1、8.3空間點、直線、平面 之間的位置關(guān)系,-2-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,自測點評,1.平面的基本性質(zhì) 公理1:如果一條直線上的在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2:過的三點,有且只有一個平面. 公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有 過該點的公共直線.,兩點,不在一條直線上,一條,-3-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,7,2.直線與直線的位置關(guān)系,平行,相交,任何,-4-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,7,3.公理4 平行于的兩條直線互相平行.,同一條直線,-5-,知識梳理,雙基自測,自測點

2、評,2,3,4,1,6,5,7,4.定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角.,相等或互補,-6-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,7,5.直線與平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系有 、 、三種情況.,平行,相交,在平面內(nèi),-7-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,7,6.平面與平面的位置關(guān)系 平面與平面的位置關(guān)系有、兩種情況.,平行,相交,-8-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,7,7.常用結(jié)論 (1)唯一性定理 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行. 過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直. 過平面外

3、一點有且只有一個平面與已知平面平行. 過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直. (2)異面直線的判定定理 經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.,-9-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,7,(3)確定平面的三個推論 推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面. 推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面. 推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面. (4)異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交.,2,-10-,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5

4、,自測點評,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.() (2)兩個平面,有一個公共點A,就說,相交于A點,記作=A. () (3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線.() (4)如果兩個不重合的平面,有一條公共直線a,就說平面,相交,并記作=a.() (5)若a,b是兩條直線,是兩個平面,且a,b,則a,b是異面直線.(),答案,-11-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,2.(2016上海,文16)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線中與直線E

5、F相交的是() A.直線AA1 B.直線A1B1 C.直線A1D1 D.直線B1C1,答案,-12-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,3.已知l,m是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題: 若l,m,l,m,則; 若l,l,=m,則lm; 若,l,則l; 若l,ml,則m. 其中真命題有(寫出所有真命題的序號).,答案,-13-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,4.設(shè)P表示一個點,a,b表示兩條直線,表示兩個平面,給出下列四個命題,其中正確的命題是.(填序號) Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb,答案,-14-,知識梳理

6、,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,5.(教材探究改編P46)如圖所示,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則 (1)當AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH為菱形; (2)當AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH是正方形.,答案,解析,-15-,知識梳理,雙基自測,自測點評,1.做有關(guān)平面基本性質(zhì)的判斷題時,要抓住關(guān)鍵詞,如“有且只有”“只能”“最多”等. 2.兩個不重合的平面只要有一個公共點,那么兩個平面一定相交且得到的是一條直線. 3.異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點的直線.不能錯誤地理解為不在某一個平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線.,-1

7、6-,考點1,考點2,考點3,例1 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AA1的中點,求證: (1)E,C,D1,F四點共面; (2)CE,D1F,DA三線共點. 思考如何利用平面的基本性質(zhì)證明點共線和線共點?,-17-,考點1,考點2,考點3,證明 (1)如圖,連接EF,CD1,A1B. E,F分別是AB,AA1的中點, EFA1B. 又A1BCD1, EFCD1,E,C,D1,F四點共面. (2)EFCD1,EFCD1, CE與D1F必相交,設(shè)交點為P, 則由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1

8、=DA, P直線DA. CE,D1F,DA三線共點.,-18-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.點線共面問題的證明方法: (1)納入平面法:先確定一個平面,再證有關(guān)點、線在此平面內(nèi); (2)輔助平面法:先證有關(guān)點、線確定平面,再證其余點、線確定平面,最后證明平面,重合. 2.證明多線共點問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證交點在第三條直線上.證交點在第三條直線上時,第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線,可以利用公理3證明.,-19-,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練1如圖,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BGGC=DHHC=1

9、2. (1)求證:E,F,G,H四點共面; (2)設(shè)EG與FH交于點P,求證:P,A,C三點共線.,-20-,考點1,考點2,考點3,證明 (1)E,F分別為AB,AD的中點, EFBD. GHBD,EFGH. E,F,G,H四點共面. (2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC, P平面ABC.同理P平面ADC. P為平面ABC與平面ADC的公共點. 又平面ABC平面ADC=AC, PAC,P,A,C三點共線.,-21-,考點1,考點2,考點3,例2若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是() A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,

10、l2都相交 C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交 思考如何借助空間圖形確定兩直線位置關(guān)系?,答案,解析,-22-,考點1,考點2,考點3,解題心得解題時一定要注意選項中的重要字眼“至少”“至多”,否則很容易出現(xiàn)錯誤.解決空間點、線、面的位置關(guān)系這類問題時一定要萬分小心,除了作理論方面的推導(dǎo)論證外,利用特殊圖形進行檢驗,也可作必要的合情推理.,-23-,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練2(1)如圖,G,N,M,H分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則直線GH,MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號),-24-,考點1,考點2,考點3,(2)如圖,在正方體

11、ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點.問: AM和CN是不是異面直線?說明理由. D1B和CC1是不是異面直線?說明理由.,-25-,考點1,考點2,考點3,答案: (1),解析: 題圖中,直線GHMN; 題圖中,G,H,N三點共面,但M平面GHN,因此直線GH與MN異面; 題圖中,連接MG,易知GMHN, 因此GH與MN共面; 題圖中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH與MN異面. 所以題圖,中GH與MN異面.,-26-,考點1,考點2,考點3,(2)解 不是異面直線.理由如下: 連接MN,A1C1,AC. M,N分別是A1B1,B1C1的中點, MNA1

12、C1. 又A1AC1C, 四邊形A1ACC1為平行四邊形, A1C1AC,MNAC. A,M,N,C在同一平面內(nèi),故AM和CN不是異面直線.,-27-,考點1,考點2,考點3,是異面直線.理由如下: ABCD-A1B1C1D1是正方體, B,C,C1,D1不共面. 假設(shè)D1B與CC1不是異面直線,則存在平面,使D1B平面,CC1平面, D1,B,C,C1,與B,C,C1,D1不共面矛盾. 假設(shè)不成立,即D1B與CC1是異面直線.,-28-,考點1,考點2,考點3,例3設(shè)直線m與平面相交但不垂直,則下列說法中正確的是() A.在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直 B.過直線m有且只有一個平面與平

13、面垂直 C.與直線m垂直的直線不可能與平面平行 D.與直線m平行的平面不可能與平面垂直 思考如何借助空間圖形確定線面位置關(guān)系?,答案,解析,-29-,考點1,考點2,考點3,解題心得解決這類問題的關(guān)鍵就是熟悉直線與直線、直線與平面、平面與平面的各種位置關(guān)系及相應(yīng)的公理定理,歸納整理平面幾何中成立但立體幾何中不成立的命題,并在解題過程中注意避免掉入由此設(shè)下的陷阱.判斷時可由易到難進行,一般是作圖分析,構(gòu)造出符合題設(shè)條件的圖形或反例來判斷.,-30-,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練3 (2016上饒模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點P,Q,R分別是線段B1B,AB和A1C上的動點,觀

14、察直線CP與D1Q,CP與D1R,給出下列結(jié)論: 對于任意給定的點P,存在點Q,使得D1QCP; 對于任意給定的點Q,存在點P,使得CPD1Q; 對于任意給定的點R,存在點P,使得CPD1R; 對于任意給定的點P,存在點R,使得D1RCP. 其中正確的結(jié)論是.(填序號),答案,解析,-31-,考點1,考點2,考點3,1.公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù);公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù);公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù).要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理. 2.判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)

15、過點B的直線是異面直線. (2)反證法:證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面.,-32-,考點1,考點2,考點3,1.異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”,實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面,因此異面直線既不平行,也不相交. 2.直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.,-33-,思想方法構(gòu)造模型判斷空間線面的位置關(guān)系 空間點、直線、平面的位置關(guān)系是立體幾何的理論基礎(chǔ),高考常設(shè)置選擇題或填空題,考查直線、平面位置關(guān)系的判斷和異面直線所成的角的求法.在判斷線、面位置關(guān)系時,有時可以借助常見的幾何體作出判斷.這類試題一般稱為空間線面位置

16、關(guān)系的組合判斷題,解決的方法是“推理論證加反例推斷”,即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進行證明,錯誤的結(jié)論需要通過舉出反例說明其錯誤,在解題中可以以常見的空間幾何體(如正方體、正四面體等)為模型進行推理或者反駁.,-34-,典例(1)已知空間三條直線l,m,n,若l與m異面,且l與n異面,則() A.m與n異面 B.m與n相交 C.m與n平行 D.m與n異面、相交、平行均有可能 (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有條.,-35-,(3)已知m,n是兩條不同的直線,為兩個不同的平面,有

17、下列四個命題: 若m,n,mn,則; 若m,n,mn,則; 若m,n,mn,則; 若m,n,則mn. 其中所有正確的命題的序號是. 答案(1)D(2)無數(shù)(3),-36-,解析 (1)在如圖所示的長方體中,m,n1與l都異面,但是mn1,所以A,B錯誤;m,n2與l都異面,且m,n2也異面, 所以C錯誤. (2)(方法一) 如圖,在EF上任意取一點M,直線A1D1與M確定一個平面,這個平面與CD有且僅有一個交點N,當M取不同的位置時就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這三條異面直線都有交點,所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條.,-37-,(方法二)在A1D1上任取一點P,過點P與直線EF作一個平面,因CD與平面不平行,所以它們相交,設(shè)它們交于點Q,連接PQ(圖略),則PQ與EF必然相交,即PQ為所求直線.由點P的任意性,知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1,EF