1、主要內(nèi)容: 正則方程 泊松括號（自學） 正則變換 哈密頓-雅可比方程和分析力學發(fā) 展情況簡介（自學）,9.1 正則方程,本章在相空間中研究力學系統(tǒng)的運動,導出另一種形式的動力學方程,即正則方程。-這種方法稱為哈密頓方法（或稱哈密頓表述）.,-這是個二階微分方程組,現(xiàn)想將其變換成一階 微分方程組,以得到一種新的形式對稱的運動方程組.,第六章是在位形空間中,通過完整有勢系的拉格朗日 方程來研究力學系統(tǒng)的運動.,一. 勒讓德變換,在方程中, 把一組獨立自變量變?yōu)榱硪唤M獨立自變量的變換, 叫勒襄特變換.,設(shè)函數(shù) ,令:,-這是新變量與新函數(shù)應(yīng)滿足的方程。,以上所述把 稱為勒讓德變換, 這種變換不僅應(yīng)用

2、在力學中，還用在熱力學系統(tǒng)中， 從一個特征函數(shù)變換得到熱力學系統(tǒng)的其他特征函數(shù)。,二. 正則方程,對于哈密頓量：,-哈密頓正則方程,它是一階微分方程,且形式對稱.,由于 相互獨立的, 所以,說明如果L不顯含時間, H也不顯含時間.,思考:正則方程是否適用任何系統(tǒng)?,正則方程適用于主動力均為有勢力的理想完整系.,結(jié)合初始條件,得到描述力學 系統(tǒng)運動狀態(tài)的運動方程:,解: 取x，y，z為廣義坐標。動能為,代入哈密頓函數(shù)的定義式中,得,將H代入正則方程中,得到質(zhì)點的動力學方程:,得到質(zhì)點的運動微分方程,應(yīng)用正則方程建立系統(tǒng)運動方程的步驟小結(jié):,檢驗系統(tǒng)是否是完整的有勢系,然后確定自由度,選擇 適當?shù)?/p>

3、廣義坐標.,2)寫出系統(tǒng)相對慣性系的動能和勢能,得到 并求出廣義動量 ,由此反解出,4)將H 代入正則方程中,得出系統(tǒng)的運動方程.,哈密頓動力學與拉格朗日動力學比較：在拉格朗日動力學中, 從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學方程即拉格朗日方程. 而在哈密頓動力學中, 必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù), 才可寫出動力學方程即哈密頓正則方程, 所以哈密頓動力學不如拉格朗日動力學簡便。 哈密頓動力學的優(yōu)點：1）是便于量子化.如在量子力學中，哈密頓函數(shù)作為算符可確定微觀粒子的運動規(guī)律；2）在變量的變換中比較自由：拉格朗日動力學采用的變量廣義坐標和廣義速度并不對等, 只能對廣義坐標進行變換, 而廣義速度也隨

4、之而變. 哈密頓動力學采用的變量坐標和動量是完全對等的,不僅可以對廣義坐標進行變換,而且可以坐標和動量一起變換, 這個在正則變換時可知其優(yōu)點.,三. 哈密頓函數(shù)的意義,哈密頓函數(shù)是系統(tǒng)的特征函數(shù),因它隱含著系統(tǒng)的約束 關(guān)系、系統(tǒng)的受力情況以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)情況等信息。 哈密頓函數(shù)不僅應(yīng)用于經(jīng)典力學范疇，還應(yīng)用于其它 物理學領(lǐng)域，如量子力學中，熱力學等。,四. 正則變量、相空間、正則方程的意義,2s個廣義坐標 和廣義動量 ， 統(tǒng)稱為正則變量。,由2s個 組成的2s維空間稱為相空間。相空間中 的一個點（相點）代表系統(tǒng)在某時刻的運動狀態(tài).在 相空間中, 利用正則方程可對力學系統(tǒng)進行定性的幾 何研究,尤其是對非線性系統(tǒng)在解析求解困難時.,正則方程的意義:它結(jié)構(gòu)簡單對稱,為后續(xù)的力學發(fā)展 (如泊松括號、正則變換、哈密頓-雅可比方程等理論) 奠定基礎(chǔ)；在數(shù)學上，正則方程是一階微分方程，有 利用計算機數(shù)學軟件對非線性系統(tǒng)的運動作數(shù)值計算。,五. 廣義能量積分和廣義動量積分,1. 廣義能量積分,2. 廣義動量積分,例: 試由哈密頓原理導出正則方程.,解:,由哈密頓原理, 得