1、23.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式預(yù)習(xí)課本P112114，思考并完成以下問題 (1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么？(2)如何用坐標(biāo)表示向量的模、夾角、垂直？1向量數(shù)量積及向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)(1)數(shù)量積aba1b1a2b2.(2)若a，b為非零向量，ab a1b1a2b20.點(diǎn)睛記憶口訣：數(shù)量積的坐標(biāo)表示可簡(jiǎn)記為“對(duì)應(yīng)相乘計(jì)算和”2三個(gè)重要公式(1)向量的長(zhǎng)度公式：已知a(a1，a2)，則|a|.(2)兩點(diǎn)間的距離公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)向量的夾角公式：a(a1，a2)，b(b1，b2)，則cosa，b.1判斷下列命題是否正

2、確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和()(2)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則aba1b1a2b20.()(3)若兩個(gè)非零向量的夾角滿足cos 0，則兩向量的夾角一定是鈍角()答案：(1)(2)(3)2已知a(3,4)，b(5,2)，則ab的值是()A23B7C23D7答案：D3已知向量a(x5,3)，b(2，x)，且ab，則由x的值構(gòu)成的集合是()A2,3B1,6 C2D6答案：C4已知a(1，)，b(2,0)，則|ab|_.答案：2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算典例(1)(全國(guó)卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a()A1B0C1 D2(2)(廣

3、東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2,1)，則()A5 B4C3D2解析(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.(2)由(1，2)(2,1)(3，1)，得(2,1)(3，1)5.答案(1)C(2)A數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算活學(xué)活用已知向量a與b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐標(biāo)；(2)若c(2，1)，求(bc)a.解：(1)因?yàn)閍與

4、b同向，又b(1,2)，所以ab(，2)又ab10，所以12210，解得20.因?yàn)?符合a與b同向的條件，所以a(2,4)(2)因?yàn)閎c122(1)0，所以(bc)a0a0.向量的模的問題典例(1)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A. B.C2D10(2)已知點(diǎn)A(1，2)，若向量與a(2,3)同向，|2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_解析(1)由a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)|ab|.(2)由題意可設(shè)a(0)，(2，3)又|2，(2)2(3)2(2)2，解得2或2(舍去)(4,6)又A(1，2)，B(5,4)答案(1)B(2)(5,4)求向

5、量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若a(x，y)，則aaa2|a|2x2y2，于是有|a|. 活學(xué)活用1已知向量a(cos ，sin )，向量b(，0)，則|2ab|的最大值為_解析：2ab(2cos ，2sin )，|2ab|，當(dāng)且僅當(dāng)cos 1時(shí)，|2ab|取最大值2.答案：22已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，則|c|_.解析：a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)，|c|8.答案：8向量的

6、夾角和垂直問題典例(1)已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，則實(shí)數(shù)_.(2)已知a(2,1)，b(1，1)，cakb，dab，c與d的夾角為，則實(shí)數(shù)k的值為_解析(1)a(3,2)，b(1,2)，ab(3，22)又(ab)b，(ab)b0，即(3)(1)2(22)0，解得.(2)cakb(2k,1k)，dab(1,0)，由cos 得，(2k)2(k1)2，k.答案(1)(2)解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)(1)先利用平面向量的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐標(biāo)表示cos 直接求出cos .由三角函數(shù)值cos 求角時(shí)，應(yīng)注意角的取值范

7、圍是0.(2)由于0，利用cos 來判斷角時(shí)，要注意cos 0也有兩種情況：一是為銳角，二是0. 活學(xué)活用已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b與c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夾角的大小解：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)設(shè)m，n的夾角為，則cos .0，即m，n的夾角為.求解平面向量的數(shù)量積典例已知點(diǎn)A，B，C滿足|3，|4，|5，求的值解法一定義法如圖，根據(jù)題意可得ABC為直角三角形，且B，cos A，c

8、os C，45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A201525.法二坐標(biāo)法如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)(3,0)，(0,4)，(3，4)30040，034(4)16，3(3)(4)09.016925.法三轉(zhuǎn)化法|3，|4，|5，ABBC，0，()|225.求平面向量數(shù)量積常用的三個(gè)方法(1)定義法：利用定義式ab|a|b|cos 求解；(2)坐標(biāo)法：利用坐標(biāo)式aba1b1a2b2解題；(3)轉(zhuǎn)化法：求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行計(jì)算 活學(xué)活用如果正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D，E分

9、別為AB，BC的中點(diǎn)，那么cosDOE的值為_解析：法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由已知條件，可得，.故cosDOE.法二：，|，|，221，cosDOE.答案：層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已知向量a(0，2)，b(1，)，則向量a在b方向上的投影為()A.B3C D3解析：選D向量a在b方向上的投影為3.選D.2設(shè)xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，則|ab|()A. B.C2 D10解析：選B由ab得ab0，x11(2)0，即x2，ab(3，1)，|ab|.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，則k()A12 B

10、6C6 D12解析：選D2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.4a，b為平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()A. BC. D解析：選C設(shè)b(x，y)，則2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cosa，b.5已知A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，則ABC的形狀是()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形解析：選A由題設(shè)知(8，4)， (2,4)，(6,8)，28(4)40，即.BAC90，故ABC是直角三角形6設(shè)向量a(1,2m)，b(m

11、1,1)，c(2，m)若(ac)b，則|a|_.解析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m1)3m0，解得m，則a(1，1)，故|a|.答案：7已知向量a(1，)，2ab(1，)，a與2ab的夾角為，則_.解析：a(1，)，2ab(1，)，|a|2，|2ab|2，a(2ab)2，cos ，.答案：8已知向量a(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且ab，則向量b的坐標(biāo)為_解析：設(shè)b(x，y)(y0)，則依題意有解得故b.答案：9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，則ab(1，x)(2x3，x

12、)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，則1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當(dāng)x0時(shí)，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當(dāng)x2時(shí)，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.綜上，|ab|2或2.10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)(1)求及|；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)，求t的值解：(1)(3，1)，(1，5)，31(1)(5)2.(2，6)，|2.(2)t(32t，1t)，(2，1)，且(t)，(t)0，(32t)2(1t)(1)0，t1.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1設(shè)向

13、量a(1,0)，b，則下列結(jié)論中正確的是()A|a|b|BabCab與b垂直 Dab解析：選C由題意知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab與b垂直2已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上有一點(diǎn)P，使有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(3,0) B(2,0)C(3,0)D(4,0)解析：選C設(shè)P(x,0)，則(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故當(dāng)x3時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)3若a(x,2)，b(3,5)，且a與b的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選Cx應(yīng)滿足(x,2)(3,5)0且a，b不共線，

14、解得x，且x，x.4已知(3,1)，(0,5)，且， (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選B設(shè)C(x，y)，則(x，y)又(3,1)，(x3，y1)，5(x3)0(y1)0，x3.(0,5)，(x，y5)，(3,4)，3x4(y5)0，y，C點(diǎn)的坐標(biāo)是.5平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m_.解析：因?yàn)橄蛄縜(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m4,2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角，所以，即，所以，解得m2.答案：26已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示則D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，設(shè)E(1，a)(0a1)所以(1，a)(1,0)1，(1，a)(0,1)a1，故的最大值為1.答案：117已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|，且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.解：(1)設(shè)c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab