1、初等代數(shù)研究,第一講 數(shù)系的擴(kuò)展,內(nèi)容結(jié)構(gòu)： 一、數(shù)系擴(kuò)展的順序、方法、原則 二、自然數(shù)理論與數(shù)學(xué)歸納法 三、“平靜”地接受一些無(wú)理數(shù) 四、復(fù)數(shù)的研究和應(yīng)用,一、數(shù)系的擴(kuò)展順序、方法、原則,（一） 數(shù)系的擴(kuò)展順序、方法、原則,從代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)看，人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)大體按照以下的邏輯順序進(jìn)行的：,自然數(shù),正有理數(shù),非負(fù)有理數(shù),有理數(shù),實(shí)數(shù),復(fù)數(shù),添正分?jǐn)?shù),添零,添負(fù)有理數(shù),添無(wú)理數(shù),添虛數(shù),（1）自然數(shù)的產(chǎn)生起源于人類(lèi)在生產(chǎn)和生活中記數(shù)的需要（三個(gè)階段：結(jié)繩記數(shù)；出現(xiàn)”三頭牛，五只羊”；把數(shù)從具體事物的集合分離出來(lái)，形成抽象的正整數(shù)概念，并有了代表它的符號(hào)）,結(jié)繩法最早出現(xiàn)在印加帝國(guó)，是利用一種

2、十進(jìn)的位置值系統(tǒng)在繩上打結(jié)的記事方式。,在干繩最遠(yuǎn)的一行一個(gè)結(jié)代表1，次遠(yuǎn)的一個(gè)結(jié)代表10，如此等等.,秘魯?shù)挠〉诎踩说慕Y(jié)繩法,中國(guó)的甲骨文計(jì)數(shù)法,易.系辭載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書(shū)目契?！?我國(guó)古代的甲骨文中的“數(shù)”字，左邊表示打結(jié)的繩，右邊是一只手，表示古人用結(jié)繩記數(shù),（2）由于生產(chǎn)力的發(fā)展，在土地丈量、天文觀測(cè)、水利工程等方面的需要，正分?jǐn)?shù)運(yùn)應(yīng)而生。據(jù)史書(shū)記載，三千多年前埃及紙草卷中已有關(guān)于正分?jǐn)?shù)問(wèn)題的記述。引進(jìn)正分?jǐn)?shù)是數(shù)的概念的第一次擴(kuò)充。,（3）人們開(kāi)始記數(shù)時(shí)，最初沒(méi)有“零”的概念，在生產(chǎn)實(shí)踐需要記數(shù)的東西越來(lái)越多，逐漸產(chǎn)生了位值記數(shù)法，如我國(guó)古代籌算上利用空格表示“零”。

3、引入“0”是數(shù)的概念的第二次擴(kuò)展。,（4）引入負(fù)數(shù)，是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)展。,（5）引入無(wú)理數(shù)，是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)展。,（6）引入虛數(shù)，是數(shù)的概念的第五次擴(kuò)展。,（二）數(shù)系的擴(kuò)展方法和原則,近代數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，是在總結(jié)數(shù)的歷史發(fā)展的基礎(chǔ)上，用代數(shù)結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)）和公理系統(tǒng)加以整理而建立起來(lái)的。,數(shù)的擴(kuò)展通常采用兩種方法：,（1）添加新元素法，即把新元素添加到已建立的數(shù)集中。,（2）構(gòu)造法，即從理論上構(gòu)造一個(gè)集合，然后指出這個(gè)集合的某個(gè)真子集與先前的同構(gòu)。,二、自然數(shù)理論與數(shù)學(xué)歸納法,1、自然數(shù)的基數(shù)理論,19世紀(jì)中葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了自然數(shù)的基數(shù)理論，基數(shù)理論以“集合”為原始概念，

4、利用集合的知識(shí)來(lái)定義自然數(shù)以及各種運(yùn)算。,基數(shù)理論反映了“多少個(gè)”在數(shù)量上的意義，但沒(méi)有能揭示自然數(shù)在順序上“第幾個(gè)”的意義，也沒(méi)有給出自然數(shù)的加乘運(yùn)算的具體方法。,伽利略的困惑,直觀上看：自然數(shù)多，完全平方數(shù)在自然數(shù)中，有如滄海一粟，占的比例極少。,理論上得：自然數(shù)與完全平方數(shù)一樣多。,2、自然數(shù)的序數(shù)理論,皮亞諾（G.Peano）在1889年提出自然數(shù)的公理，建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，以“集合”、“后繼”為原始概念，用一組公理刻劃：,公理I說(shuō)明1是自然數(shù)， 公理III說(shuō)明1是最前面的自然數(shù)， 公理IV說(shuō)明N中任何數(shù)都有唯一的后繼元，且不同數(shù)的后繼數(shù)也不同。,德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克有一句名言：“上

5、帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他的數(shù)都是人造的了?！?自然數(shù)集是一個(gè)無(wú)限集，也是人們?cè)跀?shù)學(xué)上遇到的最簡(jiǎn)單、最直接的無(wú)限集。從1開(kāi)始采用求后繼的辦法，可以求出任何一個(gè)自然數(shù)，而且求每一個(gè)自然數(shù)的過(guò)程是有限的，把自然數(shù)集的這種無(wú)限性叫做“潛無(wú)限”。,歸納公理是第一數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)和邏輯基礎(chǔ)。,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題時(shí)應(yīng)注意： 1、第一步是奠基部分，歸納法原理的兩步缺一不可，否則將導(dǎo)致矛盾； 2、在證明推導(dǎo)第二步時(shí)，一定要用歸納假設(shè)的結(jié)論作為第二步推理的基礎(chǔ)。 3、數(shù)學(xué)歸納法是建立在“潛無(wú)限”的觀念基礎(chǔ)上，推導(dǎo)過(guò)程看似一個(gè)有限的過(guò)程，但是在邏輯上保證命題對(duì)“一切自然數(shù)”都正確。用“有限”體現(xiàn)“無(wú)

6、限”的過(guò)程。,正確理解“潛無(wú)限”,三毛悖論：“任何有頭發(fā)的人都是禿子”。,我國(guó)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中在20世紀(jì)90年代之前，一直沒(méi)有把0作為自然數(shù)，但是1993年頒發(fā)的中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中量和單位規(guī)定自然數(shù)包括0.具體表述為：用0表示“一個(gè)物體也沒(méi)有”所對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)。,最小數(shù)原理,最小數(shù)原理是第二數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)和理論依據(jù)。,“瑞雪兆豐年”與數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法考察了以下能力傾向：,（1）從整體結(jié)構(gòu)上直接領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的能力；,（2）從數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系中洞察對(duì)象 本質(zhì)的能力；,（3）從解題思路和問(wèn)題結(jié)果中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。,數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法涉及三種題型： 1、直接證明型

7、2、探討求索型 3、變式演繹型,(探討求索型問(wèn)題) 解題思維過(guò)程： 嘗試觀察歸納、猜想證明 即從特殊關(guān)系中概括一般規(guī)律，建立猜想，給出嚴(yán)格證明。,(數(shù)學(xué)歸納法問(wèn)題)解題策略： 從數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系、解題思路和問(wèn)題結(jié)果等特征去思考問(wèn)題。,三、平靜地接受一些無(wú)理數(shù),（一）無(wú)理數(shù)的起源和發(fā)展,公元前6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開(kāi)始研究整數(shù)的性質(zhì)，他們提出了奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、合數(shù)的概念，并逐漸形成了宇宙哲學(xué)觀：“萬(wàn)物皆數(shù)”。,靈魂是不死的，靈魂也是數(shù)，“正義”、“友誼”、“愛(ài)情”等概念也可以從數(shù)的關(guān)系中得到解釋。,萬(wàn)物皆數(shù),“萬(wàn)物皆數(shù)”理論：數(shù)是萬(wàn)物的本原；數(shù)產(chǎn)生萬(wàn)物，數(shù)的規(guī)律統(tǒng)治萬(wàn)物。1是

8、最神圣的數(shù)字，1生2，2生諸數(shù)，數(shù)生點(diǎn)，點(diǎn)生線，線生面，面生體，體生萬(wàn)物。,學(xué)派誓詞： 謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓， 長(zhǎng)流不息的自然的根源包含于其中.,1、 上帝是按照數(shù)的規(guī)律創(chuàng)造宇宙的，整個(gè)世界正好建立在前四個(gè)整數(shù)基礎(chǔ)上的，因而1+2+3+4=10，用10作出的誓言是最莊嚴(yán)、最神圣的。,畢達(dá)哥拉斯,湯姆220 瑪麗284 2、“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密”。,3、完全數(shù)6是婚姻、健康、美麗、幸福的象征。,圣經(jīng)注釋家們視6、28為至高無(wú)上的建筑師上帝的基本數(shù)字。,4、中國(guó)古代以數(shù)字來(lái)表達(dá)哲學(xué)觀點(diǎn)： 老子在道德經(jīng)有云：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”。 數(shù)學(xué)表示為：0

9、，1，2，3，,周易.系辭上有云：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業(yè)。 數(shù)學(xué)表達(dá)為：1，2，4，8，,5、周易.系辭上有云：“河出圖，洛出書(shū)，圣人則之”“河圖”、“洛書(shū)”。,河圖”、“洛書(shū)”,“二四為肩； 六八為足， 左三右七， 戴九履一， 五居其中。,“九子斜排； 上下對(duì)易， 左右相更， 四維挺出。,楊輝,公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子蘇帕薩斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)：,（1）正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的。,（2）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的徽章,正五邊形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線不可公度,這一發(fā)現(xiàn)與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的哲學(xué)理論極不和諧，引起了該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)

10、極度惶恐和惱怒，認(rèn)為它動(dòng)搖了他們?cè)趯W(xué)術(shù)上的統(tǒng)治，是致命的打擊。 蘇帕薩斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后被拋入大海，葬身魚(yú)腹，為科學(xué)獻(xiàn)身。,不可公度長(zhǎng)期得不到正確的解釋?zhuān)瑑蓚€(gè)不可通約的比值一直被認(rèn)為是不可理喻的。15世紀(jì)的意大利畫(huà)家達(dá)芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)的德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)之為“不可名狀”的數(shù)。,然而，真理是淹沒(méi)不了的，人們?yōu)榧o(jì)念這位“科學(xué)的星座”，就把不可通約的量改名為“無(wú)理數(shù)”。,由于無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，打破了畢達(dá)哥拉斯的“信條”，引起了數(shù)學(xué)界思想的混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。,（二）無(wú)理數(shù)的定義,定義1（實(shí)數(shù)的無(wú)限小數(shù)說(shuō)）全體有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)組成的集合稱(chēng)為實(shí)數(shù)集。無(wú)限不

11、循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)。,特點(diǎn)：直觀但抽象，無(wú)法解釋兩個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的和差積商等運(yùn)算。,問(wèn)題：0.9999和1是否相等？,不是證明的“證明”：,1、籠統(tǒng)的分析：,2、所謂的“證明”,3、極限求和法,定義2 （康托的基本序列說(shuō)）有理數(shù)的基本序列的等價(jià)類(lèi)稱(chēng)為實(shí)數(shù). 基本思想：把無(wú)限小數(shù)看作是一個(gè)有限小數(shù)序列的極限。,定義3（戴德金分割說(shuō)）有理數(shù)的戴德金分割稱(chēng)為實(shí)數(shù),有端點(diǎn)分割稱(chēng)為有理數(shù),無(wú)端點(diǎn)分割稱(chēng)為無(wú)理數(shù)。,基本思想：有理數(shù)在直線上分布是稠密的，但是不連續(xù)的，存在“漏洞”。“洞”是一個(gè)無(wú)法從自身的結(jié)構(gòu)來(lái)定義的概念，但是“洞”在直線上對(duì)其他點(diǎn)起到“分割”的作用。,（三）一些無(wú)理數(shù)的證明,實(shí)數(shù)的鬼魂虛

12、數(shù),背景：當(dāng)無(wú)理數(shù)的位置確定后，人們又發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問(wèn)題。,這樣最簡(jiǎn)單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解,一、復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程,12世紀(jì)的印度大數(shù)學(xué)家婆什伽羅都認(rèn)為這個(gè)方程是沒(méi)有解的。他認(rèn)為正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，因此，一個(gè)正數(shù)的平方根是兩重的；一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，因此負(fù)數(shù)不是平方數(shù)。這等于不承認(rèn)方程的負(fù)根的存在。,16世紀(jì)，卡爾達(dá)諾的大衍術(shù)第一次大膽使用了負(fù)數(shù)平方根的概念。使用負(fù)數(shù)平方根，就有可能解決四次方程的求解問(wèn)題。雖然他寫(xiě)出了負(fù)數(shù)的平方根，但他卻猶豫不次，他不得不聲明，這個(gè)表達(dá)式是虛構(gòu)的，想像的，并且稱(chēng)它為”虛數(shù)”。,“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是真實(shí)不存在的數(shù)字。虛數(shù)，人們開(kāi)始稱(chēng)之為“實(shí)數(shù)的鬼魂”，1637年笛卡兒稱(chēng)為“想像中的數(shù)”，后來(lái)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)可對(duì)應(yīng)平面上的縱軸，與對(duì)應(yīng)平面上橫軸的實(shí)數(shù)同樣真實(shí)。,1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)開(kāi)始使用符號(hào)i表示虛數(shù)的單位。歐拉創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并把它們應(yīng)用到水利學(xué)、地圖繪制學(xué)上。,1797年，威賽爾給出了虛線的圖像表示才確立了虛數(shù)的合理地位。他和阿爾干一起借助于17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒建立的平面坐標(biāo)系，給復(fù)數(shù)做出了幾何解釋。,高斯19歲時(shí)，通過(guò)復(fù)數(shù)原理，成功解決了正十七邊形的尺規(guī)作圖問(wèn)題，同時(shí)將直角坐標(biāo)平面