1、常州市2015屆高三第一學(xué)期期末調(diào)研測試 數(shù)學(xué)試題 2015年2月一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上（第6題）1 設(shè)集合，則= 2 設(shè)復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），若，則的值為 3 已知雙曲線的離心率為，則實數(shù)a的值為 4 函數(shù)的定義域為 5 函數(shù)的最小正周期為 6 右圖是一個算法流程圖，則輸出的的值是 7 現(xiàn)有5道試題，其中甲類試題2道，乙類試題3道，現(xiàn)從中隨機取2道試題，則至少有1道試題是乙類試題的概率為 8 若實數(shù)滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 9 曲線在點處的切線方程為 10 已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 11 已知向量，設(shè)向量滿足，則的最大值為

2、 12 設(shè)等比數(shù)列的公比為（），前n項和為，若，且與的等差中項為，則 13 若不等式對任意滿足的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最大值為 14 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓均與軸相切且圓心，與原點共線，兩點的橫坐標(biāo)之積為6，設(shè)圓與圓相交于，兩點，直線：，則點與直線上任意一點之間的距離的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知， （1）求的值；（2）求的值；（3）若，求ABC的面積16（本小題滿分14分）（第16題）如圖，四棱錐的底面ABCD 是平行四邊形，平

3、面PBD平面 ABCD， PB=PD，分別是，的中點，連結(jié)求證： （1）平面； （2）平面17（本小題滿分14分） 某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留 3m 寬的通道，如圖設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為（m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為（m2）（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最大值18（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，直線過橢圓的右焦點，且交

4、橢圓于，兩點（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知點，連結(jié)，過點作垂直于軸的直線，設(shè)直線與直線交于點，試探索當(dāng)變化時，是否存在一條定直線，使得點恒在直線上？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由 19（本小題滿分16分）已知數(shù)列（，）滿足， 其中，（1）當(dāng)時，求關(guān)于的表達式，并求的取值范圍；（2）設(shè)集合若，求證：；是否存在實數(shù)，使，都屬于？若存在，請求出實數(shù)，；若不存在，請說明理由20（本小題滿分16分） 已知為實數(shù)，函數(shù)，函數(shù) （1）當(dāng)時，令，求函數(shù)的極值； （2）當(dāng)時，令，是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù) 定義域中的任意實數(shù)，均存在實數(shù)，有成立，若存在，求出實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明

5、理由 數(shù)學(xué)（附加題） 2015年2月21【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（第21-A題）A選修41：幾何證明選講 已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一 點，PC是的平分線，是下半圓的中點.求證：直線PC經(jīng)過點.B選修42：矩陣與變換 已知矩陣滿足：，其中是互不相等的實常數(shù)， 是非零的平面列向量，求矩陣.C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知兩個動點，分別在兩條直線和上運動，且它們的橫坐標(biāo)分別為角的正弦，余弦，.記，求動點的軌跡的普通方程. D選修45：不等式選講已知，證明：.【必做題】第

6、22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22 (本小題滿分10分)一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店，經(jīng)過一番瀏覽后，對該店鋪中的五種商品有購買意向.已知該網(wǎng)民購買兩種商品的概率均為，購買兩種商品的概率均為，購買種商品的概率為.假設(shè)該網(wǎng)民是否購買這五種商品相互獨立.（1）求該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率；（2）用隨機變量表示該網(wǎng)民購買商品的種數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.23（本小題滿分10分） 設(shè)個正數(shù)滿足（且）（1）當(dāng)時，證明：；（2）當(dāng)時，不等式也成立，請你將其推廣到（且）個正數(shù)的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明常州市教育

7、學(xué)會學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 2 38 4 5 6127 7 81 9 10 11 12 13 14 二、解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15解：（1）因為，所以 2分又由正弦定理，得， ，化簡得， 5分（2）因為，所以所以 8分（3）因為，所以 10分因為，所以12分因為， ，所以所以ABC的面積 14分16證明：（1）連結(jié)AC， 因為ABCD 是平行四邊形，所以O(shè)為的中點 2分 在中，因為，分別是，的中點， 所以 4分 因為平面，平面， 所以平面 6分 （2）連結(jié)因為是的中點，PB=PD

8、，所以POBD又因為平面PBD平面ABCD，平面平 面=，平面所以平面 從而8分 又因為，,平面，平面， 所以平面 因為平面，所以 10分因為，所以 12分又因為平面，平面，, 所以平面 14分17解：（1）由題設(shè)，得， 6分（2）因為，所以， 8分當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立 10分從而 12分答：當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為60 m時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為m2 14分18 解：（1）由題設(shè)，得解得從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分（2）令，則，或者，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，所以，滿足題意的定直線只能是 6分下面證明點恒在直線上設(shè)，由于垂直于軸，所以點的縱坐標(biāo)為，從而只要證明在直線上 8分由得，

9、 10分， 13分式代入上式，得， 所以 15分點恒在直線上，從而直線、直線與直線三線恒過同一點， 所以存在一條定直線：使得點恒在直線上 16分19解：（1）當(dāng)時， 2分因為，或，所以 4分（2）由題意， 6分令，得因為，所以令，則 8分 不存在實數(shù)，使，同時屬于 9分 假設(shè)存在實數(shù)，使，同時屬于，從而 11分因為，同時屬于，所以存在三個不同的整數(shù)（），使得 從而 則 13分因為與互質(zhì)，且與為整數(shù)，所以，但，矛盾 所以不存在實數(shù)，使，都屬于 16分20解：（1），令，得 1分列表：x0 + 極小值 所以的極小值為，無極大值 4分（2）當(dāng)時，假設(shè)存在實數(shù)滿足條件，則在上恒成立 5分1）當(dāng)時， 可

10、化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對任意恒成立；（*）則，令，則時，因為， 故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，故，所以（*）成立，滿足題意； 7分當(dāng)時，因為，所以，記，則當(dāng)時，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（*）不成立； 所以當(dāng)，恒成立時，； 9分2）當(dāng)時，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對任意的恒成立；（*）則，令，則時，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，此時（*）成立；11分當(dāng)時，）若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（*）不成立； 13分）若，則，所以當(dāng)時，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，所以函數(shù)在時單調(diào)遞

11、減，所以，此時（*）不成立；所以當(dāng)，恒成立時，； 15分綜上所述，當(dāng)，恒成立時， ，從而實數(shù)的取值集合為 16分高三數(shù)學(xué)（附加題） 參考答案21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分A選修41：幾何證明選講 證明： 連結(jié)，則 2分因為是圓周角，同弧上的圓心角， 所以 5分同理可得，所以是的平分線 8分又PC也是的平分線，的平分線有且只有一條，所以PC與重合.所以直線PC經(jīng)過點. 10分B選修42：矩陣與變換解：由題意，是方程的兩根 因為，所以 2分又因為，所以，從而 5分所以 因為，所以從而 8分故矩陣. 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：設(shè)，則 2分兩式平方相加得 5分又所以，. 8分所以動點軌跡的普通方程為（）10分D選修45：不等式選講證明：因為所以， 4分 ， 8分 所以. 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分22解：（1）記“該網(wǎng)民購買i種商品”為事件，則：, ,2分 所以該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率為 . 答：該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率為. 3分（2）