1、2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解橢圓的實際背景，并經(jīng)歷從具體情況中提取橢圓的過程，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和簡化。2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何圖形。知識點橢圓的定義看圖表，回答以下問題：如圖所示，將繩子的兩端拉開一段距離，將它們固定在畫板上的兩個點F1和F2上，放上一支鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖。畫的是什么痕跡？想想在圖2中，移動的筆尖總是符合什么幾何條件。在平面上，一個點與兩個固定點F1和F2之間的距離等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _知識點2的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程思考1。橢圓方程中A，B和參數(shù)C的幾何意義是什么，它們滿足什么關(guān)系？思考2:在橢圓的定義中，為什么要限制常數(shù)| mf1 | | mf2 |=2a | f1f2 |？梳理焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)+=1(ab0)數(shù)字焦點坐標(biāo)a、b、c之間的關(guān)系橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程命題角度1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1:找到適合以下條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以坐標(biāo)軸為對稱軸，通過兩點A(0，2)和B(，);(2)它穿過點(3)，并且具有橢圓=1的公共焦點。對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求法的思考和理解(1)定義方法，即根據(jù)橢圓的定義，判斷軌跡為橢圓，然后

3、寫出其方程。(2)待定系數(shù)法(1)首先確定焦點位置；(2)設(shè)置方程；尋找甲、乙、丙的對等關(guān)系；找出A和B的值，并將它們代入集合方程。特別提醒：如果橢圓的焦點位置不確定，需要分兩種情況進行討論：聚焦在X軸上和聚焦在Y軸上，或者橢圓方程可以設(shè)置為mx2 ny2=1 (m n，m0，n0)。跟蹤訓(xùn)練1找到適合以下條件的標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程：(1)兩個焦點的坐標(biāo)為(0，-2)，(0，2)，橢圓通過點(-，)；(2)焦點在Y軸上，并通過兩點(0，2)和(1，0)；(3)通過P (-2，1)，Q(，-2)。命題角度2。參數(shù)(或其值范圍)由標(biāo)準(zhǔn)方程計算例2如果方程-=1表示一個橢圓，其焦點在y軸上，那么實數(shù)m的取值

4、范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _。反射和感知(1)當(dāng)用橢圓方程解決問題時，通常需要先把它們變成標(biāo)準(zhǔn)形式。(2)=1表示橢圓，如果以X軸為焦點表示橢圓的條件是以Y軸為焦點表示橢圓的條件是跟蹤訓(xùn)練2 (1)如果已知的等式-=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)如果橢圓的焦距=1是2，那么m=_ _ _ _ _ _ _。2型橢圓定義的應(yīng)用命題角1橢圓圖中的焦點三角形問題例3如圖所示，點p是橢圓上的一個點=1，F(xiàn)1和F2是焦點，并且f1pf2=30，所以求F1PF2的面積。擴展查詢在示例3中，如果直線PF1和橢圓在另一個點B相交并連接BF2，

5、并且其他條件保持不變，則計算BPF2的周長。反思與理解(1)對于焦點三角形的面積，結(jié)合橢圓的定義，建立一個關(guān)于|PF1|(或|PF2|)的方程來求|PF1|(或| PF2 |)；有時，|PF1|PF2|被視為一個整體。利用公式| PF1 | 2 | PF2 | 2=(| pf1 | | pf2 |)2-2 | PF1 | | PF2 |和余弦定理，可以求解| PF1 | | PF2 |而不必單獨求解，這樣可以減少計算量。(2)聚焦三角形的周長等于2a2c。如果f1 pf2=，聚焦三角形的面積為b2tan。跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知橢圓的方程為=1。如果點P位于第二象限，并且pf1f2=120，則

6、計算PF1F2的面積。與橢圓相關(guān)的命題角度2軌跡問題例4如圖所示，p是圓b上的一個移動點：(x 2) 2 y2=36，點a的坐標(biāo)是(2，0)，線段AP的垂直平分線交點是點BP內(nèi)省和感知要通過定義求解橢圓方程，首先要用平面幾何知識將主題條件轉(zhuǎn)化為到兩個固定點的距離之和作為一個固定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點，對稱軸是否為坐標(biāo)軸，最后通過定義生成橢圓的基本量A、B、C。跟蹤訓(xùn)練4知道圓a: (x 3) 2 y2=100，圓a中有一個點b (3，0)，圓p通過b并與圓a內(nèi)接，得到中心p的軌跡方程。1.已知F1和F2是固定點，| f1f2 |=8，并且移動點m滿足| mf1 | | mf2 |=8

7、，則移動點m的軌跡是()A.橢圓b .直線C.圓d .線段2.橢圓4x2 9y2=1的焦點坐標(biāo)是()A.(，0) B.(0，)C.(，0)d .(0)3.假設(shè)(0)，方程=1是一個橢圓，表示焦點在Y軸上，那么的取值范圍是()A.(0， B .(，)C.(0)，D.，4.如果已知從橢圓上的點P=1到橢圓的一個焦點的距離是3，而從另一個焦點的距離是7，那么m=_ _ _ _ _ _ _。5.焦點在坐標(biāo)軸上，通過兩點A (-，2)和B(，1)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。1.平面上兩個固定點F1和F2的距離之和是常數(shù)，即| mf1 | | mf2 |=2a，當(dāng)2a|F1F2|，軌跡是橢圓的；當(dāng)2a=| f1

8、f2 |，軌跡是線段f1 F2；當(dāng)2a|F1F2|，軌跡不存在。2.求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：待定系數(shù)法或橢圓定義法。3.用待定系數(shù)法求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，如果焦點位置已知，可以直接設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)方程；如果焦點位置不確定，可以分兩種情況解決，也可以通過設(shè)置AX2 By2=1 (A0，B0，AB)來解決，避免了分類的討論，達(dá)到了簡化操作的目的。答案分析面向問題的學(xué)習(xí)知識點一思考1橢圓。思考2從筆尖(移動點)到兩個固定點(繩子末端的固定點)的距離總和總是等于繩子的長度。梳理兩個固定長度焦點之間的距離(大于|F1F2|)知識點2考慮到橢圓方程中的1，a代表橢圓上m點和兩個焦點之間距離的一半，這可以借

9、助圖形記憶。a、b和c(都是正數(shù))正好形成直角三角形的三條邊，a是斜邊，c是焦距的一半。a、b和c總是滿足關(guān)系a2=B2C2。僅當(dāng)2a|F1F2|，移動點m的軌跡為橢圓時才考慮2；當(dāng)2a=| f1f2 |，該點的軌跡是線段f1 F2；當(dāng)2a|F1F2|，滿足條件的點不存在。梳f1 (-c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c) C2=a2-B2問題類型查詢示例1解決方案(1)方法1:當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)置為=1 (ab0)。A(0，2)，B(，)在橢圓上，解決它這與ab相矛盾，所以應(yīng)該放棄它。當(dāng)焦點在Y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)置如下+=1(ab0)，A(0

10、，2)，B(，)在橢圓上，解決它橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=1，總而言之，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=1。在第二種方法中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是mx2 ny2=1 (m0，n0，m n)。A(0，2)，B(，)在橢圓上，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=1。(2)方法一中橢圓=1的焦點是(-4，0)和(4，0)，從橢圓的定義出發(fā)2a=+, 2a=12，即a=6。c=4,b2=a2-c2=62-42=20，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1。方法2:根據(jù)問題的含義可以設(shè)置橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1，將x=3和y=代入上面的橢圓方程，得到+=1，解是=11或=-21(省略)。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1。跟蹤訓(xùn)練1解(1)*橢圓的焦點在y軸上，讓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 (Ab0)。根據(jù)橢圓的定義，2a=+=2，也就是說，a=。c=2，b2=a2-c2=6.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1。(2)橢圓的焦點在Y軸上，讓它的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 (Ab0)