1、21.2橢圓的幾何性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形知識點一橢圓的簡單幾何性質(zhì)已知兩橢圓C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程：C1：1，C2：1.思考1怎樣求C1、C2與兩坐標(biāo)軸的交點？交點坐標(biāo)是什么？思考2橢圓具有對稱性嗎？思考3橢圓方程中x，y的取值范圍分別是什么？梳理標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)焦點焦距|F1F2|2c(c)|F1F2|2c(c)范圍對稱性關(guān)于_對稱頂點軸長軸長_，短軸長_知識點二橢圓的離心率思考觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫？梳

2、理(1)定義：橢圓的焦距與長軸長的比e，叫做橢圓的_(2)性質(zhì)：離心率e的取值范圍是_，當(dāng)e越接近于1，橢圓越_，當(dāng)e越接近于_，橢圓就越接近于圓類型一橢圓的幾何性質(zhì)例1求橢圓9x216y2144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)引申探究已知橢圓方程為4x29y236，求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率反思與感悟解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量跟蹤訓(xùn)練1設(shè)橢圓方程mx24y24m(m0)的離心率為，試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)類型二求橢圓的離心率命題角

3、度1焦點三角形的性質(zhì)例2橢圓1(ab0)的兩焦點為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_反思與感悟涉及到焦點三角形注意利用橢圓的定義找到a與c的關(guān)系或利用e 求解跟蹤訓(xùn)練2已知F1，F(xiàn)2是橢圓1(ab0)的左、右焦點，過F1的直線與橢圓相交于A，B兩點，若BAF260，|AB|AF2|，則橢圓的離心率為_命題角度2利用a，c的齊次式，求橢圓的離心率(或其取值范圍)例3(1)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_(2)若橢圓1(ab

4、0)上存在一點M，使得F1MF290(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點)，則橢圓的離心率e的取值范圍是_反思與感悟若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1(ab0)的左頂點為A，左焦點為F，上頂點為B，且BAOBFO90(O為坐標(biāo)原點)，則橢圓的離心率e_.類型三利用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例4(1)橢圓過點(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)已知橢圓的中心在原點，它在x軸上的一個焦點F與短軸兩個端點B1，B2的

5、連線互相垂直，且這個焦點與較近的長軸的端點A的距離為，求這個橢圓的方程反思與感悟此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b.在求解時，需注意當(dāng)焦點所在位置不確定時，應(yīng)分類討論跟蹤訓(xùn)練4根據(jù)下列條件，求中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2，6)；(2)焦點在x軸上，一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直，且半焦距為6.1已知橢圓的方程為2x23y2m(m0)，則此橢圓的離心率為()A. B.C. D.2橢圓6x2y26的長軸端點坐標(biāo)為()A(1,0)，(1,0) B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0) D(0，)，(0

6、，)3設(shè)P(m，n)是橢圓1上任意一點，則m的取值范圍是_4若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，且長軸長為10，有一個焦點坐標(biāo)是(3,0)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_5. 已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(10,0)，則焦點坐標(biāo)為_1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式2根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點、頂點，而不能確定類型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距3求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1對于方程

7、C1：令x0，得y4，即橢圓與y軸的交點為(0,4)與(0，4)；令y0，得x5，即橢圓與x軸的交點為(5,0)與(5,0)同理得C2與y軸的交點為(0,5)與(0，5)，與x軸的交點為(4,0)與(4,0)思考2有問題中兩橢圓都是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，也是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形思考3C1：5x5，4y4；C2：4x4，5y5.梳理F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)|x|a，|y|b|x|b，|y|ax軸、y軸和原點(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)2a2b知識點二思考如圖所示，在RtBOF2中，cosBF2O，記e，則0e1，e越大，B

8、F2O越小，橢圓越扁；e越小，BF2O越大，橢圓越圓梳理(1)離心率(2)(0,1)扁0題型探究例1解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a4，b3，c，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a8和2b6，離心率e.又知焦點在x軸上，兩個焦點坐標(biāo)分別是F1(，0)和F2(，0)，四個頂點坐標(biāo)分別是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)和B2(0,3)引申探究解把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程1，可知此橢圓的焦點在x軸上，且長半軸長a3，短半軸長b2.又得半焦距c.所以橢圓的長軸長2a6，短軸長2b4；兩個焦點的坐標(biāo)分別是(，0)，(，0)四個頂點的坐標(biāo)分別是(3，0)，(3,0)，(0，2)，(0,2)離心率

9、e.跟蹤訓(xùn)練1解橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，且e.(1)當(dāng)0m4時，長軸長和短軸長分別為，4，焦點坐標(biāo)為F1(0，)，F(xiàn)2(0，)，頂點坐標(biāo)為A1(0，)，A2(0，)，B1(2,0)，B2(2,0)例21解析方法一如圖，DF1F2為正三角形，N為DF2的中點，F(xiàn)1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，則由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.方法二注意到焦點三角形NF1F2中 ，NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290，則由離心率的三角形式，可得e1.跟蹤訓(xùn)練2解析如圖所示，BAF260，|AB|AF2|，ABF2是等邊三角形，ABF2的周長3|AF2|4a，|AF2|，

10、|AF1|.在AF1F2中，由余弦定理得(2c)2()2()22cos 60，化為a23c2，解得e.例3(1)解析直線AB：xc，代入1，得y，A(c，)，B(c，)kBF1，直線BF1：y0(xc)，令x0，則y，D(0，)，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)，1)解析橢圓1(ab0)，byb.由題意知，以F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個公共點，則cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0eb0)，由橢圓的對稱性，知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2為等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc.|FA|，即ac，