,高中數學核心素養(yǎng)包括： 數學抽象、 邏輯推理、 數學建模、 數學運算、 直觀想象、 數據分析。 目前，小學數學核心素養(yǎng)體系還沒有頒布,二、小學數學核心素養(yǎng) 三維目標 2011版課標： 四基：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗 四能：發(fā)現問題、提出問題、分析

6、問題、解決問題 核心素養(yǎng),關于“數學核心素養(yǎng)”的不同觀點,觀點1: 馬云鵬 義務教育數學課程標準（2011年版）提出的十大核心概念?？梢詫⑵淅斫鉃閿祵W的核心素養(yǎng)。,數感 符號意識 空間觀念 幾何直觀 數據分析觀念 運算能力 推理能力 模型思想 應用意識 創(chuàng)新意識,課標十大核心概念：,觀點2: 孫曉天,1.是就成人而言； 2.是必備的數學課程目標（門檻、底線）。 “對成人而言”是指向成人社會，由數學在成人社會中的表現所決定。 “必備目標”即必要條件，“代表應該達成的最低共同要求，是每個個體不可或缺的素養(yǎng)”。,看看下面的品格，是否應當必備 ？ 能在不同階段的不同水平上，理解和使用數學語言； 知道課

7、本中的數學與現實生活中的數學之間的聯系； 知道只有不斷轉換目標，數學才能解決真正的問題； 知道如何進行必要的量化及把握量化的范圍與精度； 反思； 用“必備性”衡量，上面提到的品格，顯然一個都不能少，其中每一條不僅是核心數學素養(yǎng)，而且是公民的核心素養(yǎng)！,看看下面的基本能力，是否應當必備 ？ 數感； 符號意識； 運算能力； 推理能力； 用“必備性”衡量，上面提到的能力，顯然一個都不能少，其中每一條不僅是核心數學素養(yǎng)，而且是公民的核心素養(yǎng)！,史寧中: 會用數學眼光觀察世界， 會用數學思維分析世界， 會用數學語言表達世界。,我們認為，小學數學核心素養(yǎng)是在理解數學核心概念、掌握和運用數學規(guī)律和關系的基礎

8、上形成的，具有可持續(xù)學習數學和交流、表達、解決現實世界實際問題的思想和能力。 根據小學生的年齡和認知特點、教師對核心素養(yǎng)的理解及教學的可行性，把數學核心素養(yǎng)直接提煉成數學思想對于學生和教師而言，落實起來是有難度的，因此我們從數學認知、思想能力、個人發(fā)展三個維度構建小學數學核心素養(yǎng)。,思 想 能 力,個 人 發(fā) 展,核心素養(yǎng)從哪里來？ 數學認知,具有數學 素養(yǎng)的人,思考自學 合作交流 創(chuàng)新實踐,數學概念 數學規(guī)律 數學關系,數學抽象 邏輯推理 數學建模 直觀想象 數學運算 數據分析,核心素養(yǎng)到哪里去？ 核心素養(yǎng)的外在表現,核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手段又是目標,核心素養(yǎng)內涵 是什么？,小學數學核

9、心素養(yǎng)體系,數學概念 數學認知水平：了解、理解、掌握、運用 分析與綜合 評價、創(chuàng)造 數學概念：概念是規(guī)律、關系、思想方法的基礎，加強對數學概 念的理解。 有研究表明：對數學概念的表征水平與數學成績呈正相關。,1.數學認知,教學目標要具體、全面、用詞準確、便于落實和檢測。 了解：從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。 理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯系。 掌握：在理解的基礎上，把對象用于新的情境。 運用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當的方法解決問題。 經歷：在特定的數學活動中，獲得一些感性認識。 體驗：參與

10、特定的數學活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一些經驗。 探索：獨立或與他人合作參與特定的數學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現對象的特征及其與相關對象的區(qū)別和聯系，獲得一定的理性認識。 以上教學目標是中等及以下水平的，還應該有更高級的目標：分析、綜合、評價、創(chuàng)造、關聯、結構化。,數學規(guī)律：性質、法則、定律、公理、定理等，是運算和推理的依據 數學關系：模型（公式、數量關系式、方程、函數等） 關聯（整數、小數、分數（有理數）、無理數，圖形之間的關系，數與形數學與生活、數學與其他學科等，每部分內容內部新舊知識的關聯） 關聯后才形成知識結構、認知結構）,分數的基本性質、分式的基本性質 蘊

11、含了豐富的思想方法：變中有不變的思想、恒等變形方法、 數形結合方法、關聯思想（普遍聯系）、類比推理方法,ab = = a : b(b0) 商不變規(guī)律 分數的基本性質 比的基本性質,S=a2,S=ah,S=ah,S = r 2,ab,b0,ab=h,有一組對邊平行的四邊形面積等于這組對邊的平均長度（中位線的長度）乘高。,學（生）本課堂的重要體現是培養(yǎng)獨立思考能力、自學能力、問題解決能力、創(chuàng)造性： 是什么？ 為什么？ 如何運用、應用？ 概念等 判斷推理等 運算、問題解決、建模,深度學習、數學思想方法,思考自學：勤于獨立思考、善于自主學習 合作交流：學會合作學習、師生及生生交流 創(chuàng)新實踐：好奇心（為

12、什么）、想象力（思考） 動手操作、實踐活動、問題解決,2.個人發(fā)展,多問為什么，百分數的意義和應用轉化為分數(課標例81)。,聯系？類比、比較差異、轉化,千分數,3.思想能力,數學抽象 邏輯推理 數學建模 直觀想象 數學運算 數據分析,邏輯推理,數學抽象,數學建模,數學運算,直觀想象,數據分析,數學核心素養(yǎng)的六大要素,數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。,（一）數學抽象,數學抽象是 數量及數量關系、圖形及關系的數學屬

13、性的提取概括。 在數學的教與學的過程中，始終伴隨著抽象，但是有意識與無意識地抽象是有區(qū)別的，有意識去抽象有利于學生思維的發(fā)展。 數的抽象，數系（知識結構）的擴充，規(guī)律、關系等借助直觀等手段不斷抽象。,數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發(fā)展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統(tǒng)。,數學抽象,抽象（不是知識，不靠講解靠感悟） 數是數量的抽象，數量是對現實生活中量的表達。 同時抽象出關系：數量關系的本質是多與少 數關系的本質是大與小。 抽象有兩種方法：對應起名（外延）、述說定義（內涵） 對應：三個蘋果

14、、三只雞 3 （去掉物理屬性） 述說：一個一個多起來（后繼數）： 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，,偉大導師馬克思說： 十進位值制記數法為人類“最妙的發(fā)明之一”。 讀數的關鍵：十個符號 + 數位 如何讀 2002,這讓我們早已習以為常，視為常識般簡單的東西 在人類花費了巨大的難以置信的勞動、并經過了漫長的時間后，才最終建立起來！,點、線、面的抽象 0 維是點、1 維是線、2 維是面、3 維是體。 日常生活看到的幾何圖形都是三維的，點線面是抽象的。,角的抽象 角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。 下面的圖形為角。角由兩條射線所夾部分組成，這兩條射

15、線的一個端點重合。稱這兩條射線為角的邊，角的大小與邊長無關。 幾何作圖（畫角平分線）的教育價值：培養(yǎng)想象力,抽象的小結 抽象出數學研究的對象： 把外部世界的數量和數量關系、 圖形與圖形關系引到數學內部。 概念：自然數、負數、點、線、面、體、角 關系：（代數）數的大小關系，（幾何）兩點決定一條直線 法則：加法 減法、乘法、除法 抽象的東西不存在：現實中沒有 2，只有具體的兩匹馬、兩頭牛 抽象的東西是理念的存在 鄭板橋：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,在數學抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經驗。學生能更好地理解數學概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事

16、物的數學本質，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，能在其他學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題。,數學抽象,（二）邏輯推理 1. 推理的概念。 推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據的判斷叫前提，根據前提所得到的判斷叫結論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真時，合情推理所得的結論可能為真也可能為假。,邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，

17、是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。,(1) 演繹推理。 三段論，有兩個前提和一個結論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷。 例如：一切奇數都不能被整除，()是奇數，所以()不能被整除。,選言推理， 分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支，結論則肯定剩下的那個選言支。 例如：一個三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要么是鈍角三角形。這個三角形不是

18、銳角三角形和直角三角形，所以，它是個鈍角三角形。,排除法,假言推理 簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。 例如：如果一個數的末位是0，那么這個數能被整除；這個數的末位是0，所以這個數能被整除。這里的大前提是一個假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。,關系推理， 是前提中至少有一個是關系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關系推理： (1)對稱性關系推理，如米厘米， 所以厘米米； (2)反對稱性關系推理，a大于b，所以b不大于a； (3)傳遞性關系推理，ab，bc，所以ac。關系推理在數學學習中應用比較

19、普遍，如在一年級學習數的大小比較時，把一些數按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用到了關系推理。,“寓理于算”的思想,例：正方形的面積是5平方分米,求這個正方形的內切圓的面積。,S=r2,r2 =,例：一個正方形中有一個畫陰影的長方形，求陰影部分的長方形周長。,(2) 合情推理。 歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現某些相同的性質，推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。需要

20、進一步證明結論的可靠性。 類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法。需要進一步證明結論的可靠性。,2. 推理思想的重要意義。 傳統(tǒng)的數學大綱比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而課程標準（實驗稿）又矯枉過正，過于強調合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。就學好數學或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。 課程標準（2011年版）在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。 合情推理有助于探索解

21、決問題的思路,發(fā)現結論； 演繹推理用于證明結論的正確性。,轉化是與推理有關的思想 如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為轉化思想。 從小學到中學，數學知識呈現一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數學、理解和掌握數學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數學問題。因此，轉化是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義。 轉化思想是攻克各種復雜問題的法寶之一,請根椐圖意計算出瓶子的容積。,如圖所示:長方形的長

22、是8厘米，寬是4厘米， 求圖中所有陰影部分的面積。（參賽試題）,化繁為簡的策略 例：快速口算： 8585 9595 105105,組合圖形面積的計算。（割補） 三位數乘兩位數。（轉化為學過的內容） 11421： 11421： 11420 11173 1141,邏輯推理的教學。 就演繹推理和合情推理的關系及教學建議，課程標準指出“推理貫穿于數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式。教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現一些規(guī)律，猜測某些結論，發(fā)展合情推

23、理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特征提出不同程度的要求”。,第一，在小學數學中，除了運算是數學的基本方法外，推理也是常用的數學方法。無論是低年級的找規(guī)律、總結計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理。 第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。 第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內容領域的教學要有機地結合。推理能力的發(fā)展與各領域知識的學習是一個有機的結合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發(fā)現結論，培養(yǎng)推理能力。 第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結合具體知

24、識的學習，同時要考慮學生的認知水平和接受能力。,數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。 主要包括：在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式。,數學建模,數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發(fā)展的動力。在數學建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數學解決實際問題的經驗。學生能夠在實際情境中發(fā)現和提出問題；能夠針對問題建立數學模型；能夠運用數學知識求解模型，并嘗試基于現實背景驗證模型和完善模型；能夠提升應

25、用能力，增強創(chuàng)新意識。,數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。 從廣義角度講，數學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數量關系式、圖表、程序等都是數學模型。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。,數學模型是運用數學的語言和工具，對現實世界的一些信息進行適當的簡化，經過推理和運算，對相應的數據進行分析、預測、決策和控制。 課程標準明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。 建立和

26、求解模型的過程包括： 從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。,數學模型的應用。 數的表示，自然數列：0,1,2,用數軸表示數 用數字和圖形表示規(guī)律 數的運算a+b=c，ca =b, cba， abc(a0,b0)，ca=b, cba 用字母表示運算定律，方程ax+b=c 數量關系：時間、速度和路程：s=vt 數量、單價和總價：a=np 正比例關系：y/x=k 反比例關系：xy=k 用表格表示數量間的關系用圖象表示數量間的關系 用字母表示周長、面積和體積公式 用圖表示空間和平面結構 用統(tǒng)計圖表描述和

27、分析各種信息,數學建模是一個比較復雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟： (1) 理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。 (2) 把復雜的情境經過分析和簡化，確定必要的數據。 (3) 建立模型，可以是數量關系式，也可以是圖表形式。 (4) 解答問題。,對于大多數人來說，在現實生活和工作中利用數學解決各種問題，基本上都是根據對現實情境的分析，利用已有的數學知識構建模型。 如物體運動的路程、時間和速度的關系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。 s=vt還可以表示其它意義,例：甲乙兩地相距1200米，李老師以每分鐘80米的速度從甲地向

28、乙地步行，同時一只狗也從甲地向乙地跑去，每分鐘比李老師快40米，并且達到乙地后立即往回跑，與李老師相遇后，繼續(xù)重復以上動作，直到李老師到達乙地為止。這只狗一共跑了多少米？,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。,直觀想象,直觀想象是發(fā)現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀

29、和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。,直觀想象,點動成線 線動成面 面動成體,“圓的面積”中的想象,數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段。數學運算是計算機解決問題的基礎。在數學運算核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠進一步發(fā)展數學運算能力；能有效借助運算方法解決實際問題；能夠通過運算促進數學思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習慣；形成

30、一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。,數學運算,數學成績與數學運算能力呈正相關。 這是大數據得出的結果,計算到底學到什么程度合適？ 難度、正確率、速度,運算能力是否等同于運算技能（即算得又對有快？）,學生基本的運算技能是什么？,除了掌握基本的運算技能，還有哪些有“價值” 的學習內容？,計算是小學生必須掌握的一項重要的基本技能，,在小學階段使學生具有非,負有理數（整數、小數、分數）四則運算的能力，也是他們繼續(xù)學習數學和其他,科學知識必不可少的基礎。,計算是小學生必須掌握的一項重要的基本技能，,在小學階段使學生具有非,負有理數（整數、小數、分數）四則運算的能力，也是他們繼續(xù)學習數學和其他,科學知識必不可

31、少的基礎。,請思考,數的運算的四條主線,第一學段計算技能評價要求,運算推理：計算是具體的推理，推理是抽象的計算。 9+2=9+1+1=10+1=11是一個運用整數的意義推理的過程。 十進位值制每個數位上最大數字是9，9+2的和是十幾，是一個兩位數，11根小棒中拿出10根捆成一捆，湊成十。,案例：吳正憲老師的一節(jié)估算課,1.出示六次稱出的所在大石頭的質量（千克）：,方法一：3006=1800（小估法） 方法二：4006=2400（大估法） 方法三：300300300400400400=2100（大小估法） 方法四：3506=2100（中估法） 方法五：330 350300 380400 350=

32、2110（四下五上估） 方法六：3007=2100（湊估法）,哪種方法合理？,情境2： 350名同學要外出參觀。有7輛車，每輛車56個座位，估一估夠不夠坐？,方法1：750=350 方法2：760=420 師：往大估（方法2）和往小估（方法1）哪個更好？ 生1：往小估都夠了，按實際的56來計算就更夠了。 師：往大估行嗎？ 生1：本來每輛車只有56個座位，你做成60個了，萬一人來多了，有可能不夠了。 生2：小估好，小估保險。,估算與準確性,估算的教學中讓學生在“估一估”后再“算一算”是十分必要的，這樣可以讓學生感受到估算的合理性，與真實數據之間的差距，從而培養(yǎng)學生科學嚴謹的態(tài)度。,對口算、估算及

33、筆算的掌握，是小學數學基本技能的核心。 123 =(10+2)3 =103+23 =30+6 橫式與豎式意義相同，只是書寫形式不同。 為什么要引入豎式呢？ 就是因為數據大了，不能直接口算，要把計算的每一步記錄下來，豎式最方便。,何為算理？顧名思義，算理就是計算過程中的道理，是指計算過程中思維方式，是解決為什么這樣算的問題。 如計算214+35時，就是根據數的組成進行演算的：214是由2個百、1個十和4個一組成的，35是由3個十和5個一組成的，所以先把4個一與5個一相加9個一，再把1個十與3個十相加得4個十，最后把2個百、4個十和9個一合并得249，這就是算理。,計算方法的探索及算理的理解,當學

34、生進行了一定量的練習以后，發(fā)現了計算的規(guī)律： 個位數只能與個位數直接相加、十位數只能與十位數直接相加、百位數只能與百位數直接相加，也就是相同數位上的數才能直接相加，最后再把幾個得數合并，這是學生感悟算理的過程；最后進行優(yōu)化計算過程，為了便于計算一般寫成豎式形式，在此基礎上引導學生抽象概括出普遍適用的計算法則：把相同數位對齊列出豎式，再從個位加起，滿十向前一位進一，這就是算法。,從上面的分析可以看出算理與算法有這些關系： 算理是客觀存在的規(guī)律，算法卻是人為規(guī)定的操作方法；算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論

35、依據，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經過算法實現優(yōu)化，它們是相輔相成的。,重視算理的教學,算理是四則運算的理論依據，它是由數學概念、運算定律、運算性質等構成；運算法則是四則運算的基本程序和方法。,測試題目的檢測目的： 計算4225，考察的是學生是否掌握了兩位數乘兩位數的法則。 在3412的豎式中，箭頭所指的這一步表示的是（ ）。,（2）了解四則運算中的算理及學生想法中所蘊含的道理。,0.725=72（個0.01）5=360（個0.01 ）=3.6,（3）通過多種方式幫助學生理解算理。,常用的理解算理的方式有：實物原型、直觀模型、已有知識等。,乘法運算中的常用直觀模型：（

36、以1412為例）,“不具十進關系”的面積模型（點子圖、方格模型）,有利于學生理解乘法的意義，引發(fā)學生將其分成不同的部分從而產生多種方法，不利于將乘數拆成“10和幾”。,“具有十進關系”的面積模型或小棒圖,不易引發(fā)學生的多種方法。,計數器模型。 用計數器模型表示124,對整數加減法的豎式運算，關鍵是“相同計數單位相加減”，如果學生對于位值制不理解的話，在計算中就會出現困難。 分數加減運算中，學生需要理解分數的“度量意義”（分數是分數單位的“累計”）；在分數的乘除運算中，學生有需要理解分數的“運作意義” （如乘2/3，相當于除以3，再乘2）,注意對于數和運算意義的深入理解,在理解四則運算中使用幾何

37、直觀 分數乘法的幾何模型，為什么分母相乘、分子相乘，一目了然。,一、創(chuàng)設情境： 4人一起用餐，共花費97元，AA制，每人該付多少錢？ 你能解決這個問題嗎？自己試試？ 兩分鐘后，師提問：解決問題中你遇到了什么困難、困惑？愿意分享嗎？ 學生幾乎列出同樣的算式，并計算結果： 974=24（元） 1（元） 師：一個人到底付多少錢？這剩下的1元怎么分？你們能想想辦法嗎？想自己試試嗎？教師為同學提供人民幣學具，學生獨立思考，嘗試解決。,案例1：小數除法吳正憲,生1: 1元=100分 1004=25分 25分=0.25元 24+0.25=24.25 生2: 1元=10角 10角4=2角 2角 2角=20分

38、20分4=5分 24元+2角+5分=24元2角5分 生3： 師：剛才的這幾種方法都有什么相同的地方？ 生1：都把剩下的1元換成了單位比較小的數繼續(xù)分。 生2：以后解決這樣的問題是不是總得這樣分呀、換呀，太麻煩了。,師：大家有什么好辦法呢？能用一個怎樣的算式表示分的過程呢？ 生1板書： 生2：余下的明明是1元，怎么在這里 是“10”呢？ 生1：1元不夠分了，剛才我們不是把 這1元換成了10角了嗎？這里的“10” 就是10角。 生2：我看懂了，這樣又可以繼續(xù)分。 生3：每本書就是24元2角5分。 師：同學們看懂了嗎？這樣記錄分的 過程怎么樣？,生4：好像有點不對，商是2425元啊。 生3：我算的結

39、果不是2425元，就是 24元2角5分。 生5：我們大家看不出來啊。 一位學生突然從座位上走到黑板前 在“2425”中間點上一個圓圓的小 數點。,數據分析,數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統(tǒng)計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論。 數據分析是大數據時代數學應用的主要方法，已經深入到現代社會生活和科學研究的各個方面。,“統(tǒng)計觀念”與“數據分析觀念”,從“統(tǒng)計觀念”到“數據分析觀念”凸顯數據分析是統(tǒng)計的核心。,它們的聯系主要表現在對經歷完整的統(tǒng)計過程，逐步培養(yǎng)運用統(tǒng)計方法分析和解決簡單實際問題的重視上； 區(qū)別在于，后者更加關注數據在統(tǒng)計活動中的基礎地位、數據分析方法的特點，以及數據處理過程所蘊涵的更為一般的數學思想。,”統(tǒng)計觀念”與“數