1、4-1 功,一 功和功率,功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對(duì)空間積累作用。,功的定義：,力在位移方向上的投影與位移大小的乘積。,1. 恒力的功,即功等于力和位移的點(diǎn)積。,元功：,2. 變力的功,質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中，變力所作的功 。,功：,結(jié)論：,合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個(gè)分力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和 。,在直角坐標(biāo)系中,功是標(biāo)量。只有大小，沒有方向。,功不僅和力的大小、方向、始末位置有關(guān)，還和具體路徑有關(guān)，即功是過程量。,注意：,功的幾何意義：,功在數(shù)值上等于示功圖 曲線下的面積。,示功圖,功和參考系有關(guān)，具有相對(duì)性。,舉例,以車廂為參考系，摩擦力不做功。以地面為參考系，摩擦

2、力做功。一般情況下，通常約定以地面為參考系。,加速運(yùn)動(dòng),一對(duì)相互作用力的功與參考系無關(guān)。,汽車相對(duì)地面的位移為,物塊相對(duì)車的位移為,以地面為參考系：,以汽車為參考系,物塊相對(duì)地面的位移為,則這一對(duì)力的功為,功率是反映作功快慢程度的物理量。,功率：,單位時(shí)間內(nèi)所作的功。,平均功率：,瞬時(shí)功率：,瓦特（W）=（J/s）,例 設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)上的力是 N。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)移動(dòng)到位矢為 m處時(shí)，此力所作的功有多大？它與路徑有無關(guān)系？,解：,例、設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F = 6t N。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，在頭2（s）內(nèi)這力作了多少功？,解：,兩邊積分：,例 有一單擺，用一水平力

3、作用于m使其緩慢上升。當(dāng)由0增大到0時(shí)，求: 此力的功。,解：,例 一球形容器落入水中，其剛接觸水面時(shí)，其速度為 。設(shè)此容器在水中所受的浮力與重力相等，水的阻力為 f=-kv ,求阻力所做的功。,解：如圖，取坐標(biāo) Ox 向下為正。由功的定義，水的阻力做的功為,由題意：,（1）,即,代入（1）得,定義動(dòng)能 ：,合外力的功等于其動(dòng)能的增量，難道這只是巧合？,4-2 動(dòng)能定理,動(dòng)能：,單位：（J）,設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn),元功：,1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理,總功：,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。,功與動(dòng)能的聯(lián)系：它們的單位和量綱相同；功是能量變化的量度；都是標(biāo)量。

4、 功與動(dòng)能的區(qū)別：動(dòng)能是狀態(tài)量v 的單值函數(shù)，所以是狀態(tài)量；功總是和一定過程相聯(lián)系，是過程量。 動(dòng)能定理由牛頓第二定律導(dǎo)出， 只適用于慣性參考系，并且功和動(dòng)能與參考系有關(guān)。但不同慣性系，動(dòng)能定理的形式相同。,注意：,2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理,一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)。,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和,合內(nèi)力的功是否為零？,質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動(dòng)能。,值得注意：,例 已知質(zhì)量m=1.0Kg的物體連在1m長(zhǎng)的繩子一端。從0=30處?kù)o止下落. 求10時(shí),小球的速率v,解:小球在任意時(shí)刻受重力P與

5、拉力T.,外力作功,且 cos = sin, ds = - ld,代積分上下限,由動(dòng)能定理,因?yàn)?v0=0,代入數(shù)據(jù) l =1m, 0=30, =10,所以 v=1.53m/s,4-3 保守力與非保守力 勢(shì)能,（1）重力的功,質(zhì)量為m的物體在重力作用下,沿ab,重力對(duì)物體作力為,重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置za和zb，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。,（2） 萬(wàn)有引力作功,設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在M 的引力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。,萬(wàn)有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。,（3）彈性力的功,由胡克定律：,彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無

6、關(guān)。,保守力的特點(diǎn)：,保守力沿任何閉合路徑作功等于零。,保守力：,作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。,根據(jù)保守力做功的特點(diǎn)，可以引入只和位置有關(guān)的物理量-勢(shì)能,與保守力相對(duì)的稱為耗散力，如摩擦力。,勢(shì)能,由保守力作功:,重力的功:,萬(wàn)有引力的功：,彈性力的功：,重力勢(shì)能,引力勢(shì)能,彈性勢(shì)能,EP為物體的勢(shì)能,三種勢(shì)能為：,設(shè)空間2處為勢(shì)能的零點(diǎn)，則1處的勢(shì)能為：,結(jié)論：,空間某點(diǎn)的勢(shì)能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力做的功。,可寫為統(tǒng)一的一般形式,保守力做功在數(shù)值上等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。,說明：,（1）勢(shì)能是一個(gè)系統(tǒng)的屬性。,（4）勢(shì)能的零點(diǎn)可以任意選取。,重力勢(shì)能：,（地面

7、（h = 0）為勢(shì)能零點(diǎn)）,彈性勢(shì)能：,（彈簧自由端為勢(shì)能零點(diǎn)）,引力勢(shì)能：,（無限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)）,（2）勢(shì)能是位置的單值函數(shù)。,（5）引入勢(shì)能的一個(gè)重要目的是為了簡(jiǎn)化保守力做功的計(jì)算。,保守力與勢(shì)能的積分關(guān)系：,保守力與勢(shì)能的微分關(guān)系：,因?yàn)椋?4-5 由勢(shì)能求保守力,所以：,保守力的矢量式：,保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢(shì)能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢(shì)能降低的方向。,結(jié)論：,4-6 機(jī)械能守恒定律,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：,其中,機(jī)械能,質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。,質(zhì)點(diǎn)系的功能原理,當(dāng)系統(tǒng)只有保守內(nèi)力作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持

8、不變。,機(jī)械能守恒定律,注意：,1、機(jī)械能守恒的條件：作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力不作功 （ W外+W非保內(nèi)= 0 ）或 只有保守內(nèi)力作功。,2、機(jī)械能守恒：系統(tǒng)的總機(jī)械能不變。而質(zhì)點(diǎn)系 內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能都不是不變的，二者之間的轉(zhuǎn)換 是通過系統(tǒng)內(nèi)的保守力作功來實(shí)現(xiàn)的。,4、機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非 =慣性系。,5、在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系=中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參=考系的選擇有關(guān)。對(duì)一個(gè)參考系外力功為零，=但在另一參考系中外力功也許不為零。,3、要區(qū)分功、能兩種概念，功是能量變化的量度，能是物體具有的作功本領(lǐng)。能是狀態(tài)量，功是過程量。,例：鏈條總

9、長(zhǎng)為 L，質(zhì)量為 m，初始時(shí)刻如圖懸掛，鏈條 與桌面間的摩擦系數(shù)為 ，鏈條由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求： （1）、鏈條離開桌邊時(shí)，摩擦力作的功？ （2）、這時(shí)候鏈條的速度？,解：,當(dāng)鏈條在桌面上的長(zhǎng)度為x時(shí)， 摩擦力,（1）、,（2）、,由功能原理,例. 傳送帶沿斜面向上運(yùn)行速度為v = 1m/s，設(shè)物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質(zhì)量為M = 50kg/s，并被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動(dòng)機(jī)所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）,解：,在t 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量為Mt 的物料落到皮帶上，并獲得速度v 。,t內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)能的增量：,重力做功：,電動(dòng)機(jī)對(duì)系統(tǒng)做的功：,由動(dòng)能定理：,例 已知質(zhì)量

10、m=1.0Kg的物體和1m長(zhǎng)繩子相連。從0=30處?kù)o止下落. 求10時(shí),小球的速率v。,解：小球運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，小球機(jī)械能守恒。,由機(jī)械能守恒：,因?yàn)?v0=0,代入數(shù)據(jù) l =1m, 0=30, =10,所以 v=1.53m/s,4-8 碰撞,兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體在運(yùn)動(dòng)中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為碰撞。,正碰（對(duì)心碰撞）：兩球碰撞前后的速度在兩球的中心連線上。 斜碰：兩球碰撞前的速度不在兩球的中心連線上。,完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失。,非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。,完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，

11、且碰撞后物體以同一速度運(yùn)動(dòng)。,碰撞過程的特點(diǎn)：1、各個(gè)物體的動(dòng)量明顯改變。 2、系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。,1. 完全彈性碰撞,(1) 如果m1= m2 ，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體在碰撞時(shí)速度發(fā)生了交換。,(2) 如果v20 =0 , 且 m2 m1, 則v1 = - v10, v2 = 0,(3) 如果v20 =0 , 且 m1 m2, 則v1 = v10, v2 = 2v10,分離速度等于接近速度,2完全非彈性碰撞,由動(dòng)量守恒定律,完全非彈性碰撞中動(dòng)能的損失,牛頓的碰撞定律：在一維對(duì)心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2- v1 與碰撞前兩物體的接近速度 v10- v20

12、成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。,3非彈性碰撞,e 為恢復(fù)系數(shù),e = 0，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。,e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。,一般非彈性碰撞碰撞：0 e 1,例 如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為m 的釘子敲入木板。設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時(shí)，能夠把釘子敲入1cm深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？,解,設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為v0， 敲打后兩者的共同速度為v。,鐵錘第一次敲打時(shí)，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力為：,由動(dòng)能定理， 有：,設(shè)鐵錘第二次敲打時(shí)能敲入的深度為S ，則有,化簡(jiǎn)后,第二次能敲入的深度為：,例 地面上豎直安放著一個(gè)勁度系數(shù)為k 的彈簧，其頂端連接一靜止的質(zhì)量 M物體。有個(gè)質(zhì)量為m 的物體，從距離頂端為處自由落下，與M 作完全非彈性碰撞。求彈簧對(duì)地面的最大壓力。,分析：小球的運(yùn)動(dòng)分三個(gè)過程： 自由落體 碰撞 壓縮彈簧,解(1) m下落到與M碰前速度大小