1、2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,1,集合的基數(shù) 如 果 存 在 ，使 集 合 A 與 集 合 的元素個(gè)數(shù)相同，就說(shuō)集合A的基數(shù)是n，記作 或 或 空集 的基數(shù)是0 。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,2,如果存在 ，使 n 是集合 A 的基數(shù)， 就 說(shuō)A是有限集合。如果不存在這樣的n，就說(shuō)A是無(wú)限集合。 例如: 有限集合 a , b, c, d ，而N，Z，Q，R是無(wú)限集合。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,3,對(duì)集合 A 和

2、 B ，如果存在從 A 到 B 的雙射函數(shù)，就稱 A 和 B 等勢(shì)，記作 A B ，如果不存在從 A 到 B的雙射函數(shù)，就稱 A 和 B 不等勢(shì)，記作 勢(shì)就是基數(shù), 等勢(shì)就是基數(shù)相等。 注意，AB時(shí)不一定有A = B，反之是一定成立的。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,4,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,5,例1 N Z。 因?yàn)榇嬖陔p射函數(shù),第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,6,例2 R R+ , 其中 R

3、+ 是正實(shí)數(shù)集合。因?yàn)榇嬖陔p射函數(shù)f： RR+ , f (x)= e x 。 例3 a,b,c3, 因?yàn)榇嬖陔p射函數(shù)f：a,b,c3, f (a)=0, f (b)=1, f (c)=2.,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,7,例4 0,1(0,1), 因?yàn)榇嬖陔p射函數(shù)f：(0,1)(0,1),第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,8,例5 (0,1)R。因?yàn)榇嬖陔p射函數(shù)f：(0,1)R, 。 上述各例表明, 無(wú)限集合可以與它的真子集等勢(shì), 有限集合卻不能。,第五章 - 無(wú)限

4、集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,9,對(duì)任意的集合A、B和C,(1) AA(2) 若AB, BA,(3) 若AB且BC, 則AC。 等勢(shì)具有自反性, 對(duì)稱性和傳遞性。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,10,集合 A 是 有限集合, 當(dāng) 且 僅當(dāng) 存在 n N , 使 n A。 集合 A 是 無(wú)限集合當(dāng)且僅當(dāng) A 不是有限集合, 即不存在 n N 使 n A。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,11,鴿巢原理 不存在與自己的真子集等勢(shì)的自然數(shù)。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,12,任何與自己真子集等勢(shì)的集合是無(wú)限集合。N和R都是無(wú)限集合。 任何有限集合只與唯一的自然數(shù)等勢(shì)。,第五章 - 無(wú)限集合,2020/7/28,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,13,對(duì)任意的集合A和B, 它們的基數(shù)分別用 card (A)和card (B)表示, 并且card (A) = card (B) AB。 (有時(shí)把card (A)記作|A|或#(A)對(duì)有限集合A和n N, 若A n, 則card