1、2018年10月11日,一元二次方程,（1）方程的等號兩邊都是整式，只含有一個 未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫作一元 二次方程； （2）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程， 經(jīng)過整理，都能化成如下形式 ：,這種形式叫作一元二次方程的一般形式其中ax2是二次項，a是二次項系 數(shù)； bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項,將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出各項系數(shù).,一般形式：,二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是8， 常數(shù)項是10.,方程的根：使一元二次方程等號兩邊相等 的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.,根的作用：可以使等號成立.,通過配成完全平方式的形式解一元二

2、次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.,22.2.1 配方法,（1）把方程化為一般形式 ； （2）把方程的常數(shù)項通過移項移到方程的右邊； （3）方程兩邊同時除以二次項系數(shù)a； （4）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方； （5）方程的左邊是一個完全平方式，利用平方根 的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解.,利用配方法解方程時應(yīng)該遵循的步驟：,利用配方法解下列方程（課件：配方）,222. 2公式法,一元二次方程的求根公式：,歸納： （1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系數(shù) 確定的； （2）在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然

3、后在 的前提下，把 各個 系數(shù)的值代入求根公式，可求得方程的兩個根 ； （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數(shù)根 .,結(jié)論,（1）當 時，一元二次方程 有實數(shù)根,結(jié)論,（2）當 時，一元二次方程 有實數(shù)根,結(jié)論,（3）當 時，一元二次方程 無實數(shù)根.,1.我們已經(jīng)學(xué)過了幾種解一元二次方程 的方法?,直接開平方法,配方法,X2=a (a0),(x+m)2=n (n0),公式法,把一個多項式分解成幾個整式乘積 的形式叫做分解因式.,2.什么叫分解因式?,22.2.3 因式分解法,利用因式分解使方程化為兩個一次式乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次.這種解法叫作因式

4、分解法.,歸納： （1）配方法要先配方，再降次，通過配方法可以推出求根公式；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.配方法、公式法適用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. （2）解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次.,老師提示: 1.用因式分解法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零; 2.關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識; 3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”,解題框架圖,解：原方程可變形為： =0 ( )( )=0 =0或 =0 x1= , x2=,一次因

5、式A,一次因式A,一次因式B,一次因式B,B解,A解,例 (x+3)(x1)=5,解：原方程可變形為,(x2)(x+4)=0,x2=0或x+4=0, x1=2 ,x2=-4,解題步驟演示,方程右邊化為零,x2+2x8 =0,左邊分解成兩個一次因式的乘積,至少有一個一次因式為零得到兩個一元一次方程,兩個一元一次方程的解就是原方程的解,解下列方程 1、x23x10=0 2、(x+3)(x1)=5,解：原方程可變形為 解：原方程可變形為 (x5)(x+2)=0 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x5=0或x+2=0 x2=0或x+4=0 x1=5 ,x2=-2 x1=2 ,x2=-4,十字相

6、乘法,分解因式法,用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).,分解因式法解一元二次方程的步驟是:,2. 將方程左邊因式分解;,3. 根據(jù)“至少有一個因式為零”,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.,4. 分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.,1.化方程為一般形式;,我們已經(jīng)學(xué)過一些特殊的二次三項式的分解因式,如：,二次三項式 ax2+bx+c的因式分解,但對于一般的二次三項式ax2+bx+c(ao),怎么把它分解因式呢?,觀察下列各式,也許你能發(fā)現(xiàn)些什么,一般地,要在實數(shù)范圍 內(nèi)分解二次三項式ax2+bx+c(ao),只要用公式法求出相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+

7、c=0(ao),的兩個根x1,x2,然后直接將ax2+bx+c寫成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).,二次三項式 ax2+bx+c的因式分解,問題： 1已知關(guān)于x的方程,m取何值時:,（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）方程有兩個相等的實數(shù)根，并求出這兩個等根； （3）方程沒有實數(shù)根.,問題： 2根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從 地面以10 m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過x s 物體離地面的高度（單位：m）為,你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少 秒回到地面嗎？（課件：豎直上拋的物體）,配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作為一種基

8、本技能來掌握.而某些方程可以用分解因式法簡便快捷地求解.,結(jié)束寄語,解一元二次方程的方法： 直接開平方法 配方法 公式法 因式分解法,2018年10月11日,實際問題與一元二次方程（一）,知識回顧,知識回顧,1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：,（1）審,（2）設(shè),（4）解,（5）驗,（6）答,是指讀懂題目，審清題意。,是指設(shè)未知數(shù)。,（3）列,是指列方程。,是指解方程，求出求出未知數(shù)的值。,是指寫出應(yīng)用題的答案。,是指檢驗解是否是方程的解，是否符合題意。,這是最重要的一步，一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就能得到含有未知數(shù)的等式-方程.,

9、知識回顧,2列方程解應(yīng)用題應(yīng)該注意：,（1）在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個未知數(shù)，應(yīng)恰當?shù)倪x擇其中的一個，用字母 表示,然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個未知數(shù)用含 的代數(shù)式表示。 (2)“審”的過程要在草稿紙上進行，書面格式中主要寫“設(shè)”“列”“解”“答”四個步驟的解題過程，“驗”不要求寫詳細過程，但必須進行，有不符合題意的解時，應(yīng)及時舍去。,知識回顧,(3)列方程時，要注意方程兩邊為同一類量，并且單位要統(tǒng)一。 （4）“設(shè)”和“答”必須寫清單位名稱。,知識回顧,3.一元二次方程應(yīng)用題的主要類型：,（1）數(shù)字問題 （2）面積問題 （3）增長率問題 （4）商品營銷問題 （5）其他問題,有關(guān)數(shù)字

10、問題,解題秘籍,一、數(shù)字問題,例1 有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，十位數(shù)字與個位數(shù)字的積的3倍剛好等于這個兩位數(shù)，求這個兩位數(shù)。,分析：十位數(shù)字=個位數(shù)字-2,3(個位數(shù)字十位數(shù)字)=兩位數(shù),點評：應(yīng)用問題中常常有兩個等量關(guān)系，一個用來“設(shè)”，另一個則用來“列”.,一個三位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，百位數(shù)字等于個位數(shù)字的平方。如果這個三位數(shù)比它的個位數(shù)字與十位數(shù)字的積的25倍大202，求這個三位數(shù)。,典型例題,例2.兩個連續(xù)奇數(shù)的積是899，求這兩個數(shù),分析：本題考查用一元二次方程求解的數(shù)字問題，正確理解連續(xù)奇數(shù)的意義是解題關(guān)鍵,點評：因為在負數(shù)范圍內(nèi)也存在奇數(shù)，所以本題解出的值

11、不能隨意舍去,小明同學(xué)認為這里的-31不合題意，應(yīng)舍去。你認為呢？,及時反饋,一個直角三角形的三邊長是連續(xù)整數(shù)，求這三條邊長。,有關(guān)面積問題,解題秘籍,二、面積問題,典型例題,例3. 如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為40米，寬為26米的矩形場地ABCD上修建如下圖所示的同樣寬的小路，其余部分種草，若使草坪面積為864平方米，求小路的寬度？,及時反饋,如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四個角各截去一個正方形，制成高是5厘米，容積是500立方厘米的無蓋長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬。,提示：本題解決問題的關(guān)鍵是長方體容器的高就是正方形的邊長。,點評: 本例未寫出檢驗的結(jié)果，并不是沒有檢驗，而是因為這兩

12、個結(jié)果都符合題意，如果把墻長改為20米，結(jié)果又會怎樣呢？,變式1,（不合題意，舍去）,20,30,例5 如圖，有一塊面積是125平方米的矩形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長米），另三邊用長為35米的竹籬笆圍成，求雞場的長與寬。,點評： 解面積問題的應(yīng)用題時，要根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)以及它們之間的量的關(guān)系來列方程，因此畫出符合題意的圖形，有助于解題。,有關(guān)增長率的問題,解題秘籍,三、增長率問題,典型例題,例6.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？,商品營銷問題,解題秘籍,四、商品營銷問題,例8.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每

13、件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，盡量減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.若商場平均每天盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？,典型例題,典型例題,歸納小結(jié),列方程解應(yīng)用題就是先把實際問題抽象為方程模型，然后通過解方程獲得對實際問題的解決.列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是：找出未知量與已知量之間的聯(lián)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為方程模型，要善于將普通語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，在審題時，要特別注意關(guān)鍵詞語，此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關(guān)系。,小結(jié),2018年10月11日,22.2 用函數(shù)觀點看一元二次方程(二),二次函數(shù)y=ax2+

14、bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?,有兩個交點,有兩個相異的實數(shù)根,b2-4ac 0,有一個交點,有兩個相等的實數(shù)根,b2-4ac = 0,沒有交點,沒有實數(shù)根,b2-4ac 0,一、復(fù)習鞏固,當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點時, 交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,一、復(fù)習鞏固,拋物線y=x2-3x+2和x軸交于A(1,0)，B（2，0） 交點的橫坐標就是x1=1,x2=2 當y=0時自變量的值x1=1,x2=2 , 一元二次方程x2-3x+2=0的根是x1=1,x2=2.,1.若二

15、次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(3,0)和( -1,0) ,則其對稱軸為 .,2.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(3,6)和( -1,6) ,則其對稱軸為 .,直線x=1,直線x=1,結(jié)論,若拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過兩點(x1,n),(x2,n), 則其對稱軸為直線x=(x1x2)2,(1).用描點法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象；,你能利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？,(2).觀察估計二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點的橫坐標；,由圖象可知,圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標分別約為-4.3和2.3,(3).確定方程x2+2x-10

16、=0的解;,由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根為: x1-4.3,x22.3.,一元二次方程的圖象解法,方程x2+2x-10=0的近似根為: x1-4.3,x22.3.,當x2.3或x0,即x2+2x-100, 所以不等式x2+2x-100的解集是 x2.3或x-4.3,當-4.3x2.3時，y0,即x2+2x-100, 所以不等式x2+2x-100的解集是 -4.3x2.3,方程x2+2x-10=3的根是x1=-4.7,x2=2.7,對于二次函數(shù)y=x2+2x-10 當x=-4.7時，y=3 當x=2.7時，y=3,不等式x2+2x-103解集是 .,觀察函數(shù)y=x2-2x-3的圖象

17、,利用圖象回答: (1)方程x2-2x-3=0的解是什么; (2)x取什么值時,函數(shù)值大于0; (3)x取什么值時,函數(shù)值小于0.,解:(1)如圖:拋物線與x軸交于點(-1,0),(3,0),所以方程x2-2x-3=0的解是-1,3. (2)當x3時,y0 (3)當-1x3時,y0,已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖所示： （1）求這個二次函數(shù)的解析式和圖象的頂點坐標； （2）何時y隨x的增大而增大；何時y隨x的增大而減少？當x 取何值時，y0;當x 取何值時，y0;當x 何值時，y=0?,下列情形時,如果a0,拋物線y=ax2+bx+c的頂點在什么位置? (1)方程ax2+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根; (2)方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根; (3)方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根.,0,1,x,y,-1,頂點在x軸下方,下列情形時