1、山東冠縣吳迅中學(xué)2020年高中數(shù)學(xué)1-2，3班，幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)案例，新人教A版要點(diǎn)：掌握等比例級(jí)數(shù)的求和公式，可以解決前N項(xiàng)和幾何級(jí)數(shù)公式的相關(guān)問(wèn)題。難點(diǎn)：研究幾何級(jí)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，推導(dǎo)出幾何級(jí)數(shù)前N項(xiàng)之和的公式及其靈活應(yīng)用。學(xué)習(xí)方法指南1.幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和公式(1)讓幾何級(jí)數(shù)an，它的第一項(xiàng)是a1，它的公比是q，那么它的前n項(xiàng)和公式是na1 (q=1)Sn=.第三類幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)之和解讀認(rèn)識(shí)能量的目標(biāo)1.掌握幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和公式的求導(dǎo)方法錯(cuò)位減法，并用其思想方法求出一個(gè)特殊級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和。2.掌握前N項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)及其公式和性質(zhì)，能夠用公式解決與前N項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。在應(yīng)用

2、中，應(yīng)特別注意兩種情況：q=1和q1。3.幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式可用于解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。(q1)也就是說(shuō)，幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和公式是Q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的邊界在q=1。因此，利用幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和公式，有必要找出公比Q是否等于1。如果Q可能等于1，則需要將其分為q=1和q1進(jìn)行討論。(2)在幾何級(jí)數(shù)an中，當(dāng)a1，q(q1)n已知時(shí)，當(dāng)a1，q(q1)an已知時(shí)，公式Sn=1。2.幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式的推導(dǎo)除了教科書中用偏移減法導(dǎo)出的求和公式外，還可以用下列方法導(dǎo)出。(1)比率定理法根據(jù)幾何級(jí)數(shù)的定義：=.=問(wèn).當(dāng)q1時(shí)，等于q，即=q .因此，Sn=。當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1。(

3、2)拆分項(xiàng)目的方法Sn=a1 a1q a1q 2a1qn-1=a1 q(a1 a1qa1qn-2)=a1 Qsn-1=a1 q(Sn-an)當(dāng)q1時(shí)，Sn=。當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1。(3)利用錫-錫-1=安(n2)的關(guān)系當(dāng)n2時(shí)，sn=a1a2a 3an=a1q(a1a 2an-1)=a1qsn-1Sn=a1 q(Sn-an)即，(1-q)Sn=a1(1-qn)當(dāng)q1時(shí)，Sn=，當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1。注意：(1)在今后的解題中，應(yīng)經(jīng)常使用位錯(cuò)減法、重合定理、分裂法以及an與Sn的關(guān)系，并應(yīng)理解這些技巧。(2)當(dāng)an是算術(shù)級(jí)數(shù)，bn是幾何級(jí)數(shù)時(shí)，錯(cuò)位減法適用于求an的前n項(xiàng)之和。3.幾何級(jí)

4、數(shù)的前N項(xiàng)和公式的應(yīng)用(1)測(cè)量幾何級(jí)數(shù)有五個(gè)量：a1，q，n，an，Sn。根據(jù)方程的知識(shí)，在解幾何級(jí)數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果這五個(gè)量中的任何三個(gè)是已知的，就可以得到另外兩個(gè)量。(2)公比Q是否為1是考慮幾何級(jí)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要因素?？偨Y(jié)時(shí)，要注意q=1和q1的劃分問(wèn)題。4.幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)及公式與函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)公比q1，設(shè)A=，則幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和公式可以寫成Sn=-Aqn A的形式。這樣，非常數(shù)列的幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn是由一個(gè)指數(shù)公式和一個(gè)關(guān)于n的常數(shù)之和組成的，指數(shù)公式的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是相互對(duì)立的。當(dāng)公比q=1時(shí)，因?yàn)閍10，Sn=na1是n的比例函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的線性函數(shù))。(2)當(dāng)q1時(shí)，系

5、列S1、S2、S3、錫、的圖像是函數(shù)y=-Aqx A的圖像上的孤立點(diǎn)。當(dāng)q=1時(shí)，系列S1、S2、S3、錫、的圖像是比例函數(shù)y=a1x的圖像上的孤立點(diǎn)。知道如何獨(dú)立梳理1.幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和公式(1)幾何級(jí)數(shù)an的前n項(xiàng)之和為Sn，當(dāng)公比q1時(shí)，Sn=當(dāng)q=1時(shí)，Sn=1。(2)導(dǎo)出幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式的方法是。2.公式的特征(1)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=p(1-qn)(p是常數(shù))，并且q 0和q 1，則數(shù)列an是。(2)在幾何級(jí)數(shù)的前N個(gè)項(xiàng)和公式中有五個(gè)量A1、An、N、Q和Sn，它們可以被找到。答案 1。(1) NA1 (2)位錯(cuò)減法2.2q3-3q2 1=0，(q-1) 2(2q

6、1)=0，答案是q=-?？偠灾?，公比q是1或-。說(shuō)明 (1)在幾何級(jí)數(shù)中，五個(gè)量a1、an、q、n和sn中的三個(gè)是已知的，并且可以獲得另外兩個(gè)量。(2)對(duì)于幾何級(jí)數(shù)中的前N項(xiàng)和問(wèn)題，我們必須注意Q是否等于1。如果它是不確定的，應(yīng)該在兩種情況下討論：q=1或q1。(3)在幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式中，當(dāng)q1時(shí)，如果A1、Q和N已知，則用Sn=來(lái)求它們。如果a1、an和q已知，使用Sn=找到它們。幾何級(jí)數(shù)an中的變式應(yīng)用1，已知S3=，S6=，求an。分辨率S6=，S3=，S62S3,q1.= 獲得1 q3=9,q=2.將q=2代入，得到a1=。an=a1qn-1=2n-2.命題方向幾何級(jí)數(shù)中前N項(xiàng)

7、的性質(zhì)例2在幾何級(jí)數(shù)an中，已知Sn=48，S2n=60，所以求S3n?！痉治觥坷脦缀渭?jí)數(shù)前N項(xiàng)的性質(zhì)。解析 an 是幾何級(jí)數(shù)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也是幾何級(jí)數(shù)。(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n=S2n=60=63。說(shuō)明如果幾何級(jí)數(shù)中連續(xù)相等線段的和不為零，則連續(xù)相等線段的和仍將成為幾何級(jí)數(shù)。在變體應(yīng)用2中，獲得了幾何級(jí)數(shù)an、S2=7、S6=91和S4。解析解1: an 是幾何級(jí)數(shù)，S2、S4-S2、S6-S4也是幾何級(jí)數(shù)。(S4-7)2=7(91-S4)，解是S4=28或-21。* S4=a1 a2 a3 a4=a1 a2 a1q 2 a2 Q2=S2 s

8、2q 2=S2(1 Q2)0，S4=28.解決方案2: S2=7,S6=91,q1.=7 =91 獲得第4季度q2-12=0,q2=3，q=.當(dāng)q=，a1=，S4=28.當(dāng)q=-，a1=-，S4=28.探索、延伸和創(chuàng)新命題方向幾何級(jí)數(shù)前n項(xiàng)之和在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例3某公司實(shí)行股份制，年初投資者投資人民幣1萬(wàn)元，年利率為25%。由于某些需要，該投資者將從第二年開始，每年年初從公司提取人民幣1萬(wàn)元。(1)分別在第一年年末、第二年年末和第三年年末，寫出投資者在公司的資本和利息；(2)在第N年年末寫下bn與N(該投資者的本金和利息之和)之間的關(guān)系(無(wú)需證明)；(3)為了實(shí)現(xiàn)投資者本金和利息翻兩番的目標(biāo)

9、，并在20年末實(shí)現(xiàn)初始投資10000元，如果a=395，X的值應(yīng)該是多少？(lg20.3可用于計(jì)算)分析 (1)在第一年結(jié)束時(shí)，成本和收益之和是a25%=1.25a，第二年末，成本和收益之和為(1.25 a-x)(1.25 a-x)25%=1.252 a-1.25 x。第三年末，成本和收益之和為(1.252 a-1.25 x-x)(1.252 a-1.25 x-x)25%=1.253 a-(1.252 1.25)x .(2)第n年年末，本金和利息之和為bn=1.25 na-(1.25n-1 1.25n-21.25)x。(3)根據(jù)問(wèn)題的含義，有3951.2520-(1.2519 1.25181.

10、25)x=4395，x=。1.2520=t， LGT=20lg ()=20 (1-3lg2)=2。t=100，x=96通過(guò)代入(1)得到。變體應(yīng)用3年初，一所大學(xué)的張教授從銀行借了2萬(wàn)元錢來(lái)買房。銀行支付的年利率為10%，按復(fù)利計(jì)算(即本年度的利息計(jì)入下一年度的本金利息)。如果這筆錢要在10年內(nèi)等額還清，每年年初還一次，在貸款后的第二年年初還?！痉治觥康谝淮芜€款X元到第二次還款日，我欠銀行的20000(1+10%)-x=200001.1-x，從第二次還款日起至第三次還款日止，欠銀行20000 (1 10%)-x (1 10%)-x=200001.12-1.1x-x，第十次還款后，仍欠銀行200

11、001.110-1.19 X-1.18 X-X 1.18 X-X。根據(jù)問(wèn)題的意思，在第十次還款后，所有的欠款都還清了，所以它是可用的200001.110-(1.19+1.18+1)x=0，X=3255(元)。一位著名的老師能辨別錯(cuò)誤和答案例4求出系列1，aa2，a3a4a5，a6a7a8a9，誤解序列的前n項(xiàng)和sn=1aa2a3 a。=?！颈嫖觥砍谝豁?xiàng)外，給定系列的每一項(xiàng)都與A相關(guān)，條件中沒(méi)有A的范圍，所以應(yīng)該討論A。正解因?yàn)榻o定的數(shù)列是由一個(gè)項(xiàng)目、兩個(gè)項(xiàng)目、三個(gè)項(xiàng)目、四個(gè)項(xiàng)目的和組成的，在系列1、A、A2、A3中，該系列的前N個(gè)項(xiàng)目包含答案 C【分析】從問(wèn)題的意思到=。所以選擇c .2.如

12、果幾何級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)之和an等于第一項(xiàng)的3倍，則幾何級(jí)數(shù)的公比是()A.-2B.1C-2或1D.2或-1答案 C【分析】從問(wèn)題的含義來(lái)看，a1q1q2=3a1，q2 q-2=0,q=1或q=-2。3.幾何級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)2n和Sn=()A.2n-1B.2n-2C.2n 1-1D.2n 1-2回答D分析幾何級(jí)數(shù)2n的第一項(xiàng)是2，公比是2。Sn=2n 1-2，所以d .第二，填空4.如果數(shù)列an滿足：a1=1，an 1=2an(nN)，a5=；前8項(xiàng)之和S8=。(用數(shù)字回答)回答 16 255 解析檢查幾何級(jí)數(shù)的通式以及前n項(xiàng)和公式。q=2，a5=a1q4=16，S8=28-1=255。5.在幾何級(jí)數(shù)a

13、n中，Sn代表前n項(xiàng)的和。如果A3=2S21，A4=2S31，則公比q=1。回答 3 分辨率* a3=2s 21，a4=2s31，減去這兩個(gè)公式，得到a3-a4=-2a3，a4=3a3,q=3.第三，回答問(wèn)題6.在幾何級(jí)數(shù)an中，a6-a4=24和a3a5=64是已知的，所以求數(shù)列an的前8項(xiàng)的和。【解析】解1:根據(jù)通式an=a1qn-1，設(shè)數(shù)列an的公比為Q，并由已知條件求出a6-a4=a1q3(q2-1)=24，a3a5=(a1q3) 2=64，a1q3=8.將a1q3=-8代入等式(1)，得到q2=-2。沒(méi)有實(shí)數(shù)Q滿足這個(gè)方程，所以被丟棄將a1q3=8代入等式(1)得到q2=4,q=2.

14、當(dāng)q=2時(shí)，得到a1=1，所以S8=255當(dāng)q=-2時(shí)，a1=-1，所以S8=85。解決方案2:因?yàn)閍n是幾何級(jí)數(shù)，是根據(jù)問(wèn)題的含義獲得的a24=a3a5=64，a4=8,a6=24 a4=248。因?yàn)閍n是一個(gè)真實(shí)的序列， 0，因此，a4=-8被丟棄，而a4=8且a6=32，因此a5=16。公比q的值是q=2，當(dāng)q=2，a1=1，a9=a6q3=256，s8=255；當(dāng)q=-2，a1=-1，a9=a6q3=-256時(shí)，S8=85.課后強(qiáng)化作業(yè)首先，選擇題1.在幾何級(jí)數(shù)an中，a2=9，a5=243，則an的前四項(xiàng)之和為()A.81B.120C.168D.192回答乙分辨率公式q3=27，q=

15、3，a1=3，=120。2.如果幾何級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn=4n是已知的，那么a=()A.-4B。-1C.0D.1回答乙resolution讓幾何級(jí)數(shù)為an，即a1=S1=4 a，a2=S2-S1=12。a3=S3-S2=48,a22=a1a3,即144=(4 a)48，a=-1.3.眾所周知，幾何級(jí)數(shù)的公比是2，前5項(xiàng)之和是1，那么前10項(xiàng)之和等于()A.31B.33C.35D.37回答乙分析解決方案1: S5=1a1=S10=33，所以選擇b .解決方案2:a1 a2 a3 a4 a5=1a6 a7 A8 a9 a10=(a1 a2 a3 a4 a5)q5=125=32S10=a1 a2 a9 a10=1 32=33。4.眾所周知，在幾何級(jí)數(shù)an中，公比Q是一個(gè)整數(shù)，a1 a4=18，a2 a3=12，那么這個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)之和