1、第二十六章 二次函數(shù) 【知識點】（一）形如的函數(shù)叫的 函數(shù)。其中，叫二次項， 叫一次項， 是常數(shù)項?！緦毩暋?.判斷下列各關(guān)系式是否為關(guān)于的二次函數(shù)：；.2. 已知關(guān)于的二次函數(shù)為，則的值為 ?！局R點】（二）二次函數(shù)的圖象一般按列表、描點、連線的步驟用五個點來確定大致圖象：（1） 解析式的三種形式：；（為一元二次方程的兩實根）（2） 二次函數(shù)的圖象是一條以直線為對稱軸，（）為頂點，且過（0，）的拋物線。二次函數(shù)解析式圖象開口方向0，開口向上；0，開口向下.（拋物線開口的大小由的大小決定，越大，開口越?。辉叫?，開口越大）對稱軸軸（即：直線）直線頂點坐標（0,0）（0，c）與軸的交點坐標（0

2、,0）（0，c）（0,0）（0，c）與軸的交點坐標（,0）和（,0）（當0時）（0,0）和（,0）（，0）和（，0）（其中為一元二次方程的兩實根）（3） 拋物線中系數(shù)的作用： 確定拋物線的開口方向和開口大?。磼佄锞€的形狀）：當0時，開口向上，在對稱軸左側(cè)，圖象逐漸下降，在對稱軸右側(cè)，圖象逐漸上升；當0時，開口向下，在對稱軸左側(cè)，圖象逐漸上升，在對稱軸右側(cè)，圖象逐漸下降.（拋物線開口大小由的大小決定，越大，開口越??；越小，開口越大） 和共同確定拋物線對稱軸的位置：因為拋物線的對稱軸是直線， 所以當同號時，對稱軸在軸左側(cè)；當異號時，對稱軸在軸右側(cè)； 當時，對稱軸是軸. 確定拋物線與軸的交點位置：

3、當0時，拋物線交軸正半軸一點；當=0 時，拋物線過原點；當0時，拋物線交軸負半軸一點。 確定拋物線與軸的交點個數(shù)：當0時，拋物線與軸有兩 個交點；當=0時，拋物線與軸有一個交點（即拋物線的頂點）；當 0時，拋物線與軸無交點。（4） 二次函數(shù)圖象的平移取決于頂點位置變化.口訣：上加下減，左加右減：拋物線上下平移得到拋物線，左右平移得拋物線.如：將拋物線向上平移3個單位得到拋物線；向下平移3個單位得到拋物線；向左平移3個單位得到拋物線；向右平移3個單位得到拋物線；先向下平移3個單位再向左平移3個單位（或先向左平移3個單位再向下平移3個單位）得到拋物線?！緦毩暋?.在同一平面直角坐標系中分別作出

4、下列各組函數(shù)的圖象并分析：（1） ，和；（2）和；（3） 和；（4）和；（5）和；（6）和。2. 拋物線經(jīng)過原點，則的值等于 。3. 如圖所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值為 ，拋物線和橫軸的交點坐標為 。4. 將拋物線向下平移3個單位，再向左平移4個單位得到拋物線，則原拋物線的頂點坐標是 。5.在同一坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可為（ ）6.已知二次函數(shù)的圖象如右圖，那么下列判斷不正確的是 。0；0；0；0；0.7.如果直線（）不經(jīng)過第三象限，那么拋物線的頂點在第 象限。8.若點P（1，）和Q（，）都在拋物線上，則線段PQ的長為 ，PQ的中點坐標是 。9.如右圖，拋物線的圖象交軸于

5、A、B兩點，交軸于點C，則ABC的面積為 。10.已知拋物線的頂點在坐標軸上，求的值。11.將拋物線作下列移動后，求得到的新拋物線的解析式.（1）向左平移2個單位，再向下平移3個單位；（2）頂點不動，將原拋物線開口反向；（3）以軸為對稱軸，將原拋物線開口反向。12.如圖，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于A、 B、C三點，頂點為M，對稱軸交軸于N.（1）確定實數(shù)及=的符號；（2）用表示圖中線段CO,MN,ON,OA,OB,AB,AN的長度。13.已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為（，0），則代數(shù)式的值為 。已知銳角ABC的BC邊長為6，面積為12，平行BC邊的直線分別與AB、AC交于P、Q，以P

6、Q為一邊，在點A同側(cè)作正方形PMNQ.設(shè)正方形PMNQ與ABC的共同部分的面積為，PQ的長為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍?！局R點】（三）二次函數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.（2）增減性：當0時，在對稱軸左側(cè)（即），隨的增大而減??； 在對稱軸右側(cè)（即），隨的增大而增大. 當0時，在對稱軸左側(cè)（即），隨的增大而增大； 在對稱軸右側(cè)（即），隨的增大而減小.（3） 最大（?。┲担?，時，有最小值. 0，時，有最大值.【對應練習】：1.二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱.當 時，隨的增大而 ；當 時，隨的增大而 ；當 時，有最 值，是 。2. 已知二次函數(shù)，當自變量取兩個

7、不同值時，函數(shù)值相等，則當自變量取時的函數(shù)值與= 時的函數(shù)值相等。3. 若一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，則函數(shù)有最 值，為 。4. 已知二次函數(shù)的圖象過點A（1,2），B（3,2），C（5,7），若點M（），N（），K（）也在該二次函數(shù)的圖象上，則按從小到大排列為 。5. 點A（），B（）在拋物線上，若0，則相應的函數(shù)值的大小關(guān)系為 。6. 某商店準備進一批季節(jié)性小家電，每個進價為40元，經(jīng)市場預測，銷售定價為50元，可售出400個；定價每增加1元，銷售量將減少10個。設(shè)每個定價增加元，獲得的利潤為元，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是 .當每個定價增加 元，商店能獲得6000元的利潤.要使利潤最大化，

8、每個定價增加 元，最大利潤是 。7.點P和Q是拋物線上的兩個不同的點，則= .8.在二次函數(shù)中，且時，則的最 值為 .【知識點】（四）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：（1） 將函數(shù)解析式的一些常數(shù)看作未知數(shù)，利用已知條件確定這些未知數(shù)，使問題得到解決的方法叫待定系數(shù)法。使用待定系數(shù)法解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。（2） 在求二次函數(shù)的解析式時，常常由于所給的條件不同，為了使運算簡便，對于二次函數(shù)相應地采取不同的形式來表達.一般有以下三種形式： 如已知二次函數(shù)的圖

9、象上任意三點的坐標，求二次函數(shù)的表達式時，用的形式表示較為簡便；如已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（），求二次函數(shù)的表達式時，用的形式較為簡便；如已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點坐標為，求二次函數(shù)的表達式時，用的形式較為簡便。判斷一個點是否在所知的拋物線上，只要把這點的坐標代入解析式即可【對應練習】：1.根據(jù)下列條件，分別求二次函數(shù)的解析式：（1） 自變量分別為-1,0，0.5時對應的函數(shù)值為2，-1，-1；（2） 圖象經(jīng)過點（-0.5,0），（1,0）和（-2,9）；（3） 頂點坐標為（），且經(jīng)過點（）.2.已知如右上圖，拋物線的頂點為點M(3,0)，它與軸交于點A（0,3），若直線過M點、A點

10、，求這個二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。3.寫出一個開口向上，對稱軸為直線，且與軸的交點坐標為（0,3）的拋物線的解析式 。4.已知拋物線與軸交于A、B兩點，且線段AB的長為0.5。（1）求的值；（2）若該拋物線的頂點為P，求ABP的面積。5.如圖，已知拋物線經(jīng)過A（-2,0），B（0，-4），C（2，-4）三點，且與軸的另一個交點為E.（1） 求拋物線的解析式；（2）用配方法求拋物線的頂點D的坐標和對稱軸；（3）求四邊形ABDE的面積。計算與二次函數(shù)圖象上有關(guān)點所構(gòu)成的直線型的面積時，要注意圖形的分割與組合，同時要掌握一些與二次函數(shù)圖象有關(guān)的特殊的三角形的面積計算方法6.已知是方程的兩個實數(shù)根，

11、且，拋物線經(jīng)過點A(),B().（1）求拋物線的解析式；（2）該拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和BCD的面積；（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH軸,與拋物線交于H點，若直線BC把PCH分成面積之比為2:3的兩部分，請求出P點的坐標。7.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A、C兩點，頂點為B，點D在這個二次函數(shù)圖象的對稱軸上，若四邊形ABCD是一個邊長為2且有一個內(nèi)角為60的菱形，求此二次函數(shù)的表達式。8.如圖，已知拋物線與軸的兩個交點為A()，B()，且.（1）求此拋物線的解析式；（2）設(shè)此拋物線的頂點為D，與軸的交點為C，試判斷四邊形A

12、CBD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的結(jié)論。9.已知二次函數(shù)當自變量時，函數(shù)取得最大值2.如果其圖象與軸交于A、B兩點，頂點為M，且AMB的面積為4個平方單位.（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）若點N是其圖象上的一個點，且ANB的面積為12個平方單位，求直線MN對應的函數(shù)解析式。10.拋物線過點A（1，-3），B（3，-3），C（-1,5），頂點為M點.（1）求該拋物線的解析式.（2）試判斷拋物線上是否存在一點P，使POM=90.若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標.（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使OMK=90，說明理由。11.已知開口向上的拋物線與軸交于A(-3，0)、B（1,0

13、）兩點，與軸交于C點，ACB不小于90.（1）求點C的坐標（用含的代數(shù)式表示）；（1） 求系數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)拋物線的頂點為D，求BCD中CD邊上的高的最大值。將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q.設(shè)A、P兩點間的距離為.（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察到的結(jié)論；（2）當點Q在CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當點P在線段AC上滑動時，PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成為等腰

14、三角形的點Q的位置，并求出相應的的值；如果不可能，說明理由。(下列圖形供操作、分析使用)已知銳角ABC的BC邊長為6，面積為12，平行BC邊的直線分別與AB、AC交于P、Q，以PQ為一邊，在點A異側(cè)作正方形PMNQ.設(shè)正方形PMNQ與ABC的共同部分的面積為，PQ的長為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)(0)的圖象的頂點為D點，與軸交于C點，與軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3,0），OB=OC，ACO=.（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為

15、頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，若點G（2，）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最大面積。【知識點】（五）二次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）：（1） 拋物線與軸的交點個數(shù)由一元二次方程中的=決定（詳見“拋物線中系數(shù)的作用”）；交點的橫坐標為一元二次方程的根。當拋物線與橫軸相交于點A、點B時，則A、B之間的距離與的兩根的關(guān)系是AB=.*（2）拋物線與直線的交點坐標即為二元一次方程組的解.有三種情況*（3）拋物線在橫軸上方的所有點的橫坐標為一元二次不等式

16、0的解集；在橫軸下方的所有點的橫坐標為一元二次不等式0的解集.*（4）拋物線與直線中，滿足的所有點的橫坐標為不等式的解集；滿足的所有點的橫坐標為不等式的解集?！緦毩暋浚?.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖，則關(guān)于的一元二次方程的解為 。2. （1）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.則方程的解為 ；不等式0的解集為 ；不等式0的解集為 .（2） 如圖，在同一坐標系中，拋物線和直線相交，則方程組的解為 ；當滿足 時，；當滿足 時，.3.已知拋物線（0）的頂點為C（0,1），直線與這條拋物線交于P、Q兩點，與軸、軸分別交于點M和N.（1）設(shè)點P到軸的距離為2，試求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若線段MP與PN的長

17、度之比為3:1，試求拋物線的函數(shù)關(guān)系式。4.已知拋物線經(jīng)過A、B、C三點，當0時，其圖象如圖所示.（1）求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點坐標；（2）畫出拋物線當0時的圖象；（3）利用拋物線，寫出為何值時，0。5.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸只有一個公共點P，與軸的交點為Q，過點Q的直線與軸交于點A，與這個二次函數(shù)的圖象交于另一點B.若,求這個二次函數(shù)的解析式。6. 已知二次函數(shù).（1）求證：無論為何值，函數(shù)的圖象與軸總有交點，并指出當為何值時，只有一個交點；（2）當為何值時，函數(shù)的圖象過原點，并求出此時圖象與軸的另一個交點；（3）若函數(shù)的圖象的頂點在第四象限，求的取值范圍。7. 已知二次函數(shù)的圖

18、象如右圖.（1） 當時，求證該函數(shù)的圖象與軸必有兩個交點；（2）求的取值范圍；（3）在（2）的情況下，且，求C點的坐標；（4）求A、B兩點間的距離；（5）求ABC的面積S。8.已知拋物線與拋物線在平面直角坐標系中的位置如圖，其中一條與橫軸交于A、B兩點.（1）試判斷哪條拋物線經(jīng)過A、B兩點，并說明理由；（2）若A、B兩點到原點的距離AO、OB滿足，求經(jīng)過A、B兩點的這條拋物線的解析式。如圖，已知拋物線，其中分別是ABC中A、B、C的對邊.（1）設(shè)拋物線與軸的兩個交點為P、Q，頂點為R，PQR=，若，ABC的周長為10，求拋物線的解析式；（2）設(shè)直線與拋物線交于點E、F，與軸交于點M，拋物線與軸

19、交于點N.若拋物線的對稱軸為，MNE與MNF的面積之比為5:1，試判斷ABC的形狀，并證明你的結(jié)論。【知識點】（六）二次函數(shù)的應用題：（1） 運用函數(shù)知識解決生產(chǎn)、生活中的行程問題、工程問題、收費問題、最大利益的獲取、最佳方案的設(shè)計、最大面積的計算等，主要考查數(shù)形結(jié)合的能力、閱讀理解能力、收集處理信息的能力。（2） 解決函數(shù)應用題的一般步驟是：理解題意，建立數(shù)學模型；分析問題中的變量、常量及其關(guān)系；利用等量關(guān)系或者待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，確定自變量的取值范圍，作出圖象；利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求出符合題意和實際意義的結(jié)果；根據(jù)實際對結(jié)果進行取舍及其應用處理等?！緦毩暋浚?.如圖，一橋梁呈拋物線

20、狀，橋的最大高度是16m，跨度是40m，在線段AB上離中心M處5m的地方，橋的高度是多少？（取3.14）2. 如圖，用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按此方式擺下去，當每邊上擺20根（即n=20）時，需要的火柴棍總數(shù)為 根。3.在生產(chǎn)中，為了節(jié)約原材料，加工某些零件時，常利用一些邊角廢料，如上圖所示，ABC為銳角三角形廢料板，其中BC=12cm,BC邊上的高AD=8cm，在ABC上截取矩形PQMN，使QM在邊BC上，畫出草圖說明P、N兩點落在什么位置上，才能使它的面積最大？求出它的最大值，并求出此時矩形的長和寬。4.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從A點出發(fā)，沿AB邊向

21、點B以1厘米/秒的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)，沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動.如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，（1）運動開始后第幾秒時，PBQ的面積等于8？（2） 設(shè)運動開始后第t秒時，五邊形APQCD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）t為何值時S最?。壳蟪鯯的最小值。5.在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），且BEF=120，設(shè)AE=，DF=，那么當為 時，有最大值，最大值是 。6.跳繩時，繩甩到最高處時的形狀是拋物線，正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間

22、距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點O的水平距離為1米的點F處，繩子甩到最高處剛好通過她的頭頂點E，以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)此拋物線的解析式為.（1）求此拋物線的解析式；（2） 如果小華站在OD之間，且離點O距離為3米，當繩子甩到最高處剛好通過他的頭頂，請計算出小華的身高；（3）如果身高為1.4米的小麗站在OD之間，且離點O的距離為，求的取值范圍。7.某游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設(shè)施.若不計維修保養(yǎng)費用，預計開放后每月可創(chuàng)收33萬元.而該游樂設(shè)施開放后，從第一個月到第個月的維修保養(yǎng)費用累計為（萬元），且.若將創(chuàng)收扣除投資和

23、維修保養(yǎng)費用稱為游樂場的純收益G（萬元），G也是關(guān)于的解析式。（1） 若維修保養(yǎng)費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元，求關(guān)于的解析式；（2）求純收益G關(guān)于的解析式；（3）設(shè)施開放幾個月后，游樂場的純收益達到最大？幾個月后能收回投資？ 8.施工隊要修建一個橫截面邊緣為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為軸建立直角坐標系.（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（3）施工隊在隧道門口搭建一個矩形的“腳手架”ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度

24、之和的最大值，請你幫施工隊計算一下。9.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB=7，CD=1，AD=BC=5.點M、N分別在邊AD、BC上運動，并保持MNAB,MEAB,NFAB，垂足分別為E、F.（1）求梯形ABCD的面積；（2）求四邊形MEFN面積的最大值；（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形.若能，求出正方形MEFN的面積.若不能，請說明理由。10.某產(chǎn)品每件的成本是120元，為了解市場規(guī)律，試銷階段按兩種方案進行銷售，結(jié)果如下：方案甲：保持每件150元的售價不變，此時日銷量為50件；（元） 130150160（件）705040方案乙：不斷地調(diào)整售價，此時發(fā)現(xiàn)日銷量（件）是售價（元）的一次函數(shù)，且前三天的銷售情況如右表. （1）如果方案乙