1、3.3 幾何概型學習目標1.了解幾何概型與古典概型的區(qū)別；2.了解幾何概型的定義及其特點；3.會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率知識點一幾何概型的概念思考往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上這個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？梳理(1)幾何概型的定義：設(shè)D是一個可度量的區(qū)域(例如_、_、_等)，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會_；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的_這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(_、_、_等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)我們把滿足這樣條件的概率

2、模型稱為幾何概型(2)幾何概型的特點：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有_每個基本事件出現(xiàn)的可能性_知識點二幾何概型的概率公式思考既然幾何概型的基本事件有無限多個，難以像古典概型那樣計算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？梳理幾何概型的概率公式：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A).知識點三用模擬方法估計概率1隨機數(shù)的產(chǎn)生(1)計算器上產(chǎn)生(0,1)的隨機數(shù)的函數(shù)是_函數(shù)(2)Excel軟件產(chǎn)生0,1區(qū)間上的隨機數(shù)的函數(shù)為“_”(3)a，b上隨機數(shù)的產(chǎn)生利用計算器或計算機產(chǎn)生0,1上的隨機數(shù)

3、xRAND，然后利用伸縮和平移交換，x_就可以得到a，b內(nèi)的隨機數(shù)，試驗的結(jié)果是a，b上的任何一個實數(shù)，并且任何一個實數(shù)都是等可能的2用模擬方法估計概率的步驟：(1)把實際問題中事件A及基本事件總體對應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機數(shù)的范圍(2)用計算機(或計算器)產(chǎn)生指定范圍內(nèi)的隨機數(shù)(3)統(tǒng)計試驗的結(jié)果，代入幾何概型概率公式估得概率利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機模擬試驗，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問題類型一幾何概型的概念例1判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概型是古典概型，還是幾何概型(1)拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；(2)下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲

4、獲勝，否則乙獲勝求甲獲勝的概率反思與感悟判斷一個概率是古典概型還是幾何概型的步驟：(1)判斷一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率是否相等，若不相等，那么這個概率既不是古典概型也不是幾何概型；(2)如果一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率相等，再判斷試驗結(jié)果的有限性當試驗結(jié)果有有限個時，這個概率是古典概型；當試驗結(jié)果有無限個時，這個概率是幾何概型跟蹤訓練1判斷下列試驗是否為幾何概型，并說明理由：(1)某月某日，某個市區(qū)降雨的概率；(2)設(shè)A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，求弦長超過半徑的概率類型二幾何概型的計算命題角度1與長度有關(guān)的幾何概型例2某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并

5、且發(fā)出前在車站?？?分鐘，求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率引申探究1本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求候車時間不超過10分鐘的概率2本例中在題設(shè)條件不變的情況下，求乘客到達車站立即上車的概率反思與感悟若一次試驗中所有可能的結(jié)果和某個事件A包含的結(jié)果(基本事件)都對應(yīng)一個長度，如線段長、時間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應(yīng)的長度，然后運用幾何概型的概率計算公式求出事件A發(fā)生的概率跟蹤訓練2平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(ra)的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率命題角度2與面積有關(guān)的幾何概型例3設(shè)點M(x，y)在區(qū)域(x，y)|x|1，|

6、y|1上均勻分布出現(xiàn)，求：(1)xy0的概率；(2)xy1的概率；(3)x2y21的概率反思與感悟如果每個基本事件可以理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，某個隨機事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個指定區(qū)域內(nèi)的點，且該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型，并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解跟蹤訓練3歐陽修賣油翁中寫到，(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌瀝之，自錢孔入而錢不濕若銅線是直徑為3 cm的圓，中間有一個邊長為1 cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計)，則油滴正好落入孔中的概率是_命題角度3與體

7、積有關(guān)的幾何概型例4三棱錐DABC的體積為V，在其內(nèi)部任取一點P，求三棱錐PABC的體積小于V的概率反思與感悟如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為P(A).解決此類問題的關(guān)鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆跟蹤訓練4在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為_1下列概率模型：從區(qū)間10,10內(nèi)任取一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率；從區(qū)間10,10內(nèi)任取一個整數(shù)，求取到大于1且小于5的數(shù)的概率；在一個邊長為4 cm的正方形ABCD內(nèi)取一點P，求點P離正方形的中心小于1 c

8、m的概率其中，是幾何概型的為_2面積為S的ABC，D是BC的中點，向ABC內(nèi)部投一點，那么點落在ABD內(nèi)的概率為_3兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，燈與兩端距離都大于2 m的概率為_4在裝有5升純凈水的容器中不小心混入一個病毒，現(xiàn)從中隨機取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是_1幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型2幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積等有關(guān)的題目3注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別4理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解答案精析問題導(dǎo)學知識點一思考出現(xiàn)的結(jié)果是無限個；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的梳理線段平面

9、圖形立體圖形都一樣某個指定區(qū)域d中的點長度面積體積梳理(1)無限多個(2)相等知識點二思考由定義知，事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件的區(qū)域測度(如長度、面積、體積)成正比，故可用區(qū)域的測度代替基本事件數(shù)知識點三1(1)RAND(2)RAND ( )(3)x1*(b-a)+a題型探究例1解(1)拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6636種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；(2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型跟蹤訓練1解(1)不是幾何概型，因為它不具有等可能性；(2)是幾何概型，因為

10、它具有無限性與等可能性例2解如圖所示，設(shè)相鄰兩班車的發(fā)車時刻為T1，T2，T1T215.設(shè)T0T23，TT010，記“乘客到站候車時間大于10分鐘”為事件A.則當乘客到站時刻t落到T1T上時，事件A發(fā)生因為T1T153102，T1T215，所以P(A).引申探究1解由原題解析圖可知，當t落在TT2上時，候車時間不超過10分鐘，故所求概率P.2解由原題解析圖可知，當t落在T0T2上時，乘客立即上車，故所求概率P.跟蹤訓練2解記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A，如圖，由圖可知：硬幣圓心在線段AB上的任意一點的出現(xiàn)是等可能的圓心在線段CD(不含點C、D)上出現(xiàn)時硬幣不與平行線相碰，所以P(A)

11、.例3解如圖，滿足|x|1，|y|1的點(x，y)組成一個邊長為2的正方形(ABCD)區(qū)域(含邊界)，S正方形ABCD4.(1)xy0的圖象是直線AC，滿足xy0的點在AC的右上方(含AC)，即在ACD內(nèi)(含邊界)，而SACDS正方形ABCD2，所以P(xy0).(2)設(shè)E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，則xy1的圖象是EF所在的直線，滿足xy1的點在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFES正方形ABCDSEDF4，所以P(xy1).(3)滿足x2y21的點是以原點為圓心的單位圓O，SO，所以P(x2y21).跟蹤訓練3解析S正方形1 cm2，S圓2(cm2)，P.例4解如圖，設(shè)三棱錐DABC的底面ABC的面積為S，高為h，則VDABCShV.設(shè)平面EFG是距底面ABC的距離為h的平面，則點P落在平面EFG與平面ABC之間時，可以保證三棱錐PABC的體積小于V.由于三棱錐DEFG的底面EFG的面積為S，高為h，因此VDEFGShV，因此所求概率P.跟蹤訓練4解析由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V11，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R，球的體積V23，則此點落在正方體內(nèi)部的概率P.當堂訓練1解析是，因為區(qū)間10，10和1，1內(nèi)都有無限多個數(shù)可取(無限性)，且在這兩個區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的可能性相同(等可能性)