1、12.3幾何概型2014高考會這樣考1.以小題形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型；2.和平面幾何、函數(shù)、向量相結(jié)合考查幾何概型，題組以中低檔為主復(fù)習(xí)備考要這樣做1.準確理解幾何概型的意義，會構(gòu)造度量區(qū)域；2.把握與古典概型的聯(lián)系和區(qū)別，加強與數(shù)學(xué)其他知識的綜合訓(xùn)練1 幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2 幾何概型中，事件A的概率計算公式P(A).3 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性難點正本疑點清源1

2、幾何概型的試驗中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)2 求試驗中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解3 幾何概型的兩種類型(1)線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時(2)面型幾何概型：當基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決1 在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù)x，則x0，1的概率為_答案解析如圖，這是一個長度型的幾何概型題，所求概率P.2 點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨

3、機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為_答案解析如圖可設(shè)l1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則其概率是.3 已知直線yxb，b2,3，則直線在y軸上的截距大于1的概率是_答案解析區(qū)域D為區(qū)間2,3，d為區(qū)間(1,3，而兩個區(qū)間的長度分別為5,2.故所求概率P.4 一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，則某人到達路口時看見的是紅燈的概率是 ()A. B. C. D.答案B解析以時間的長短進行度量，故P.5 (2012湖北)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ()A1

4、B.C.D.答案A解析方法一設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1111，所以整體圖形中空白部分面積S22.又因為S扇形OAB22，所以陰影部分面積為S32.所以P1.方法二連接AB，由S弓形ACS弓形BCS弓形OC可求出空白部分面積設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，令OA2.由題意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC，所以S空白SOAB222.又因為S扇形OAB22，所以S陰影2.所以P1.題型一與長度有關(guān)的幾何概型例1在集合Am|關(guān)于x的方程x2mxm10無

5、實根中隨機地取一元素m，恰使式子lg m有意義的概率為_思維啟迪：通過轉(zhuǎn)化集合A和lg m有意義將問題轉(zhuǎn)化成幾何概型答案解析由m240得1m4.即Am|1m0，即使lg m有意義的范圍是(0,4)，故所求概率為P.探究提高解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一般用角度比計算事實上，當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是_答案解析記事件

6、A為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長(此時F為OE中點)，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：P(A).題型二與面積有關(guān)的幾何概型例2設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率思維啟迪：(1)為古典概型，利用列舉法求概率(2)建立ab平面直角坐標系，

7、將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型解設(shè)事件A為“方程x22axb20有實根”當a0，b0時，方程x22axb20有實根的充要條件為ab.(1)基本事件共有12個：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A).(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為(a，b)|0a3,0b2，構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a，b)|0a3,0b2，ab，所以所求的概率為P(A).探究提高數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用

8、圖解題的關(guān)鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A).拋擲一個質(zhì)地均勻的、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面中，有兩個面標的數(shù)字是0，兩個面標的數(shù)字是2，兩個面標的數(shù)字是4，將此玩具連續(xù)拋擲兩次，以兩次朝上一面的數(shù)字分別作為點P的橫坐標和縱坐標(1)求點P落在區(qū)域C：x2y210內(nèi)的概率；(2)若以落在區(qū)域C上的所有點為頂點作面積最大的多邊形區(qū)域M，在區(qū)域C上隨機撒一粒豆子，求豆子落在區(qū)域M上的概率解(1)以0、2、4為橫、縱坐標的點P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(

9、2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9個，而這些點中，落在區(qū)域C內(nèi)的點有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4個，所求概率為P.(2)區(qū)域M的面積為4，而區(qū)域C的面積為10，所求概率為P.題型三與角度、體積有關(guān)的幾何概型例3如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM1的概率思維啟迪：根據(jù)“在BAC內(nèi)作射線AM”可知，本題的測度是角度解因為B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM1”，則可得BAMBAD時事件N發(fā)生由幾何

10、概型的概率公式，得P(N).探究提高幾何概型的關(guān)鍵是“測度”，如本題條件若改成“在線段BC上找一點M”，則相應(yīng)的測度變成線段的長度一只蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機飛行若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體玻璃容器的6個表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為()A. B. C. D.答案C解析由題意，可知當蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時才是安全的，所以由幾何概型的概率計算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為.轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應(yīng)用典例：(12分)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1

11、,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夾角是鈍角的概率審題視角(1)向量ab轉(zhuǎn)化為x2y，而x、y的值均為有限個，可以直接列出，轉(zhuǎn)化為古典概型問題；(2)和(1)中條件類似，但x、y的值有無窮多個，應(yīng)轉(zhuǎn)化為幾何概型問題規(guī)范解答解(1)設(shè)“ab”為事件A，由ab，得x2y.基本事件空間為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12個基本事件；3分其中A(0,0)，(2,1)，包含2個基本事件則P(A)，即向量ab的概率為.5分(2)設(shè)“a，b的夾

12、角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得ab0，即2xy0，且x2y.7分基本事件空間為，B，10分則P(B)，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.12分溫馨提醒(1)對含兩個變量控制的概率問題，若兩個變量取值有限個，可轉(zhuǎn)化為古典概型；若取值無窮多個，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型問題(2)本題錯誤的主要原因是不能將問題化歸為幾何概型問題，找不到問題的切入點所以要注意體會和應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決幾何概型中的作用.方法與技巧1 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限多個2 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結(jié)果和點對應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式失

13、誤與防范1 準確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵；2 幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2012遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ()A. B. C. D.答案C解析設(shè)ACx，CB12x，所以x(12x)32，解得x8.所以P.2 (2012北京)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是 ()A. B. C. D.答案D解析如圖所示

14、，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是.3 點P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)部運動，則點P到頂點A的距離|PA|1的概率為()A. B. C. D答案A解析由題意可知，點P到頂點A的距離|PA|1的區(qū)域為以點A為圓心，以1為半徑的圓的四分之一，它對應(yīng)的面積為，所以所求概率為.4 在區(qū)間1,1上隨機取一個數(shù)x，則sin 的值介于與之間的概率為()A. B. C. D.答案D解析1x1，.由sin ，得，即x1.故所求事件的概率為.二、填空題(每小題5分，共15分)5

15、平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面內(nèi)，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是_答案解析如圖所示，當硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.6 設(shè)p在0,5上隨機地取值，則方程x2px0有實根的概率為_答案解析一元二次方程有實數(shù)根0，而p24(p1)(p2)，解得p1或p2，故所求概率為P.7 在區(qū)間，內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點的概率為_答案解析根據(jù)函數(shù)f(x)x22axb2有零點得4a24(b2)0，即a2b2，建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域

16、為正方形ABCD及其內(nèi)部，使函數(shù)f(x)有零點的區(qū)域為圖中陰影部分，且S陰影42232.故所求概率為P.三、解答題(共22分)8 (10分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，求使四棱錐MABCD的體積小于的概率解如圖，正方體ABCDA1B1C1D1.設(shè)MABCD的高為h，則SABCDh，又SABCD1，h0且1，即2ba.依條件，可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為.構(gòu)成所求事件的區(qū)域為.由得交點坐標為，所以所求事件的概率為P.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 在區(qū)間0,1上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x2a

17、xb2無零點的概率為()A. B. C. D.答案C解析要使該函數(shù)無零點，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2bR，故所求的概率P(A).3 (2012陜西)如圖所示是用模擬方法估計圓周率值的程序框圖，P表示估計結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入()AP BPCP DP答案D解析xi，yi為01之間的隨機數(shù)，構(gòu)成以1為邊長的正方形面，當xy1時，點(xi，yi)均落在以原點為圓心，以1為半徑且在第一象限的圓內(nèi)，當xy1時對應(yīng)點落在陰影部分中(如圖所示)有，N4MM，(MN)4M，.二、填空題(每小題5分，共15分)4 在區(qū)間0,1上隨意選擇兩個實數(shù)x，y，則使1成立的概率為_答案解析D為直

18、線x0，x1，y0，y1圍成的正方形區(qū)域，而由1，即x2y21(x0，y0)知d為單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個圓)，故所求概率為.5 (2011江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_答案解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.6 如圖所示，在單位圓O的某一直徑上隨機地取一點Q，則過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率是_答案1解析弦長不超過1，即|OQ|，而Q點在直徑AB上是隨機的，事件A弦長超過1由幾何概型的概率公式得P(A).弦長不超過1的概率為1P(A)1.三、解答題7 (13分)設(shè)AB6，在線段AB上任取兩點(端點A、B除外)，將線段AB分成了三條線