1、3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的問題.知識點(diǎn)一雙曲線的定義思考如圖，若取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點(diǎn)M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點(diǎn)可畫出一條曲線，那么曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足怎樣的幾何條件？梳理(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的_等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線._叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的_.(2)關(guān)于“小于|F1F2|”：若將“小于|F1F2|”改為“等于

2、|F1F2|”，其余條件不變，則動點(diǎn)軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的_(包括端點(diǎn))；若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點(diǎn)軌跡不存在.(3)若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動點(diǎn)的軌跡只有雙曲線的_.(4)若常數(shù)為零，其余條件不變，則點(diǎn)的軌跡是_.知識點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程是什么？思考2雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？梳理(1)兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)a，b，c的關(guān)系式(2)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x

3、2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在_上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在_上.(3)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2By21(AB0).判斷：若2a2c|F1F2|，滿足定義，則動點(diǎn)M 的軌跡就是雙曲線，且2c|F1F2|，b2c2a2，進(jìn)而求出相應(yīng)a，b，c.根據(jù)F1，F(xiàn)2所在的坐標(biāo)軸寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.跟蹤訓(xùn)練2下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號都填上)已知定點(diǎn)F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|PF2|的點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；已知定點(diǎn)F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|PF2|4的點(diǎn)P的軌跡為兩條射線；到定點(diǎn)F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)距離之差的絕對

4、值等于7的點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離的差的絕對值等于點(diǎn)M(1,2)到點(diǎn)N(3，1)的距離，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.類型二待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線過點(diǎn)(3，4)和，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)的雙曲線方程.反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)定型：即確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸.(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21(AB0，b0)共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(b2k2c)

5、|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c,2ab0)1或1(a0，b0)圖形特征封閉的連續(xù)曲線分兩支，不封閉，不連續(xù)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，則a29，b24)以正負(fù)分a，b(如1中，40，9b0)具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，設(shè)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線C：1寫出具有類似特殊的性質(zhì)，并加以證明.1.若雙曲線E：1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.32.設(shè)F1，F(xiàn)

6、2分別是雙曲線x21的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A.4 B.8 C.24 D.483.已知圓C：x2y26x4y80，以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則所得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.4.已知雙曲線2x2y2k(k0)的焦距為6，則k的值為_.5.已知雙曲線1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是_.1.雙曲線定義的理解(1)定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支.設(shè)F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若|MF1|MF2|2a，則點(diǎn)M在右支上；若|MF2|MF1|2a，則點(diǎn)M在左支上.(2)雙曲線定義的雙向運(yùn)

7、用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，則動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線.若動點(diǎn)M在雙曲線上，則|MF1|MF2|2a.2.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式.(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解.特別提醒：若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2ny21的形式，為簡單起見，常標(biāo)明條件mn0，b0).(5)檢驗(yàn)：從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；以方程的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到雙曲線兩個焦點(diǎn)(c,0)，(c,0)的距離之差的絕對值為2a，即

8、以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上，這樣，就把方程叫作雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(此步驟可省略)思考2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c與b的大小關(guān)系不確定.梳理(1)1(a0，b0)1(a0，b0)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a2b2c2(2)x軸y軸(4)c2a2a2c2題型探究例1解由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|

9、PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究解由雙曲線方程知a3，b4，c5，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100，將代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.跟蹤訓(xùn)練1解在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos .|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|

10、2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化為4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，|MF1|MF2|，SMF1F2|MF1|MF2|sin .例2(1)A(2)x21(x1)跟蹤訓(xùn)練2例3解(1)設(shè)所求雙曲線方程為1(a0，b0)，則解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)方法一設(shè)所求雙曲線方程為1(a0，b0)，由題意易求得c2.又雙曲線過點(diǎn)(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求雙曲線方程為1.方法二設(shè)雙曲線方程為1(4k0，b0)，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21

11、.(2)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，則a2b220.又雙曲線過點(diǎn)(3，)，1.a2202，b22.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.例4證明如圖所示，設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，則在PF1F2中，對于雙曲線有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.sin .則在PF1F2中，對于橢圓有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos ，tan .跟蹤訓(xùn)練4(1)解橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.(2)解類似的性質(zhì)如下：若M，N為雙曲線1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)直