1、【課標(biāo)要求】 1了解正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程 2掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形問(wèn)題 【核心掃描】 1利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化解決三角形問(wèn)題(重點(diǎn)) 2已知兩邊和其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的情況(難點(diǎn)),1.1.1 正弦定理,1.1正弦定理和余弦定理,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法 2能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題,第一課時(shí),1.1.1正弦定理,一、新課引入,A,B,C,b,c,三角形中的邊角關(guān)系,1.角的關(guān)系: 2.邊的關(guān)系: 3.邊角關(guān)系:,大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角,a,一般地，把三角形的三個(gè)角 A,B,C和它們的對(duì)邊

2、a,b,c叫做 三角形的元素,小強(qiáng)師傅的一個(gè)三角形的模型壞了，只剩下如下圖所示的部分，測(cè)量出A=47, C=80, AC長(zhǎng)為1m,想修好這個(gè)模型，但他不知道AB和BC的長(zhǎng)度是多少好去截料，你能幫師傅這個(gè)忙嗎？,A,B,a,b,c,C,一、新課引入,創(chuàng)設(shè)情境,A,B,C,如圖，現(xiàn)要在河岸兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間建一座 橋，需要知道A，B間的距離由于環(huán)境因素不 能直接測(cè)量A，B間的距離你有辦法間接測(cè)量 A，B兩點(diǎn)間的距離嗎？,若已知橋與一側(cè)河岸成75角，在這側(cè)河岸上 取一點(diǎn)C，測(cè)得C60，AC100m如何求出 A，B兩點(diǎn)間的距離？,75,60,100,ABC中，已知A75， C60，AC100，求AB,a

3、,b,c,試借助三角形的高來(lái)尋找三角形的邊與角之間的關(guān)系？,（1）銳角三角形：,（2）直角三角形：,二、新課講解,作CD垂直于AB于D，則可得,作AE垂直于BC于E， 則,試借助三角形的高來(lái)尋找三角形的邊與角之間的關(guān)系？,二、新課講解,（3）鈍角三角形：（C為鈍角）,C,A,B,a,b,c,作CD垂直于AB于D，則可得,作BE垂直于AC的延長(zhǎng)線于E，則,正弦定理:,在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。,（1）從結(jié)構(gòu)看：,（2）從方程的觀點(diǎn)看：,三個(gè)方程，每個(gè)含有四個(gè)量，知其三求其一。,各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。,即:,二、新課講解,B,C,A,a,b,c,應(yīng)用正

4、弦定理解三角形 題型一:已知兩角和任意一邊，求出其他兩邊和一角 題型二:已知兩邊及其中一邊對(duì)角，求出其他一邊和兩角,剖析定理、加深理解,1、一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫解三角形,2、正弦定理，可以用來(lái)判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化,三、例題講解,例1 在ABC中，已知b20cm，A45，B30，解此三角形.,解:根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理：,C=180-(A+B)=105,由正弦定理可得,由正弦定理可得,應(yīng)用正弦定理解三角形 題型一:已知兩角和任意一邊，求出其他兩邊和一角,1.在ABC中，已

5、知c=10，A=45o，C=30o，則a=_； 2.在ABC中，已知a=8，B=60o，C=75o，則b=_； 3.在ABC中，C=2B，則 （ ） A. B. C. D.,B,四、練習(xí),4.已知ABC，AD為角A的平分線，求證：,b,b,D,A,B,4.已知ABC，AD為角A的平分線，求證：,證明：在ABD和CAD中， 由正弦定理，得,兩式相除得,四、練習(xí),C,角平分線定理,例 2、,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,已知a=16， b= ， A=30,解三角形.,當(dāng)120時(shí),三、例題講解,題型二:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求出三角形的另一邊和另外兩個(gè)角.,例3.

6、在ABC中，A=60， ，解此三角形,三、例題講解,解:由正弦定理可得,由ba，A=60o,可知BA,C=180-(A+B)=90,題型二:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求出三角形的另一邊和另外兩個(gè)角.,若已知a、b、A的值，則解該三角形的步驟如下： （1）先利用 求出sinB，從而求出角B； （2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)； （3）再利用 求出邊c.,三、例題講解,題型二:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求出三角形的另一邊和另外兩個(gè)角.,注意：求角B時(shí)應(yīng)注意檢驗(yàn)！,總結(jié)：從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a、b、A，解三角形為例加以說(shuō)

7、明.,例4 在ABC中,A=45， ,這樣的三角形有_個(gè),三、例題講解,1.畫PAQ=45,2. 在AP上取AC=b=4,3.以C為圓心,a=6為半徑畫弧,弧與AQ的交點(diǎn)為B,C b,B,2個(gè),1個(gè),0個(gè),1個(gè),0個(gè),1,已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，解斜三角形的各種情況,ab 一解,bsinAab 兩解,bsinA=a 一解,bsinAa 無(wú)解,(一)當(dāng)A為銳角,(二)當(dāng)A為鈍角,ab 一解,ab 無(wú)解,三、例題講解,(三)當(dāng)A為直角,若已知三角形的兩條邊及其中一邊的對(duì)角（若已知a、b、A的值），則可用正弦定理求解，且解的情況如下,A為鈍角或直角,A為銳角,ab,ab,absinA,a=bsi

8、nA,bsinAab,一解,無(wú)解,無(wú)解,一解,兩解,ab,一解,2.在ABC中,由已知條件解三角形,下列有兩解的是( ) Ab=20, A=45, C=80 Ba=30, c=28, B=60 Ca=14, b=16, A=45 Da=12, c=15, A=120,四、練習(xí),判斷已知兩邊及其中一邊對(duì)角的三角形解的個(gè)數(shù) 的基本步驟(適合填空或選擇題)： （1）判斷已知角A的類型；（鈍、直、銳） （2）判斷已知兩邊a、b的大小關(guān)系； （3）判斷a與bsinA的大小關(guān)系.,C,1.在ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c， 則下列關(guān)系一定成立的是 ( ) AabsinA B.a=bsinA C.absinA DabsinA,D,五、小結(jié),1.正弦定理:,2.應(yīng)用正弦定理解三角形 題型一:已知兩角和任意一邊，求出其他兩邊和一角,注：若已知邊不是對(duì)邊，先用三角形內(nèi)角和定理求第三角，再用正弦定理求另兩邊,題型二: 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求出三角形的另一邊和另外兩個(gè)角.,注意有兩解、一解、無(wú)解三種情況（求角B時(shí)應(yīng)檢驗(yàn)?。?其中，R是ABC的外接圓的半徑,3