1、13.2綜合法與分析法、反證法 最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；2.了解反證法的思考過程和特點,1綜合法 (1)定義：從 出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過 ，一步一步地接近要證明的 ，直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為 ,命題的條件,演繹推理,結(jié)論,綜合法,2分析法 (1)定義：從 出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的 ，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為 ,求證的結(jié)論,充分條件,分析法,3反證法 我們可以先假定命題結(jié)論的 ，在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相

2、矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法 反證法的證題步驟是：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)進而推理，導(dǎo)出 ；(3)否定假設(shè)，肯定 ,反面成立,結(jié)論,矛盾,【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明() (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件() (3)用反證法證明結(jié)論“ab”時，應(yīng)假設(shè)“ab”() (4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定，推出矛盾 (),【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),【解析】 a2aba(

3、ab)， a0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 【答案】 B,題型一綜合法的應(yīng)用 【例1】 對于定義域為0，1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足： 對任意的x0，1，總有f(x)0； f(1)1； 若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù),【解析】 (1)證明：取x1x20，則x1x201， f(00)f(0)f(0)，f(0)0. 又對任意的x0，1，總有f(x)0， f(0)0.于是f(0)0. (2)對于f(x)2x，x0，1，f(1)2不滿足新定義中的條件， f(x)2x，(x0，1)不是理想函

4、數(shù),【思維升華】 (1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性 (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理,【思維升華】 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵 (2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證,題型三反證法的應(yīng)用 【例3】 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足

5、anSn2. (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列 【思維點撥】 證明(2)用反證法，假設(shè)存在三項，符合條件推出矛盾 【解析】 (1)當n1時，a1S12a12，則a11. 又anSn2，所以an1Sn12，,又因為pqr，所以rq，rpN+. 所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立 所以假設(shè)不成立，原命題得證 【思維升華】 (1)當一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等 (2)用反證法證明不

6、等式要把握三點：必須否定結(jié)論；必須從否定結(jié)論進行推理；推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的,【溫馨提醒】 (1)所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，根據(jù)證題目標進行合情合理的放大或縮小，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟,(2)本題技巧性較強，經(jīng)過了兩次放縮，關(guān)鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩第一次是利用基本不等式，將xn1xn轉(zhuǎn)化為常數(shù)，根據(jù)已知驗證可判定出0xn1；第二次放縮法是證明不等式經(jīng)常利用的方法，多采用添項或去項、分子、分母擴大或縮小，應(yīng)用基本不等式進行放縮，放縮時要注

7、意放縮的方向保持一致在此步驟中，因兩個等式中的等號不可能同時成立，所以兩式相乘后不取等號，這是易錯之處，必須加以警惕,方法與技巧 1分析法的特點：從未知看需知，逐步靠擾已知 2綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知 3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來,失誤與防范 1用分析法證明時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即證”“只需證”等，逐步分析，直至一個明顯成立的結(jié)論 2利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)的命題進行推理，如果沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推