1、控制科學(xué)與工程 研究生專業(yè)基礎(chǔ)課程-4,第四章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性,主要內(nèi)容：,一個系統(tǒng)中，輸入和輸出表征系統(tǒng)的外部變量，狀態(tài)是系統(tǒng)的內(nèi)部變量。若系統(tǒng)狀態(tài)內(nèi)的每一個狀態(tài)變量的運(yùn)動都可以由輸入來影響和控制而由任意的始發(fā)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)，則系統(tǒng)能控。 若系統(tǒng)狀態(tài)內(nèi)的所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動均可由輸出完全反映，則系統(tǒng)是可觀測的。,1-1 能控性與能觀測性的直觀討論:,1 能控性與能觀測性的定義,1) 上式中，若取初始時刻t0的一個非零初始狀態(tài)x0，存在一個時刻t1和一 個無約 束容許控制u(t)，使?fàn)顟B(tài)從x0轉(zhuǎn)到x(t1)=0，則x0是在t0時刻能控。 2) 若狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)都是在t0

2、時刻能控，則稱系統(tǒng)完全能控。 3) 若狀態(tài)空間中有一個或多個非零狀態(tài)在t0時刻不能控，則稱系統(tǒng)不完全 能控。 PS：若由零狀態(tài)轉(zhuǎn)到非零狀態(tài)，則稱系統(tǒng)能達(dá)。,1-2 能控性定義：（線性時變系統(tǒng)）,1 能控性與能觀測性的定義,(4-1),1-3 能觀測性定義：（線性時變系統(tǒng)）,我們在第二章得出了：,1 能控性與能觀測性的定義,(4-2),(4-3),線性時變系統(tǒng)的輸入輸出方程：,1 能控性與能觀測性的定義,將(4-3)帶入系統(tǒng)方程，得：,在研究系統(tǒng)的能觀測性時，y和u都假定為已知，x0未知，則有：,(4-4),(4-5),定義 4-1：中，若對初始時刻t0的一個非零初始狀態(tài)x0，存在一個t1，對

3、所有t(介于t0與t1之間)有y(t)=0，則x0在時刻t不能觀測。 定義4-2：中，若狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)都不是t0時刻的不能觀測狀 態(tài)，則稱系統(tǒng)在時刻t0是完全能觀測的。 定義4-3：中，狀態(tài)空間中存在一個或一些非零狀態(tài)時不能觀測的，則在t0時刻不完全觀測。,1 能控性與能觀測性的定義,1) 秩判據(jù)：線性定常系統(tǒng)為完全能控的充要條件是：,2-1 對線性定常系統(tǒng)：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),(4-6),(4-7),已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),2) 約當(dāng)規(guī)范型：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件： 當(dāng)A的特征值兩兩相異時，由方程導(dǎo)出的對角規(guī)范形：

4、,中，B不包含元素全為0的行。,(4-8),當(dāng)A的特征值為：1(1重)， 2(2重)， l(l重)且(1+2+l)=n,為對系統(tǒng)方程導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范形：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),(4-9),(4-10),其中：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),(4-11),(4-12),對i=1,2均為行線性無關(guān)。,而,的最后一行所組成的矩陣：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),3)能控性判據(jù)的s域形式：,單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)為：,設(shè)初始條件為0，對(4-13)取拉氏變換：,(4-13),(4-14), 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，由(4-14)得：,(4-15

5、),定義狀態(tài)-輸入的傳遞函數(shù)為：,(4-16),定理4-1：狀態(tài)完全能控的充要條件是：狀態(tài)-輸入傳遞函數(shù)無相消因子 即無零極相消的現(xiàn)象。,線性定常系統(tǒng)，定義nkr階常陣,因?yàn)橄到y(tǒng),2-2 能控性指數(shù)：,能控，所以當(dāng)k=n時，Qn即為能控矩陣Qc，且rank Qn=n?，F(xiàn)一次將k由1增加，直到k=時，使rank Qu=n，則必存在一個使rank Qk=n成立的k的最小正整數(shù)為能控指數(shù)。 數(shù)學(xué)定義式為：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),(4-17),推論4-1： 已知系統(tǒng)方程，記其能控指數(shù)為，并設(shè) rank B=r，則必成立：,對于單輸入單輸出系統(tǒng)，也即 r=1時，系統(tǒng)的能控指數(shù)為 =n。 線

6、性定常系統(tǒng)完全能控的充分條件是：, 2 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性判據(jù),推論4-2：,推論4-3：,(4-18),(4-19),1) 秩判據(jù)：線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件為：,3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),3-1 線性定常系統(tǒng)能觀性判據(jù),(4-20),(4-21),考慮輸入u=0，狀態(tài)與輸出方程,3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),2) 約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)：線性定常系統(tǒng)為完全能觀的充要條件： A的特征值兩兩相異，則由系統(tǒng)方程所導(dǎo)出的對角規(guī)范形：,(4-22),中，C不包含元素全為零的列。,當(dāng)A的特征值為：1(1重)， 2(2重)， l(l重)且(1+2+l)=n,為對系統(tǒng)方程導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范形：

7、,3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),(4-23),其中：,(4-24),3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),(4-25),(4-26),而,由,第一列組成的矩陣C，,對i=1,2均列線性無關(guān)。,3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),3)能觀測性判據(jù)的s域形式：,單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)為：,設(shè)初始條件為0，對(4-13)取拉氏變換：,(4-27),(4-28),3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，得：,定義狀態(tài)-輸出的傳遞函數(shù)為：,定理4-2：狀態(tài)完全能控的充要條件是：狀態(tài)-輸出傳遞函數(shù)無相消因子， 即無零極相消的現(xiàn)象。,(4-29),(4-30),3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判

8、據(jù),綜上所述，我們可以得出下面的定理：,定理4-3：線性定常單輸入-單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)完全能控、能觀測的充要條 件為它的輸入輸出傳遞函數(shù),無零極相消現(xiàn)象。如果存在零極相消現(xiàn)象時，再分別用第二 節(jié) 與第三節(jié)的s域形式來鑒別,(4-31),易知Qn=Q0，rankQn=n，現(xiàn)將k從1增加，直到k=v使rankQv=n，則稱這個使上式成立的k的最小正整數(shù)v為系統(tǒng)的能觀測指數(shù)。數(shù)學(xué)定義V=min(k:rankQk=n)，若rankC=m，則必成立,3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性判據(jù),考慮完全能觀的線性定常系統(tǒng)，定義 kqn 階常陣：,3-2 能觀性指數(shù),(4-32),(4-33),4 對偶原理,設(shè)系統(tǒng)方程

9、為：,為了討論對偶原理，首先引入此系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)：,(4-34),(4-35),4 對偶原理,(4-36),(4-37),1) 狀態(tài)完全能控的充要條件：,對于系統(tǒng)(4-34)矩陣滿秩，要求為,對于系統(tǒng)(4-35)矩陣滿秩，要求為,定理4-4：系統(tǒng)在t0時刻完全能控的充分必要條件是它的對偶系統(tǒng)在t0 時刻完全能觀；系統(tǒng)在t0時刻完全能觀的充分必要條件是它 的對偶系統(tǒng)在t0時刻完全能控。,4 對偶原理,(4-38),(4-39),2) 狀態(tài)完全能觀測的充要條件：,對于系統(tǒng)（4-34）矩陣滿秩，要求為,對于系統(tǒng)（4-35）矩陣滿秩，要求為,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,定理4-5 ：設(shè)單輸入線性定常

10、系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 若系統(tǒng)具有能控性，即其 nn能控性矩陣 非奇異，則存在非奇異變換,5-1 單輸入 單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型,(4-40),(4-41),(4-42),可將狀態(tài)方程化為能控規(guī)范型：,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,式中：,(4-43),(4-44),其中變換矩陣： 式中：,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,(4-46),(4-47),而,為任意的,nn階矩陣：,(4-45),解：系統(tǒng)的能控性矩陣 為非奇異，故系統(tǒng)可化為能控規(guī)范型，即：,例4-1 設(shè)線性定常系統(tǒng)用下式描述試將狀態(tài)方程化為能控規(guī)范型。 式中,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,(4-48),(4-49),變換矩陣為 因此 故,

11、5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,(4-50),(4-51),(4-52),定理4-6： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,5-2 單輸入-單輸出系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,若系統(tǒng)具有能觀測性，即其nn 能觀測矩陣,是非奇異的，則存在非奇異變換,(4-53),(4-54),(4-55),可將系統(tǒng)方程化為能觀測規(guī)范型 式中,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,(4-56),(4-57),變換矩陣,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,(4-59),(4-60),而 為任意的n1矩陣。其中：,(4-58),式中,解：能觀測矩陣,例4-2 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下試將其變換為能觀測規(guī)范型。,5 能控規(guī)范型和能觀測

12、規(guī)范型,(4-61),(4-62),非奇異，由此可求出,變換矩陣,5 能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型,(4-63),(4-64),則：,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,求解線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的關(guān)鍵在于變換矩陣的求取，下述算法給出了求取系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解所需要的變換矩陣。 第一步：列寫系統(tǒng)的能控性矩陣 并求出,(4-65),1) 線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解算法：,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,第二步：能控性判別矩陣中任意地選取k個線性無關(guān)的列，記 q1,q2,qk 此外，在n維實(shí)數(shù)空間中任意的選擇n-k列向量，記qk+1,qn使 得q1,q2,qn為線性無關(guān)組。,第三步：按下述方式組成變換矩陣,(4-70),第四步：

13、計算 對不完全能控系統(tǒng)，利用以上算法求得系統(tǒng)在線性非奇異 變換 下的代數(shù)等價系統(tǒng) 具有安能控性分解的 規(guī)范表達(dá)式,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,(4-71),(4-72),由于 ，所以系統(tǒng)不完全能控。,例4-3 給定線性定常系統(tǒng)如下所述對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,(4-73),解：能控性矩陣,計算變換后的系數(shù)矩陣,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,(4-74),(4-75),從能控矩陣中選出線性無關(guān)的兩列，在添上線性無關(guān)的第三列,不能控部分為：,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,(4-76),(4-77),其中能控部分為：,第二步：在 中任意的選取l個線性無關(guān)的行向量h1,h2,hl 此外在 任取n-l

14、個行向量hl+1,hn，使得h1,h2,hl線性無關(guān)。,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,(4-78),2) 線性定常系統(tǒng)按能觀性的結(jié)構(gòu)分解算法 ：,第一步：列寫系統(tǒng)的能觀性判別陣,并計算,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,第四步：計算,(4-79),(4-72),第三步：按下式方式構(gòu)成變換陣,6 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,對不完全能觀系統(tǒng)，基于以上算法求得系統(tǒng)在線性非奇異變換下的代數(shù)等價系統(tǒng) 具有結(jié)構(gòu)按能觀性分解 的規(guī)范表達(dá)式,(4-80),5.狀態(tài)空間的線性變換,5.狀態(tài)空間的線性變換,5.狀態(tài)空間的線性變換,5.狀態(tài)空間的線性變換,本章小結(jié),系統(tǒng)的能控性能觀性,能控性 能觀性概念,能控性定義 能觀性定義,系統(tǒng)能控能