1、第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1.1 復(fù)數(shù),1.1.1 復(fù)數(shù)的概念,設(shè) ， 為兩個任意實數(shù)，稱形如 的數(shù)為復(fù)數(shù)，記為 ，其中 滿足 ，稱為虛數(shù)單位.實數(shù) 和 分別稱為復(fù)數(shù) 的實部和虛部，記為 ， . 各數(shù)集之間的關(guān)系可表示為,1.1.2 復(fù)數(shù)的代數(shù)運算,設(shè)復(fù)數(shù) ， ，定義 與 的四則運算如下： 加法： 減法： 乘法： 除法： 復(fù)數(shù)四則運算規(guī)律： （1）加法交換律,（2）乘法交換律 （3）加法結(jié)合律 （4）乘法結(jié)合律 （5）乘法對于加法的分配律 復(fù)數(shù)運算的其它結(jié)果： （1） （2） （3）若 ，則 與 至少有一個為零，反之亦然.,共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （

2、7） 為實數(shù).,例1 化簡 . 解,例2 設(shè) ，求 及 . 解 所以,1.1.3 復(fù)數(shù)的各種表示、模與輻角,1.復(fù)數(shù)的幾何表示 由復(fù)數(shù) 的定義可知，復(fù)數(shù)是由一對有序?qū)崝?shù) 惟一確定的，于是可建立全體復(fù)數(shù)和 平面上的全部點之間的一一對應(yīng)關(guān)系，即可以用橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為 的點 表示復(fù)數(shù) （如圖1.1），這是一種幾何表示法，通常稱為點表示，并將點 與數(shù) 看作同義詞.,圖1.1,圖1.2,2.復(fù)數(shù)的向量表示 復(fù)數(shù) 還可以用起點為原點，終點為 的向量 來表示（如圖1.1）， 與 分別是 在 軸與 軸上的投影.這樣，復(fù)數(shù)與平面上的向量之間也建立了一一對應(yīng)關(guān)系. 3.復(fù)數(shù)的模與輻角 復(fù)數(shù)的模 如圖1.1中的

3、向量 的長度稱為復(fù)數(shù) 的模，記作 或 ，即,復(fù)數(shù)的輻角 設(shè)復(fù)數(shù) 對應(yīng)的向量為 （如圖1.1）, 與實軸正方向所夾的角 ，稱為復(fù)數(shù) 的輻角,記作 ，即 并規(guī)定 按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負(fù). 4.復(fù)數(shù)的三角表示式 稱 為復(fù)數(shù) 的三角表示式. 5.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式 稱 為復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式.,例3 求 和 . 解,例4 求 的三角表示式與指數(shù)表示式. 解 因為 , 所以 設(shè) 則 又因為 位于第II象限， 所以 , 于是,1.1.4. 復(fù)數(shù)的冪與根,1. 復(fù)數(shù)的乘冪 設(shè) 為正整數(shù)， 個非零相同復(fù)數(shù) 的乘積，稱為 的 次冪，記為 ，即 若 ，則有 當(dāng) 時，得到著名的棣莫弗 （De Moiv

4、re）公式,例7 求 . 解 因為 所以 例8 已知 ， 求 . 解 因為,所以,2.復(fù)數(shù)的方根,稱滿足方程 的復(fù)數(shù) 為 的 次方根，記作 或記作 . 例1 解方程 . 解 因為 所以,可求出6個根，它們是,例2 計算 解 因為 所以 即,第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1.2 區(qū)域,1.2.1. 復(fù)平面上的點集與區(qū)域,擴充復(fù)平面 包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面. 有限復(fù)平面 不包括無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或復(fù)平面. 鄰域 平面上以 為心， 為半徑的圓： 內(nèi)部所有點 的集合稱為點的 鄰域，記為 ，即 稱集合 為 的去心 鄰域， 記作 .,開集 如果點集 的每一個點都是 的內(nèi)點，則稱 為

5、開集. 閉集如果點集 的余集為開集，則稱 為閉集. 連通集 設(shè)是 開集，如果對于 內(nèi)任意兩點，都可用折線連接起來，且該折線上的點都屬于 ，則稱開集 是連通集. 區(qū)域（或開區(qū)域） 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. 閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，記為 .,1.2.2 單連通域與多（復(fù)）連通域,1. 簡單曲線、簡單閉曲線 若存在滿足 ， 且 的 ，使 ,則稱此曲線C有重點，無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當(dāng)（Jordan）曲線；除 外無其它重點的連續(xù)曲線稱為簡單閉曲線，例如， 是一條簡單閉曲線（如圖1.9）.,圖1.9,在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡單曲線

6、自身是不會相交的；簡單閉曲線除了沒有“打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡單曲線， 是簡單閉區(qū)域，圖1.11中的 ， 不是簡單曲線，但 是閉曲線.,圖1.10,圖1.11,2. 光滑曲線、分段光滑曲線 設(shè)曲線 的方程為 若 ， 在 上可導(dǎo)且 ， 連續(xù)不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線. 3. 單連通域、多連通域 設(shè) 是復(fù)平面上一區(qū)域，如果在 內(nèi)任作一條簡單閉曲線 ，其內(nèi)部的所有點都在 中，則稱區(qū)域 為單連通區(qū)域；否則稱 為多連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域.,在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個沒有“空洞（點洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“

7、洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線 所圍成的區(qū)域中挖掉幾個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12 ）.,圖1.12,第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1.3 復(fù)變函數(shù),1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念 定義1 設(shè) 為給定的平面點集，若對于 中每一個復(fù)數(shù) ，按著某一確定的法則 ，總有確定的一個或幾個復(fù)數(shù) 與之對應(yīng)，則稱 是定義在 上的復(fù)變函數(shù)（復(fù)變數(shù) 是復(fù)變數(shù) 的函數(shù)），簡稱復(fù)變函數(shù)，記作 .其中 稱為自變量， 稱為因變量，點集 稱為函數(shù)的定義域.,例1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對二元實變函數(shù). 解 設(shè) ， ，代入 得 比較實部與虛部得 ，,例2 將定義在全平面除原點區(qū)域上的一對二元實變函數(shù)

8、 ， （ ） 化為一個復(fù)變函數(shù). 解 設(shè) ， ， 則 將 ， 以及 代入上式，經(jīng)整理后，得,1.3.2 映射的概念 如果復(fù)數(shù) 和 分別用 平面和 平面上的點表示，則函數(shù) 在幾何上，可以看成是將 平面上的定義域 變到 平面上的函數(shù)值域 的一個變換或映射，它將 內(nèi)的一點 變?yōu)?內(nèi)的一點 （如圖1.13）.,圖1.13,1.3.3 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 1.反函數(shù) 定義2 設(shè) 定義在 平面的點集 上，函數(shù)值集合 在 平面上.若對任意 ，在 內(nèi)有確定的 與之對應(yīng).反過來，若對任意一點 ，通過法則 ，總有確定的 與之對應(yīng)，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 為 的函數(shù)，記作 ，稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆

9、映射.,2.復(fù)合函數(shù) 定義3 設(shè)函數(shù) 的定義域為 ，函數(shù) 的定義域為 ，值域 .若對任一 ，通過 有確定的 與之對應(yīng)，從而通過 有確定的 值與 對應(yīng)，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 是 的函數(shù)，記作 ，稱其為 與 的復(fù)合函數(shù).,第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1.4 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性,1.4.1復(fù)變函數(shù)的極限 定義4 設(shè)函數(shù) 在 的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對任意給定的正數(shù) （無論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù) ，使得適合不等式 的所有 ，對應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 則稱復(fù)常數(shù) 為函數(shù) 當(dāng)時 的極限，記作 或,定理1 設(shè) ， 則 的充分必要條件為: 且,復(fù)變函數(shù)的極限四則運算法則： 設(shè) ， ，則 (1) (2)

10、 (3),例1 試求下列函數(shù)的極限. （1） （2） 解 （1）法1 設(shè) ，則 ，且 得,法2 （2） 設(shè) ，則 ，得,例2 證明函數(shù) 在 時極限不存在. 證 設(shè) ， 而 ， . 考慮二元實函數(shù) 當(dāng) 沿著 （ 為任意實數(shù)）趨向于 ，即,顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據(jù)二元實變函數(shù)極限的定義知， 在 趨向于 時的極限不存在，即得結(jié)論.,1.4.2 復(fù)變函數(shù)的連續(xù) 定義5 設(shè) 在點 的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱函數(shù) 在點 處連續(xù). 若 在區(qū)域 內(nèi)每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)連續(xù). 定理2 函數(shù) ，在 處連續(xù)的充要條件是 和 都在點 處連續(xù). 定理3 在 處連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、商（分母在 處不等于零）在 處仍連續(xù).,例3 求 解 因為 在點 處連續(xù)，故,例4 討論函數(shù) 的連續(xù)性. 解 設(shè) 為復(fù)平面上任意一點，則 當(dāng) 時， 在 無定義，故 在 處不連續(xù). 當(dāng) 落在負(fù)實軸上時，由于 ，在 從實軸上方趨于 時， 趨于 ，在 從實軸下方趨于 時， 趨于 ，所以 不連續(xù).當(dāng) 為其它情況時，由于 所以 連續(xù).,定理4 若函數(shù) 在點 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略）. 最值性質(zhì)當(dāng) 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時，則 也在 上連續(xù)，且可以取得最大值和最小值； 有界性 在 上有界，即存