1、1,環(huán)與域,環(huán)的定義與實(shí)例 環(huán)的運(yùn)算性質(zhì) 子環(huán)及其判別 環(huán)的同態(tài) 整環(huán)與域,2,環(huán)的定義,定義14.24 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，+和是二元運(yùn)算. 如果滿(mǎn)足以下條件: (1) 構(gòu)成交換群， (2) 構(gòu)成半群， (3) 運(yùn)算關(guān)于+運(yùn)算適合分配律，則稱(chēng)是一個(gè)環(huán). 為了敘述的方便，通常稱(chēng)+運(yùn)算為環(huán)中的加法，運(yùn)算為環(huán)中的乘法. 環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元（如果存在）記作1. 對(duì)任何元素x，稱(chēng)x的加法逆元為負(fù)元，記作x. 若x存在乘法逆元的話(huà)，則稱(chēng)之為逆元，記作x1. 因此在環(huán)中寫(xiě)xy意味著x+(y).,3,環(huán)的實(shí)例,例1 (1) 整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的 加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱(chēng)為整數(shù)環(huán)

2、Z，有理數(shù)環(huán)Q，實(shí) 數(shù)環(huán)R和復(fù)數(shù)環(huán)C.(2) n（n2）階實(shí)矩陣集合Mn(R)關(guān)于矩陣的加法和 乘法構(gòu)成環(huán)，稱(chēng)為n階實(shí)矩陣環(huán). (3) 設(shè)Z0,1,.,n1，和分別表示模n的加法和乘 法，則構(gòu)成環(huán)，稱(chēng)為模n的整數(shù)環(huán).,4,環(huán)的性質(zhì),定理14.11 設(shè)是環(huán)，則 (1) aR，a0 = 0a = 0 (2) a, bR，(a)b = a(b) = ab (3) a, b, cR，a(bc) = abac， (bc)a = baca (4) a1, a2, . , an, b1, b2, . , bmR（n, m2）,例2 在環(huán)中計(jì)算(a+b)3, (ab)2 解 (a+b)3 = (a+b)(a+

3、b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2,5,子環(huán),定義14.25 設(shè)R是環(huán)，S是R的非空子集. 若S關(guān)于環(huán)R的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則稱(chēng)S為R的子環(huán). 若S是R的子環(huán)，且SR，則稱(chēng)S是R的真子環(huán). 例如整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q都是實(shí)數(shù)環(huán)R的真子環(huán). 0和R也是實(shí)數(shù)環(huán)R的子環(huán)，稱(chēng)為平凡子環(huán). 定理14.12 (子環(huán)判定定理) 設(shè)R是環(huán), S是R的非空子集, 若(1) a,bS，abS(2) a,bS，abS 則 S 是 R 的子環(huán).,6,實(shí)例,例3 (1) 整數(shù)環(huán)

4、，對(duì)于任意給定的自然數(shù)n， nZ = nz | zZ 是 Z 的非空子集，根據(jù)判定定理，容易驗(yàn)證nZ是整數(shù)環(huán)的子環(huán). (2) 考慮模 6 整數(shù)環(huán)， 0 , 0,3 , 0,2,4 , Z6是它的子環(huán). 其中 0 和Z6是平凡的，其余的都是非平凡的真子環(huán).,7,環(huán)同態(tài),定義14.26 設(shè)R1和R2是環(huán). f :R1R2,若對(duì)于任意的 x, y R1有 f(x+y)= f(x)+f(y), f(xy)= f(x) f(y) 成立，則稱(chēng) f 是環(huán)R1到 R2 的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱(chēng)環(huán)同態(tài). 例4 設(shè)R1=是整數(shù)環(huán)，R2=是模n的整 數(shù)環(huán). 令f :ZZn， f(x)= x modn，則x, yZ有 f(x

5、+y)=(x+y)mod n= xmod n ymod n = f(x)f(y) f(xy)=(xy)mod n=xmod n ymod n = f(x)f(y) f 是R1到R2的同態(tài)，是滿(mǎn)同態(tài).,8,特殊的環(huán),定義14.27 設(shè)是環(huán)， (1) 若環(huán)中乘法適合交換律，則稱(chēng)R是交換環(huán). (2) 若環(huán)中乘法存在單位元，則稱(chēng)R是含幺環(huán). (3) 若a, bR，ab=0 a=0b=0，則稱(chēng)R是無(wú)零因子環(huán). (4) 若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)，也是無(wú)零因子環(huán)，則稱(chēng)R是 整環(huán). 零因子的實(shí)例：在模6整數(shù)環(huán)中，有32=0，而3和2都不是 乘法的零元. 這時(shí)稱(chēng)3為左零因子，2為右零因子. 這種含有 左零因子和右

6、零因子的環(huán)就不是無(wú)零因子環(huán).,9,實(shí)例,例5 (1) 整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實(shí)數(shù)環(huán)R、復(fù)數(shù)環(huán)C都是 交換環(huán)、含幺環(huán)、無(wú)零因子環(huán)和整環(huán). (2) 令2Z=2z|zZ，則構(gòu)成交換環(huán)和無(wú)零因子 環(huán). 但不是含幺環(huán)和整環(huán). (3) 設(shè)nZ, n2, 則n階實(shí)矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣加法 和乘法構(gòu)成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無(wú)零因子 環(huán)，也不是整環(huán). (4)構(gòu)成環(huán)，它是交換環(huán)、含幺環(huán)，但不是無(wú)零 因子環(huán)和整環(huán). 可以證明對(duì)于一般的n, Zn是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng) n是素?cái)?shù).,10,域,定義14.28 設(shè)R是整環(huán)，且R中至少含有兩個(gè)元素. 若aR* , 其中R*=R0，都有a1R，則稱(chēng)R是域. 例如有理數(shù)

7、集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C關(guān)于普通的加法和乘法都構(gòu)成域，分別稱(chēng)為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域. 整數(shù)環(huán)Z是整環(huán)，而不是域. 對(duì)于模n的整數(shù)環(huán)Zn，若n是素?cái)?shù)，那么Zn是域.,11,實(shí)例,(2) 不是環(huán), 關(guān)于加法不封閉.,例6 判斷下列集合和給定運(yùn)算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域. 如果不構(gòu)成, 說(shuō)明理由. (1) A= a+bi | a,bQ, 其中i2= 1, 運(yùn)算為復(fù)數(shù)加法和 乘法. (2) A=2z+1 | zZ, 運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法. (3) A=2z | z Z, 運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法. (4) A=x | x0 xZ, 運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法. (5), 運(yùn)算為實(shí)數(shù)加法和乘法.,解 (1) 是環(huán)

8、, 是整環(huán), 也是域.,(3) 是環(huán), 不是整環(huán)和域, 乘法沒(méi)有單位元.,(5) 不是環(huán), 關(guān)于乘法不封閉.,(4) 不是環(huán), A關(guān)于加法不構(gòu)成群.,12,格與布爾代數(shù),格的定義 格的性質(zhì) 格的等價(jià)定義 子格與格的同態(tài) 特殊的格 布爾代數(shù)的性質(zhì) 布爾代數(shù)的同態(tài)與同構(gòu),13,格的定義,定義14.29 設(shè)是偏序集，如果x, yS，x,y都有 最小上界和最大下界，則稱(chēng)S關(guān)于偏序作成一個(gè)格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求x,y的最 小上界和最大下界看成 x與y 的二元運(yùn)算和，即 xy 和 xy 分別表示x與y的最小上界和最大下界. 注意：這里出現(xiàn)的和符號(hào)只代表格中的運(yùn)算，而不 再有其他的含

9、義.,14,實(shí)例,例7 設(shè)n是正整數(shù)，Sn是n的正因子的集合. D為整除關(guān)系，則偏序集構(gòu)成格. x,ySn，xy是 lcm(x,y)，即x與y的最小公倍數(shù)；xy是 gcd(x,y)，即 x與y 的最大公約數(shù). 實(shí)例：,15,實(shí)例(續(xù)),例8 判斷下列偏序集是否構(gòu)成格，并說(shuō)明理由. (1) ，其中P(B)是集合B的冪集. (2) ，其中Z是整數(shù)集，為小于或等于關(guān)系. (3) 偏序集的哈斯圖分別給下圖,解: (1),(2)是格，(3)中的都不是格.,16,格的性質(zhì)對(duì)偶原理,定義14.30 設(shè) f 是含有格中元素以及符號(hào)=, , ,和的 命題.令f*是將 f 中的替換成、替換成、替換成、 替換成所得

10、到的命題. 稱(chēng) f* 為 f 的對(duì)偶命題. 例如在格中令 f 是 (ab)cc, f*是 (ab)cc . 那么 f 與 f* 互為對(duì)偶命題. 格的對(duì)偶原理 設(shè) f 是含有格中元素以及符號(hào)=、 和等的命題，若 f 對(duì)一切格為真, 則 f 的對(duì)偶命題 f*也對(duì) 一切格為真. 例如, 對(duì)一切格L命題“a,bL, aba”都成立. 根據(jù)對(duì)偶 原理，對(duì)一切格L，命題 “a,bL, aba”也為真.,17,格的性質(zhì)算律,定理14.13 設(shè)是格, 則運(yùn)算和適合交換律、結(jié) 合律、冪等律和吸收律，即 (1) a,bL 有 ab=ba 和 ab=ba (2) a,b,cL 有 (ab)c=a(bc) 和 (ab

11、)c=a(bc) (3) aL 有 aa=a 和 aa=a (4) a,bL 有 a(ab)=a 和 a(ab)=a,18,證明,只證 (1) 和 (2). 根據(jù)對(duì)偶原理，只證其中一個(gè)等式即可. (1) ab是a, b的最小上界，ba是b, a的最小上界. 由于a, b=b, a, 所以 ab=ba. 由最小上界定義有下述不等式： (ab)caba (ab)cabb (ab)cc 由式 和 (ab)cbc 由式和有 (ab)ca(bc). 同理可證 (ab)ca(bc). 根據(jù)偏序的反對(duì)稱(chēng)性得 (ab)c=a(bc). ,19,定理,定理14.14 設(shè)是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，若 * 和運(yùn)

12、算滿(mǎn)足交換、結(jié)合、吸收律，則可以適當(dāng)定義 S 上偏序 ，使得 構(gòu)成格，且導(dǎo)出的代數(shù)系統(tǒng)就是. 證明思路 (1) 利用運(yùn)算 或 * 定義 S 上的二元關(guān)系 R 證明 R 為 S 上的偏序，證明構(gòu)成格 (4) 證明對(duì)于格中任意兩個(gè)元素x,y xy = x y, xy = x*y,20,格的等價(jià)定義,定義14.31 設(shè)是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)， 如果,滿(mǎn)足交換、結(jié)合、吸收律，則稱(chēng)是格. 實(shí)例： x, y, z Sn, gcd(x,y)=gcd(y,x), lcm(x,y)=lcm(y,x) gcd(x,gcd(y,z) = gcd(gcd(x,y),z) lcm(x,lcm(y,z)=lcm(l

13、cm(x,y),z) gcd(x,lcm(x,y)=x, lcm(x,gcd(x,y)=x 定義 x|y lcm(x,y)=y 與是同一個(gè)格,21,格的子格與格同態(tài),定義14.32 L的子格：L的非空子集S，且S關(guān)于L中 和 運(yùn) 算封閉. 注意：對(duì)于子格元素，在原來(lái)格中求最大下界和最小上界. 例如 G的子群格L(G)是格，但一定不是P(G)的子格. 實(shí)例：Klein四元群G=e, a, b, c， L(G)= , , , , G P(G)= , ,a, b, c, , , , a,b, a,c, b,c, e,a,b, e,a,c, e,b,c, a,b,c, G 在P(G)中,=e,a,b，

14、在L(G)中， =G 定義14.33 設(shè) f:L1L2，若x,yL1，有 f(xy) = f(x)f(y)，f(xy) = f(x)f(y) 則稱(chēng) f 為L(zhǎng)1到 L2 的同態(tài).,22,特殊的格,分配格 有補(bǔ)格 布爾格,23,分配格,定義14.34 設(shè)L為格，若a, b, cL有 a(bc) = (ab)(ac) a(bc) = (ab)(ac) 則 L 為分配格. 注：在任何格中兩個(gè)分配不等式是等價(jià)的. 例如 a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac) 證 (ab)(ac) = (ab)a)(ab)c) 對(duì)的分配律 = a(ac)(bc) 吸收律、對(duì)的分配律 = (a(ac)(

15、bc) 結(jié)合律 = a(bc) 吸收律,24,實(shí)例,例9 指出下圖中哪些格是分配格？,解 L1和L2是分配格, L3和L4不是分配格. 在L3中有 b(cd)=be=b，(bc)(bd)=aa=a 在L4中有 c(bd)=ca=c，(cb)(cd)=ed=d 稱(chēng)L3為鉆石格, L4為五角格. 這兩個(gè)5元格在分配格的 判別中有著重要的意義.,25,分配格的判別定理,定理14.15 設(shè)L是格, 則L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)L不含有與鉆石格或五角 格同構(gòu)的子格. 定理14.16 格L是分配格當(dāng)且僅當(dāng)a,b,cL有 ab=ac 且 ab=ac b=c.,26,分配格的判別實(shí)例,L1不是分配格, 含有與鉆石格同

16、構(gòu)的子格. L2和L3不是分配格, 含有與五角格同構(gòu)的子格.,例10 判別下圖中的格否為分配格.,在L1中有db=dc且db=dc, 但是bc. 在L2中，ce=cb且ce=cb, 但是eb. 在L3中，dc=dg且dc=dg, 但是cg.,27,有界格,定義14.35 設(shè)L是格,若存在aL使得xL有ax, 則稱(chēng)a為L(zhǎng)的全下界；若存在bL使得xL有xb, 則稱(chēng)b為L(zhǎng)的全上界.格L若存在全下界或全上界,一定是惟一的. 一般將格L的全下界記為0,全上界記為1.定義14.36 設(shè)L是格,若L存在全下界和全上界, 則稱(chēng)L為有界格, 有界格L記為. 實(shí)例：有限格 L=a1,a2,an是有界格, 其中a1

17、a2an是L的全下界, a1a2an是L的全上界. 冪集格P(B)是有界格，即使它是無(wú)窮集合.,28,補(bǔ)元,定義14.37 設(shè)是有界格, aL, 若存在bL 使得ab=0 和 ab=1 成立, 則稱(chēng) b 是 a 的補(bǔ)元. 對(duì)于有界格，補(bǔ)元的分布情況： 0 與 1 互為補(bǔ)元, 它們都只有惟一的補(bǔ)元. 有的元素有補(bǔ)元, 可能存在多個(gè)補(bǔ)元. 有的元素沒(méi)有補(bǔ)元.,29,實(shí)例,解 L1中a與c互補(bǔ), b沒(méi)有補(bǔ)元.,例11 考慮以下四個(gè)格. 求出所有元素的補(bǔ)元.,L2中a與d互補(bǔ), b與c 互補(bǔ).,L3中a與e互補(bǔ), b的補(bǔ)元c,d; c的補(bǔ)元b,d; d的補(bǔ)元b,c.,L4中a與e互補(bǔ), b的補(bǔ)元c,d

18、; c的補(bǔ)元b; d 的補(bǔ)元b.,30,補(bǔ)元的性質(zhì)與有補(bǔ)格,定理14.17 設(shè)是有界分配格. 若L中元素a存在補(bǔ)元, 則存在惟一的補(bǔ)元. 證明 假設(shè) b,c 是a 的補(bǔ)元, 則有 ac=1, ac=0, ab=1, ab=0 從而得到 ac=ab, ac=ab, 由于L是分配格, 因此有b=c. 定義14.38 設(shè)是有界格, 若L中所有元素都有補(bǔ)元存在, 則稱(chēng)L為有補(bǔ)格.,31,布爾代數(shù)的定義,定義14.39 如果一個(gè)格是有補(bǔ)分配格, 則稱(chēng)它為布爾格或 布爾代數(shù). 在布爾代數(shù)中，如果一個(gè)元素存在補(bǔ)元, 則是惟一的. 可以把求補(bǔ)元的運(yùn)算看作是布爾代數(shù)中的一元運(yùn)算. 通 常將布爾代數(shù)標(biāo)記為, 其中 為求補(bǔ)運(yùn) 算. 實(shí)例冪集格P(B)是布爾代數(shù).,32,布爾代數(shù)的性質(zhì),.,定理14.18 設(shè)是布爾代數(shù)，則 (1) aB, (a)=a (2) a,bB, (ab) =ab, (ab) = ab 證明(1) (a)與a 都是 a 的補(bǔ)元. 由補(bǔ)元的惟一性得(a)=a . (2) 對(duì)任意a,bB有 (ab)(ab)=(aab)(bab) = (1b)(a1) = 11 = 1