1、第四節(jié) 簡(jiǎn)單的三角恒等變換,由三角變換求值或求角,已知cos ，cos() ，且0 . (1)求tan2的值；(2)求的值,分析(1)先求sin，再求tan，最后由二倍角公式求tan2.(2)先求角的余弦值，再求角,解(1),(2) 由0 ，得0 . 又cos() ， 由()得， coscos()coscos() sinsin() .,規(guī)律總結(jié)三角恒等變換是實(shí)現(xiàn)角與角，三角函數(shù)與三角函數(shù)，三角函數(shù)式之間轉(zhuǎn)化的主要運(yùn)算求值或求角正需要這種有效變化，因此，求值或求角的解題途徑主要是，角的變化、函數(shù)名稱的變化和三角函數(shù)式的變化,變式訓(xùn)練1 求,的值,【解析】,由三角變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,已知tan，t

2、an是方程x24x20的兩個(gè)實(shí)根，化簡(jiǎn)：cos2()2sin()cos()3sin2(),分析先由已知條件找到角，滿足的關(guān)系式，再根據(jù)該關(guān)系式與要化簡(jiǎn)式子的聯(lián)系，實(shí)施恒等變換,解由已知，有tantan4，tantan2，,規(guī)律總結(jié)該題目是一個(gè)有條件的化簡(jiǎn)問(wèn)題化簡(jiǎn)該三角函數(shù)式時(shí)，需要借助已知條件，因此，首先要根據(jù)已知條件，找到兩個(gè)角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩角和的正切可求由此想到，將已知式子向正切方向轉(zhuǎn)化，最后使式子得以化簡(jiǎn)，而且求得值,變式訓(xùn)練2 化簡(jiǎn),【解析】,由三角變換證明三角恒等式,(1)求證：,(2)已知5sin3sin(2)，求證：tan()4tan0,分析(1)兩邊分別切化弦，通過(guò)三角變換進(jìn)行

3、化簡(jiǎn) (2)從角入手，進(jìn)行角的保值變換，出現(xiàn)欲證等式中的角，再由三角變換進(jìn)行化簡(jiǎn),證明(1),左邊右邊，原等式成立,(2) 把5sin3sin(2)化成 5sin()3sin()，得 5sin()cos5cos()sin 3sin()cos3cos()sin， 移項(xiàng)合并得 2sin()cos8cos()sin0， tan()4tan0.,規(guī)律總結(jié)(1)證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一，或變更論證； (2)常用方法有：定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法等； (3)條件恒等式的證明，需要充分依據(jù)已知條件，觀察條件與結(jié)論中角、名稱、次數(shù)

4、的差異，從而選擇不同的公式，進(jìn)行三角變換,變式訓(xùn)練3 求證：,【證明】,三角恒等變換的綜合應(yīng)用,(12分)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足 求b/a的值 .,分析思路一，從方程的觀點(diǎn)考慮，將等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于 的方程，從而可求出 .思路二，若注意到等式左邊的分子、分母都具有asinbcos的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解思路三，考慮兩角和的正切的形式，引入輔助角,解方法一：由題設(shè)得,4分,8分,12分,方法二：,3分,6分,由題設(shè)得,8分,12分,方法三：原式可變形為：,4分,8分,10分,12分,規(guī)律總結(jié)上述解法中，方法一，利用了方程的思想，從方程中求得的 表達(dá)式，再由三角

5、變換化至最簡(jiǎn)；方法二，分子分母分別應(yīng)用了式子asinbcos sin()和 acosbsin cos()的形式；方法三，通過(guò)式子的恒等變形，類(lèi)比兩角和的正切公式，進(jìn)行角的代換，從而求得角，再求 的值由本例可以看出，三角恒等交換方法多樣，要注意總結(jié)各方法的優(yōu)點(diǎn)，熟練運(yùn)用,變式訓(xùn)練4 已知xR，f(x) sin2x cos2x. (1)若0 x ，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若f(x) ，求x的值,【解析】f(x) sin2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x sin . (1)0 x ，當(dāng) 2x ，即 x時(shí)，f(x)為減函數(shù)，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,(2)si

6、n = ， 2x 2k或2x 2k， xk(kZ)或x k(kZ),1三角恒等變換的幾種主要途徑 (1)角的變換：觀察角之間的和、差、倍的關(guān)系，減少角的種類(lèi)，化異角為同角 (2)函數(shù)名的變換：觀察、比較題設(shè)與結(jié)論之間，等號(hào)的左右兩邊的函數(shù)名的差異，化異名為同名 (3)常數(shù)的變換：常用的方式有1sin2cos2tan ， sin 等,(4)次數(shù)的變化：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角的余弦公式及其變形 (5)結(jié)構(gòu)變化：對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變除為乘，或求差等,2三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) (1)常用方法 直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)； 切化弦，異名化同名，異角化同角； 三角

7、公式的逆用等 (2)化簡(jiǎn)要求 能求出值的應(yīng)求出值； 使三角函數(shù)種數(shù)盡量少； 使項(xiàng)數(shù)盡量少； 盡量使分母不含三角函數(shù)； 盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù),3三角函數(shù)的求值類(lèi)型 (1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題 (2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論 (3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角,4三角等式的證明 (

8、1)三角恒等式的證題思路 根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同” (2)三角條件等式的證題思路 通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明 5形如y asinxbcosx的函數(shù)，先轉(zhuǎn)化為ysin() (其中 ) 的形式，再研究性質(zhì),已知， ，且tan，tan是方程x23 x40的兩個(gè)根，則的值為() A. 或 B C 或 D,錯(cuò)解tan，tan是方程x23 x40的兩個(gè)根， tan(),， ，(，)， 在(，)內(nèi)正切值等于 的角只有 和 ， 或 .,錯(cuò)解分析沒(méi)有對(duì)條件 進(jìn)行深入地分析，擴(kuò)大了的取值范圍 事實(shí)上，由tantan