1、第十五章 壓桿穩(wěn)定問題,15- 1 穩(wěn)定性概念,鋼板尺：一端固定 一端自由,：臨界壓力,15-2 臨界載荷的歐拉公式,一、兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力,即,令,則,附：求二階常系數(shù)齊次微分方程 的通解。,特征方程為,兩個不相等的實根 ，通解,兩個相等的實根 ，通解,一對共軛復根 ，通解,通解,邊界條件,特征方程,有一對共軛復根,時：,時：,兩端鉸支細長壓桿臨界壓力的歐拉公式,I 是取 Iy 還是 Iz ？,二、兩端非鉸支細長壓桿的臨界壓力,稱為長度因數(shù),例：圓截面的細長壓桿，材料、桿長和桿端約束保持不 變，若將壓桿的直徑縮小一半，則其臨界力為原壓桿的多少 倍？若將壓桿的橫截面改變?yōu)槊娣e相同的正方

2、形截面，則其 臨界力為原壓桿的多少倍？,解：(1),(2),例：圖示兩桁架中各桿的材料和截面均相同，設 F1和 F2 分別為這兩個桁架穩(wěn)定的最大載荷，則 (A) F1 = F2； (B) F1 F2 ； (D) 不能斷定 F1和 F2的關(guān)系。,解：圖(a)中，AD 桿受壓,圖(b)中，AB 桿受壓,(a),(b),例：長方形截面細長壓 桿, b / h = 1/2; 如果將 b 改為 h 后仍為細長桿, 臨界力Fcr 是原來的多少倍？,解：,例：三種不同截面形狀的細長壓桿如圖所示。試標出 壓桿失穩(wěn)時各截面將繞哪根形心主慣性軸轉(zhuǎn)動。,例：五根直徑都為 d 的細長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿 系 AB

3、CD, 如各桿材料相同, 彈性模量為 E。求圖 (a)、(b) 所 示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。,解：(a) 桿 BD 受壓，其余桿受拉,(b) 桿 BD 受拉，其余桿受壓,例：圖示結(jié)構(gòu), 1、2 兩桿截面和材料相同，為細長壓 桿。確定使載荷 F 為最大值時的 角（設 ）。,解：欲使 F 最大, 只有1、2 兩桿同時達到各自的臨界壓力,得,15-3 中、小柔度桿的臨界應力,一、壓桿的臨界應力,則,令,壓桿的長細比或柔度,計算壓桿臨界應力的歐拉公式,二、歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗公式,在推導歐拉公式時, 使用了撓曲線的近似微分方程,在推導該方程時，應用了胡克定律。因此, 歐拉公式也 只

4、有在滿足胡克定律時才能適用：,或,記,歐拉公式的適用范圍,滿足該條件的桿稱為大柔度桿或細長桿。,對于Q235鋼，取 ， , 則,所以，只有壓桿的長細比 時，才能應用歐拉公式計 算其臨界壓力。,直線公式,式中 a、b 是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。,在工程 上，一般采用經(jīng)驗公式。,在我國的設計手冊和規(guī)范中給出的 是直線公式和拋物線公式。,當壓桿的長細比 時，歐拉公式已不適用。,下面考慮經(jīng)驗公式的適用范圍：,經(jīng)驗公式的適用范圍,對于塑性材料：,即,記,則,對于脆性材料：,滿足該條件的桿稱為中柔度桿或中長桿。,經(jīng)驗公式中，拋物線公式的表達式為,式中 也是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，可在有關(guān)的設計 手冊和規(guī)范中查

5、到。,對于 的桿，稱為小柔度桿或粗短桿，此時不存在失穩(wěn)問題，應考慮強度問題。,三、臨界應力總圖,1. 細長桿（ ），用歐拉公式,2. 中長桿（ ），用經(jīng)驗公式,3. 粗短桿（ ），用強度條件,臨界應力總圖,0,p,下述表述正確的是_。 中柔度桿采用歐拉公式計算臨界應力，結(jié)果可能不安全。 中柔度桿采用歐拉公式計算臨界應力，結(jié)果安全，偏于保守。 大柔度桿采用中柔度桿公式計算臨界應力，結(jié)果可能不安全。 大柔度桿采用中柔度桿公式計算臨界應力，結(jié)果安全，偏于保守。,A、C,思考題,0,p,15-4 壓桿穩(wěn)定條件與合理設計,一、穩(wěn)定性條件,式中： 壓桿的臨界壓力 壓桿的工作壓力 穩(wěn)定安全因數(shù) 穩(wěn)定許用壓力

6、 壓桿的工作安全因數(shù),或,二、折減系數(shù)法,即,式中： 壓桿的臨界應力 壓桿的工作應力 穩(wěn)定許用應力 許用壓應力 穩(wěn)定系數(shù)或折減系數(shù),三、壓桿的合理設計,1、合理選擇截面,2、合理安排壓桿約束與選擇桿長,3、合理選擇材料,對大柔度桿：,對中柔度桿：,例：非細長桿如果誤用了歐拉公式計算臨界力，其結(jié)果 比實際；橫截面上的正應力將超過。,大，危險,比例極限,例：壓桿下端固定，上端與水平彈簧相 連，如圖所示，則壓桿長度因數(shù) 的范圍有 4 種答案: (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。,例：三根材料、長度均相同、兩端均為球鉸支座的細 長桿結(jié)構(gòu)，各自的截面形狀如圖，求三根桿的臨界應力之 比以及臨界力之比。,解：,例：圖示圓截面壓桿 ， 。求可 以用經(jīng)驗公式 計算臨界應力時的最 小桿長。,解：,由,得,另解：,例：截面為 的矩形壓桿兩端用柱形鉸聯(lián)接 (在 x y 平面內(nèi)彎曲時，可視為兩端鉸支；在 x z 平面內(nèi)彎曲時，可 視為兩端固定)。已知 。試求壓桿的臨界載荷。,解：,在 x y 平面內(nèi),在 x z 平面內(nèi),因為 ，所以桿首先在 x y 平面內(nèi)失穩(wěn),例：圖示托架，AB桿外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，E=206GPa，p=100，穩(wěn)定安全因數(shù)