1、第一章投影的基本知識,11 投影概念 1正投影特性 1點的投影 1直線的投影 1平面的投影,11 投影概念,把空間形體表示在平面上，是以投影法為基礎的。投影法源出于日常生活中光的投射成影這個物理現(xiàn)象。例如，當電燈光照射室內(nèi)的一張桌子時，必有影子落在地板上；如果把桌于搬到太陽光下，那么，必有影子落在地面上。,投影的形成,投影的形成,投影三條件： 投影中心及投射線 投影面（不通過投影中心） 表達對象（空間幾何元素或幾何形體）,投影通過表達對象的一系列投射線與投影面的交點的總和。 投影法獲得投影的方法。,投影法的分類,投影法,中心投影法,投影中心S距投影面P有限遠,中心投影法,當投影中心S距投影面P

2、為有限遠時，所有的投射線都從投影中心一點出發(fā)（如同人眼觀看物體或電燈照射物體），這種投影方法稱為中心投影法。 用中心投影法獲得的投影通常能反應表達對象的三維空間形態(tài)，立體感強，但度量性差。這種圖習慣上稱之為透視圖。,平行投影法,當投影中心S據(jù)投影面P為無窮遠時，所有的投射線變得互相平行（如同太陽光一樣），這種投影法稱為平行投影法。其中，根據(jù)投射線與投影面的相對位置的不同，又可分為正投影法和斜投影法兩種。 投射線垂直于投影面產(chǎn)生的平行投影叫做正投影投射線傾斜于投影面產(chǎn)生的平行投影叫做斜投影,正投影法,投影中心S距投影面P無限遠且投射線垂直于投影面,正投影的形狀大小與表達對象本身存在簡單明確的幾何

3、關系，因此具有較好的度量性，但立體感差。,斜投影法,投影中心S距投影面P無限遠且投射線傾斜于投影面,平行投影除了具有中心投影的兩條基本特性外，還具有另外兩條特性： 1）點分直線線段成某一比例，則該點的投影也分該線段的投影成相同的比例； 2）互相平行的直線，其投影仍舊互相平行。,平行投影法,1-2 正投影的基本性質(zhì),研究投影的基本性質(zhì)，旨在研究空間幾何元素本身與其落在投影面上的投影之間的一一對應關系。其中最主要的是要弄清楚哪些空間幾何特征在投影圖上保持不變；哪些空間幾何特征發(fā)生了變化和如何變化。 由于正投影具有較好的度量性，因此工程制圖的基礎主要是正投影法，所以必須先掌握正投影的基本性質(zhì)（以后除

4、特別指明外，所有投影均指正投影，直線線段簡稱直線，平面圖形簡稱平面）。,正投影的基本特性全等性,（1）直線平行于投影面時，其投影反映實長及傾角。,（2）平面平行于投影面時，其投影反映實形。,（3）互相平行的直線，其投影仍舊互相平行。,正投影的基本特性積聚性,（1）直線垂直于投影面時，其投影積聚為一點。,（2）平面垂直于投影面時，其投影積聚為一直線。,立體的三面投影圖,由于單面正投影具有不可逆性，為確切地、唯一地反映空間立體的位置和形狀，須采用多面投影相互補充。 一般來說，空間立體有正面、側面和頂面三個方面的形狀；具有長度、寬度和高度三個方向的尺寸。物體的一個正投影，只反映了一個方面的形狀和兩個

5、方向的尺寸。為了反映物體三個方面的形狀，常采用三面投影圖。,立體的三面投影圖,三面投影圖是采用正投影法將空間幾何元素或幾何形體分別投影到相互垂直的三個投影面上，并按一定的規(guī)律將投影面展開成一個平面，把獲得的投影排列在一起，使多個投影互相補充，以便確切地、唯一地反映表達對象的空間位置或形狀。這種圖又稱正投影圖。,三面投影體系的建立,正立投影面（V面）,水平投影面（H面）,側立投影面（W面）,投影軸,V、W、H面兩兩垂直； OX、OY、OZ三軸形成一個空間三維坐標系。,三面投影圖的形成,V面不動；W面向右旋轉90；H面向下旋轉90,OY軸一分為二；屬H面的稱YH軸；屬W面的稱YW軸；,三面投影圖,

6、三面投影圖,注意投影方向： 正面投影由前向后投影； 側面投影由左向右投影； 水平投影由上向下投影；,A.立體的三面投影與立體的關系 水平投影反映了立體的頂面形狀和長、寬兩個方向的尺寸 正面投影反映了立體的正面形狀和高、長兩個方向的尺寸 側面投影反映了立體的側面形狀和高、寬兩個方向的尺寸 B.立體三面投影的兩面之間，存在如下關系： 正面投影和側面投影具有相同的高度 水平投影和正面投影具有相同的長度 側面投影和水平投影具有相同的寬度,立體的三面投影圖,1-點的投影,點的單面投影 點的兩面投影 點的三面投影及投影規(guī)律 點的投影與直角坐標的關系 兩點的相對位置,點的單面投影,點的單面投影不能確定該點的

7、空間位置,點的兩面投影,緒論中提到；在正投影的條件下，點的單面投影不能唯一確定該點的空間位置，那么，兩面投影呢？,點的兩面投影能夠唯一確定點的空間位置。,兩面投影體系的建立： V正面投影面 H水平投影面 OX投影軸,ax,點的兩面投影圖的形成,點的兩面投影圖的性質(zhì),A,a,a,H,V,O,X,ax,正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸； 正面投影到OX軸的距離等于A點的高度； 水平投影到OX軸的距離等于A點的寬度；,點的三面投影,通常我們用大寫字母表示空間的點，相應的小寫字母表示其水平投影，小寫字母加一撇表示其正面投影，小寫字母加兩撇表示其側面投影。,W,A,H,V,O,X,Y,Z,a,a,a

8、x,a,ay,az,W,a,a,a,O,X,YH,Z,YW,點的三面投影圖,ax,ay,az,ay,a,a,a,O,X,YH,Z,YW,點的三面投影規(guī)律,ax,ay,az,ay,水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸（長對正）； 正面投影和側面投影的連線垂直于OZ軸（高平齊）； 水平投影到OX軸的距離等于側面投影到OZ軸的距離（寬相等）。,（1）點的投影的連線垂直于相應的投影軸。,（2）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相應的投影面的距離。,點的三面投影規(guī)律,點的投影與直角坐標的關系,A,H,V,O,X,Y,Z,a,a,ax,a,ay,az,W,x,z,y,A點的x坐標aay=aaz A點的y坐

9、標aax=aaz A點的z坐標aay=aay,1投影與坐標,2特殊位置點的投影,（1）投影面上的點,（2）投影軸上的點,點的投影與直角坐標的關系,兩點的相對位置,空間兩點的相對位置，是以其中一個點為基準，來判斷另一個點在該點的前或后、左或右、上或下。,1- 直線的投影,由于直線的投影一般情況下仍為直線，且兩點決定一直線，故要獲得直線的投影，只需作出已知直線上的兩個點的投影，再將它們相連即可。,直線的分類,直 線,一般位置直線,特殊位置直線,投影面垂直線,投影面平行線,特殊位置直線,投影面垂直線 垂直于一個投影面，同時平行于其它兩個投影面的直線。,鉛垂線垂直于H面，同時平行于V、W面的直線。 正

10、垂線垂直于V面，同時平行于H、W面的直線。 側垂線垂直于W面，同時平行于H、V面的直線。,鉛垂線（垂直于H面，同時平行于V、W面的直線）,水平投影積聚為一點；正面投影及側面投影平行于OZ軸，且反映實長。,正垂線（垂直于V面，同時平行于H、W面的直線）,正面投影積聚為一點；水平投影及側面投影平行于OY軸，且反映實長。,側垂線（垂直于W面，同時平行于H、V面的直線）,側面投影積聚為一點；水平投影及正面投影平行于OX軸，且反映實長。,投影面垂直線的投影特性,投影面垂直線的投影特性可概括如下： （1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點； （2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別垂直于相應的投影軸

11、，且都等于該直線的實長。 事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點；只要空間直線的三面投影中有一面投影積聚為一點，則該直線必垂直于積聚投影所在的投影面。,特殊位置直線,投影面平行線 平行于一個投影面，同時傾斜于其它兩個投影面的直線。,水平線平行于H面，同時傾斜于V、W面的直線。 正平線平行于V面，同時傾斜于H、W面的直線。 側平線平行于W面，同時傾斜于H、V面的直線。,水平線（平行H面，同時傾斜于V、W面的直線）,水平投影反映實長及傾角，正面投影及側面投影垂直于OZ軸,正平線（平行V面，同時傾斜于H、W面的直線）,正面投影反映實長及傾角，水平投影及側面投

12、影垂直于OY軸,側平線（平行W面，同時傾斜于H、V面的直線）,側面投影反映實長及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸,投影面平行線的投影特性,投影面平行線的投影特性可概括如下： （1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實長，且反映對其他兩個投影面傾角的實形； （2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別平行于相應的投影軸，且小于實長。 事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實形。,一般位置直線,對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。,一般位置直線,對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線

13、。,一般位置直線的投影特性,一般位置直線的投影特性： 1）三面投影均不反映直線的實長（均小于實長）； 2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實形。,事實上，只要空間直線的任意兩個投影都呈傾斜狀態(tài)，則該直線一定是一條一般位置直線。,求解一般位置直線的實長及傾角,根據(jù)一般位置直線的投影求解其實長及傾角是畫法幾何綜合習題中的常遇見的基本問題之一，也是工程實際中經(jīng)常需要解決的問題。而用直角三角形法求解實長及傾角最為簡便、快捷。,直角三角形法 (求直線的實長及對水平投影面的夾角),AB0=ab BB0=AB兩點的高度差,直角三角形法,直角三角形法的四要素：投影長、坐標差、實長、傾角。已知四要素中的

14、任意兩個，便可確定另外兩個。,解題時，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結果，但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。,直線上的點從屬性,點在直線上，則該點的投影必位于該直線的同面投影上,且符合點的投影規(guī)律；,直線上的點定比性,點分直線線段成某一比例，則該點的投影也分該線段的同面投影成相同的比例。,根據(jù)從屬性判斷點與直線的相對位置,m,m,注意：對于側平線還需考察側面投影。,根據(jù)定比性求特殊點,例：已知側平線AB的兩面投影及從屬于AB的一點K的水平投影k，試在兩面投影體系中求出點K的正面投影k。,兩直線的相對位置,空間兩直線的相對位置,兩直線平行,兩直線相交,兩直線交錯,空間兩直線平行,兩直線在空間互

15、相平行，則它們的同面投影也相互平行。反之，若兩直線的各個同面投影均相互平行，則該兩直線在空間也一定相互平行。,空間兩直線平行,注意：對于一般位置的兩直線，僅根據(jù)它們的水平投影及正面投影是否平行，就可判定它們在空間是否平行。但是對于側平線，則必須考察它們的側面投影，才可以斷定它們在空間的真實位置。,AB、CD不平行,空間兩直線平行,當互相平行的兩直線垂直于某一投影面時，則在該投影面上的投影（積聚為兩點），反映它們在空間的真實距離。,A,D,C,B,a(b),c(d),空間兩直線相交,兩直線相交必有一個公共交點，因此：若空間兩直線相交，則它們的各同面投影均相交，且交點符合點的投影規(guī)律。反之亦然。,

16、空間兩直線相交,同平行的兩直線一樣，對于一般位置的兩直線，只要根據(jù)水平投影及正面投影的相對位置，就可判別它們在空間是否相交。但是對于其中有一條是側平線的兩直線，則必須考察它們的側面投影是否相交。,X,Z,c,d,c,空間兩直線相交,當兩相交直線同時平行于某一投影面時，其夾角在投影面上的投影反應夾角的真實大小。,空間兩直線交錯,空間兩直線即不平行也不相交時，稱為交錯。,空間兩直線交錯,O,a,c,d,b,a,c,d,b,X,空間兩直線交錯時，它們的同面投影可能相交，但交點不可能符合點的投影規(guī)律；它們的某個同面投影可能平行，但不可能三個同面投影都同時出現(xiàn)平行。,重影點,V,H,X,O,A,B,C,

17、D,a,a,c,d,b,c,d,b,X,O,a,c,d,b,a,c,d,b,e,f,m(n),m,n,f (e),N,M,E,F,m(n),f (e),重影點：分屬不同直線，但位于同一條投影線上的點。,重影點的可見性判斷,O,a,c,d,b,a,c,d,b,e,f,m(n),m,n,f (e),（1）判別H面重影點的可見性，必須從H面投影向V面投影引垂線，較高的一點看得見，較低的一點則看不見。 （2）判別V面重影點的可見性，必須從V面投影向H面投影引垂線，較前的一點看得見，較后的一點則看不見。,直角的投影,一般情況下，要使一個角不變形的投射到某一投影面上，必須使此角的兩邊都平行于該投影面。但是

18、對于直角，只要有一邊平行于某一投影面，則此直角在該投影面上的投影仍舊是直角。,A,C,B,a,c,b,直角的投影,兩條互相垂直的直線，若其中有一條是某一投影面的平行線，則它們在該投影面的投影必互相垂直。,直角的投影,例：確定A點到正平線CD的距離。,1.5 平面的投影,平面的表示方法 各類平面的投影特性 平面內(nèi)的點和直線 平面內(nèi)的特殊直線,平面的表示方法,用幾何元素表示平面： （1）不在同一直線上的三個點； （2）一直線和直線外一點； （3）兩相交直線； （4）兩平行直線； （5）任意平面圖形。,V,X,W,H,Y,Z,A,C,B,平面的表示方法,相應地在投影圖中，空間平面可用下列五組幾何元素

19、中的任意一組來表示。,各種位置平面的投影特性,空間平面,特殊位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,投影面平行面,對一個投影面平行，同時垂直于其它兩個投影面的平面。,水平面平行于H面，同時垂直于V、W的平面 正平面平行于V面，同時垂直于H、W的平面 側平面平行于W面，同時垂直于H、V的平面,水平面,水平投影反映實形；正面投影和側面投影積聚為一條直線并平行于相應的投影軸。,正平面,正面投影反映實形；水平投影和側面投影積聚為一條直線并平行于相應的投影軸。,側平面,側面投影反映實形；水平投影和正面投影積聚為一條直線并平行于相應的投影軸。,投影面平行面的投影特性,投影面平行面的投影特性可概

20、括如下： （1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實形； （2）平面在另外兩個投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應的投影軸。,事實上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸相鄰的投影面的平行面。,投影面垂直面,垂直于一個投影面，同時傾斜于其它兩個投影面的平面。,鉛垂面垂直于H面，同時傾斜于V、W的平面 正垂面垂直于V面，同時傾斜于H、W的平面 側垂面垂直于W面，同時傾斜于H、V的平面,鉛垂面,水平投影積聚為直線，并反映傾角、的實形；正面投影和側面投影均不反映實形且變小。,正垂面,正面投影積聚為直線，并反映傾角、的實形；水平投影和側面投影均不反映實形且變小。,側垂面,側面投影積聚為直線，并反映傾角、的實形；水平投影和正面投影均不反映實形且變小。,投影面垂直面的投影特性,投影面垂直面的投影特性可概括如下： （1）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面與相應投影面的夾角； （2）平面在另外兩個投影面上的投影不反映實形，且變小。,事實上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影積聚為一條斜線，則該平面必為該投影面的垂直面。,一般位置平面,對三個投影面都傾斜的平面。,三個投影均為類似形，不反映實形和傾角，