1、1.1 二進制代碼,1.2 二值邏輯變量與基本邏輯運算,1.3 邏輯函數(shù)及其表現(xiàn)方法,1.4 邏輯代數(shù),1.5 卡諾圖化簡法,第一章 數(shù)電基礎(chǔ)知識,二進制代碼的位數(shù)(n),與需要編碼的事件（或信息）的個 數(shù)(N)之間應(yīng)滿足以下關(guān)系：,N2n,概念：用4位二進制數(shù)來表示一位十進制數(shù)中的09十個數(shù)碼， 簡稱BCD碼。,從4 位二進制數(shù)16種代碼中,選擇10種來表示09個數(shù)碼的方案有很多種。每種方案產(chǎn)生一種BCD碼。,碼制:編制代碼所要遵循的規(guī)則,1.1.1 二-十進制碼,1.1 二進制代碼,（1）幾種常用的BCD代碼,（2）各種編碼的特點：,余碼的特點:當(dāng)兩個十進制的和是10時，相應(yīng)的二進制正好是

2、16，于是可自動產(chǎn)生進位信號,而不需修正.0和9, 1和8,.6和4的余碼互為反碼,這對在求對于10的補碼很方便。,余3碼循環(huán)碼：相鄰的兩個代碼之間僅一位的狀態(tài)不同。按余3碼循環(huán)碼組成計數(shù)器時，每次轉(zhuǎn)換過程只有一個觸發(fā)器翻轉(zhuǎn)，譯碼時不會發(fā)生競爭冒險現(xiàn)象。,有權(quán)碼：編碼與所表示的十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)算容易 如(10010000) 8421BCD=(90),對于一個多位的十進制數(shù)，需要有與十進制位數(shù)相同的幾組BCD代碼來表示。例如：,(3)用BCD代碼表示十進制數(shù),對于有權(quán)BCD碼，可以根據(jù)位權(quán)展開求得所代表的十進制數(shù)。例如：,(4)求BCD代碼表示的十進制數(shù),格雷碼是一種無權(quán)碼。,編碼特點是：任何兩

3、個相鄰代碼之間僅有一位不同。,該特點常用于模擬量的轉(zhuǎn)換。當(dāng)模擬量發(fā)生微小變化，格雷碼僅僅改變一位，這與其它碼同時改變2位或更多的情況相比，更加可靠,且容易檢錯。,1.1.2 格雷碼,1.2 二值邏輯變量與基本邏輯運算,*邏輯運算:當(dāng)0和1表示邏輯狀態(tài)時，兩個二進制數(shù)碼按照某種特定的因果關(guān)系進行的運算。 邏輯運算使用的數(shù)學(xué)工具是邏輯代數(shù)。,邏輯運算的描述方式:邏輯代數(shù)表達式、真值表、邏輯圖、卡諾圖、波形圖和硬件描述語言（HDL) 等。,* 邏輯代數(shù)與普通代數(shù):與普通代數(shù)不同,邏輯代數(shù)中的變量只有0和1兩個可取值，它們分別用來表示完全兩個對立的邏輯狀態(tài)。,在邏輯代數(shù)中，有與、或、非三種基本的邏輯運

4、算。,1、與邏輯（與運算）,與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達式為：,開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡L,兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達式為：,L,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈不亮。,A接通、B斷開，燈不亮。,A、B都接通，燈亮。,這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。,將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0。可以作出如下表格來描述與邏輯關(guān)系：,功能表,實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：,L,真值表,邏輯符號,2、或邏輯（或運算）,或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條

5、件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達式為：,開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡L,兩個開關(guān)必須同時接通，燈才亮。邏輯表達式為：,L,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈不亮。,A接通、B斷開，燈不亮。,A、B都接通，燈亮。,這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。,將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：,功能表,實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：,L,真值表,邏輯符號,2、或邏輯（或運算）,或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具備，事件（

6、Y）就發(fā)生。表達式為：,開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡L,兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達式為：,L+,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈亮。,A接通、B斷開，燈亮。,A、B都接通，燈亮。,實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：,L=A+B,真值表,功能表,邏輯符號,3、非邏輯（非運算）,非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達式為：,開關(guān)A控制燈泡L,實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：,A斷開，燈亮。,A接通，燈滅。,真值表,功能表,邏輯符號,4、幾種常用的邏輯運算,（1）與非運算：邏輯表達式為：,（2）

7、或非運算：邏輯表達式為：,（3）異或運算：邏輯表達式為：,（4） 同或運算：邏輯表達式為：,（5） 與或非運算：邏輯表達式為：,樓道燈開關(guān)示意圖,邏輯抽象，列出真值表,1.3 邏輯函數(shù)及其表示方法,1、真值表表示方法,邏輯表達式是用與、或、非等運算組合起來，表示邏輯函數(shù)與邏輯變量之間關(guān)系的邏輯代數(shù)式。,例：已知某邏輯函數(shù)的真值表，試寫出對應(yīng)的邏輯函數(shù)表達式。,2、邏輯表達式表示方法,用與、或、非等邏輯符號表示邏輯函數(shù)中各變量之間的邏輯關(guān)系所得到的圖形稱為邏輯圖。,將邏輯函數(shù)式中所有的與、或、非運算符號用相應(yīng)的邏輯符號 代替，并按照邏輯運算的先后次序?qū)⑦@些邏輯符號連接起來， 就得到圖電路所對應(yīng)的

8、邏輯圖,3、邏輯圖表示方法,用輸入端在不同邏輯信號作用下所對應(yīng)的輸出信號的波形圖， 表示電路的邏輯關(guān)系。,4、波形圖表示方法,1.4.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,（1）常量之間的關(guān)系,（2）基本公式,分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。,1.4 邏輯代數(shù),（3）基本定理,利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明AB=BA：,(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+AB+AC+BC,等冪率AA=A,=A(1+B+C)+BC,分配率A(B+C)=AB+AC,=A+BC,0-1率A+1=1,證明分配率：A+BC=(A+B)(A+

9、C),證明：,（4）常用公式,分配率A+BC=(A+B)(A+C),0-1率A1=1,分配率A(B+C)=AB+AC,0-1率A+1=1,注意：本節(jié)所列出的基本公式反映的是邏輯關(guān)系而不是數(shù)量之間的關(guān)系，在運算中不能簡單套用初等代數(shù)的運算規(guī)則。,1.4.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。,例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：,（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1

10、”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：,注意：運用反演規(guī)則應(yīng)注意以下兩個原則 （1）保持原來的運算優(yōu)先級，即先進行與運算，后進行或運算，并注意優(yōu)先考慮括號內(nèi)的運算； （2）對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變。,（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達式Y(jié)，Y稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：,對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則

11、,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：,注意：在運用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。,1.4.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,1、邏輯函數(shù)的最簡與-或表達式 一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式。,一種形式的函數(shù)表達式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。,邏輯函數(shù)化簡的意義：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)它的電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。,1、最簡與或表達式,乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最

12、少的表達式稱為最簡與或表達式。,最簡與或表達式,2、最簡與非-與非表達式,非號最少、并且每個非號下面乘積項中的變量也最少的與非-與非表達式。,在最簡與或表達式的基礎(chǔ)上兩次取反,用摩根定律去掉下面的非號,3、最簡或與表達式,括號最少、并且每個括號內(nèi)相加的變量也最少的或與表達式。,求出反函數(shù)的最簡與或表達式,利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡或與表達式,4、最簡或非-或非表達式,非號最少、并且每個非號下面相加的變量也最少的或非-或非表達式。,求最簡或非-或非表達式,兩次取反,、最簡與或非表達式,非號下面相加的乘積項最少、并且每個乘積項中相乘的變量也最少的與或非表達式。,求最簡或非-或非表達式,用摩根定律去

13、掉下面的非號,用摩根定律去掉大非號下面的非號,1、并項法,2、邏輯函數(shù)的化簡方法 邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。,若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。,運用摩根定律,運用分配律,運用分配律,2、吸收法,如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。,運用摩根定律,（）利用公式，消去多余的項。,如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。,、配項法,（）利用公式，為某項配上其所能合并的項。,、消去冗余項法,、由邏輯函數(shù)畫出邏輯圖（補充） 一

14、個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式，每個表達式對應(yīng)一個邏輯圖。 步驟：（）根據(jù)文字要求將邏輯函數(shù)化成所需形式 （）根據(jù)所得邏輯函數(shù)選擇邏輯門，然后逐級畫出 邏輯圖,例：已知邏輯函數(shù)表達式為 要求（）最簡的與或邏輯函數(shù)表達式，并畫出相應(yīng)的邏輯 圖 （）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖,解：,根據(jù)最簡與或表達式畫邏輯圖：,根據(jù)最簡與非與非表達式畫邏輯圖：,1.5.1 最小項的定義及其性質(zhì),（1）最小項的定義 N個變量12Xn的最小項是n個因子的乘積，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。一般來說n

15、個變量的最小項應(yīng)有2n個。例如： A、B、C3個邏輯變量的最小項有23=8個，分別為 ：,3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：,（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應(yīng)的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。,1.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,（3）最小項的性質(zhì)：,任意一個最小項，只有一組輸入變量取值使其值為1,全部最小項的和必為1。,任意兩個不同的最小項的乘積必為0。,不同的最小項使它的值為的那組輸入變量的取值也不同。,任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的

16、一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達式，也稱為最小項表達式,1.5.2 邏輯函數(shù)的最小項表達式,如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。,將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達式。,1.5.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),1、卡諾圖的構(gòu)成,邏輯函數(shù)的圖形化簡法是將邏輯函數(shù)用卡諾圖來表示，利用卡諾圖來化簡邏輯函數(shù)。,一個邏輯函數(shù)的卡諾圖就是將此函數(shù)的最小項表達式中的各最小項相應(yīng)的填入一個特定的方格圖內(nèi)，此方格圖稱為卡諾圖。,卡諾圖的特點是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，

17、又稱為邏輯相鄰項） 。,每個2變量的最小項有兩個最小項與它相鄰,每個3變量的最小項有3個最小項與它相鄰,每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰,最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的,最上面一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的,兩個相鄰最小項可以合并消去一個變量,邏輯函數(shù)化簡的實質(zhì)就是相鄰最小項的合并,2、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示,（1）邏輯函數(shù)是以真值表或者以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。,m1,m3,m4,m7,m6,m11,m15,m14,（2）邏輯函數(shù)以一般的邏輯表達式給出：先將函數(shù)變換為與或表達式（不必

18、變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0。,變換為與或表達式,3、卡諾圖的性質(zhì),（1）任何兩個（21個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。,（2）任何4個（22個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。,（3）任何8個（23個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。,小結(jié)：相鄰最小項的數(shù)目必須為個才能合并為一項，并消去N個變量。包含的最小項數(shù)目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯

19、表達式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理。,1、化簡的基本步驟,邏輯表達式或真值表,卡諾圖,1,1,1.5.4 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),合并最小項,圈越大越好，但每個圈中標(biāo)的方格數(shù)目必須為個。同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。不能漏掉任何一個標(biāo)的方格。,最簡與或表達式,冗余項,2,2,3,3,將代表每個圈的乘積項相加,兩點說明：, 在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。,不是最簡,最簡, 在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達式

20、不是唯一的。,卡諾圖化簡法的總結(jié): （1）化簡步驟：填圖、圈圖、寫最簡式 （2）圈圖原則：“矩”“指”成圈、能大勿小、能少勿多、對邊相臨 每圈包含2N個方格，且形狀呈矩形才能畫圈“矩”“指”成圈 每個圈含的方格盡量多，即圈越大越好能大勿小 圈數(shù)盡量少能少勿多 注意卡諾圖上下及左右的對邊方格的相臨性對邊相臨 為滿足以上幾點，有些方格可重復(fù)利用，但每圈至少含一個新方格 可只圈填1的方格，也可只圈填0的方格，后者得到的結(jié)果為反函數(shù)，即與或非式 （3）寫最簡式原則：與項多少看圈數(shù)、因子如何看位置、互補因子被消去,例：用卡諾圖法化簡邏輯函式L(A、B、C)= 解: (1)將原式變成最小項表達式 ,（）填圖和圈圖 根據(jù)上面總結(jié)的規(guī)則對三變量的卡諾圖填或填，再畫圈, , ,對卡諾圖圈,對卡諾圖圈,（）寫最簡式 圈時： 圈時：,隨意項：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項稱為隨意項，也叫做約束項或無關(guān)項。