1、第二篇 非參數(shù)統(tǒng)計,參考書 非參數(shù)統(tǒng)計 中國統(tǒng)計出版社 吳喜之 非參數(shù)統(tǒng)計 人民大學(xué)出版社 王 星 非參數(shù)統(tǒng)計講義 北京大學(xué)出版社 孫山澤,非參數(shù)統(tǒng)計,狹義非參數(shù)統(tǒng)計,非參數(shù)計量經(jīng)濟學(xué),非參數(shù)模型,半?yún)?shù)模型,估計總體的分布函數(shù) 是否等于已知的分布,檢驗兩或以上個總體的分 布是否相同，通常是檢驗其 中位數(shù)是否相等,估計總體的密度函數(shù)的 曲線，但是不能寫出解釋式,第一章 非參數(shù)統(tǒng)計及一些概念,教學(xué)中使用的軟件SPSS和R。 SPSS的非參數(shù)統(tǒng)計菜單已經(jīng)比較全面了。,SPSS非參數(shù)檢驗的過程,Chi-Square test 卡方檢驗（檢驗總體是否服從某個給定的離散分布） 2. Binomial t

2、est 二項分布檢驗（檢驗總體是否服從二項分布） 3. Runs test 游程檢驗（檢驗樣本序列是否隨機） 4. 1-Sample Kolmogorov-Smirnov test 一個樣本柯爾莫哥洛夫-斯米諾夫檢驗（檢驗總體是否服從某個連續(xù)分布）,5. 2 independent Samples Test 兩個獨立樣本檢驗（檢驗兩個獨立總體差異性） 6. K independent Samples Test K個獨立樣本檢驗（檢驗k個獨立總體的差異性） 7. 2 related Samples Test 兩個相關(guān)樣本檢驗（檢驗兩個相關(guān)總體差異性） 8 . K related Samples

3、Test K個相關(guān)樣本檢驗（檢驗k個相關(guān)總體差異性）,思考的要點 什么是計數(shù)統(tǒng)計量； 什么是秩統(tǒng)計量，為什么要討論秩； 為什么要討論秩的分布、秩的期望和方差； 什么是符號秩和線性符號秩； 線性符號秩的期望和方差。,第一節(jié) 關(guān)于非參數(shù)統(tǒng)計,在參數(shù)統(tǒng)計學(xué)中，最基本的概念是總體、樣本、隨機變量、概率分布、估計和假設(shè)檢驗等。其很大一部分內(nèi)容是建立在正態(tài)分布相關(guān)的理論基礎(chǔ)之上的?？傮w的分布形式或分布族往往是給定的或者是假定了的，所不知道的僅僅是一些參數(shù)的值。于是，人們的任務(wù)就是對一些參數(shù)，比如均值和方差(或標準差)，進行點估計或區(qū)間估計，或者是對某些參數(shù)值進行各種檢驗，比如檢驗正態(tài)分布的均值是否相等或等

4、于零等等最常見的檢驗為對正態(tài)總體的t檢驗、F檢驗和最大似然比檢驗等。又比如，線性回歸分析中，需要估計回歸系數(shù)j， j稱為參數(shù)，所以線性回歸分析應(yīng)該屬于參數(shù)統(tǒng)計的范疇。,然而，在實際生活中，那種對總體分布的假定并不是能隨便做出的。有時，數(shù)據(jù)并不是來自所假定分布的總體。或者數(shù)據(jù)根本不是來自一個總體，數(shù)據(jù)因為種種原因被嚴重污染。這樣，在假定總體分布的情況下進行推斷的做法就可能產(chǎn)生錯誤的結(jié)論。于是，人們希望在不假定總體分布的情況下，盡量從數(shù)據(jù)本身來獲得所需要的信息。這就是非參數(shù)統(tǒng)計的宗旨。因為非參數(shù)統(tǒng)計方法不利用關(guān)于總體分布的相關(guān)信息，所以，就是在對于總體分布的任何信息都沒有的情況下，它也能很容易而又

5、較為可靠地獲得結(jié)論。這時非參數(shù)方法往往優(yōu)于參數(shù)方法。在臺灣這種方法稱為“無母數(shù)統(tǒng)計”，即不知到總體信息的統(tǒng)計方法。,在不知總體分布的情況下如何利用數(shù)據(jù)所包含的信息呢?一組數(shù)據(jù)最基本的信息就是次序。如果可以把數(shù)據(jù)按大小次序排隊，每一個具體數(shù)目都有它在整個數(shù)據(jù)中(從最小的數(shù)起)的位置或次序，稱為該數(shù)據(jù)的秩(rank)。數(shù)據(jù)有多少個觀察值，就有多少個秩。在一定的假定下，這些秩和秩的統(tǒng)計量的分布是求得出來的，而且和原來的總體分布無關(guān)。這樣就可以進行所需要的統(tǒng)計推斷。注意：非參數(shù)統(tǒng)計的名字中的“非參數(shù)(nonparametric)”意味著其方法不涉及描述總體分布的有關(guān)數(shù)值參數(shù)（均值和方差等）；它被稱為和

6、分布無關(guān)(distributionfree)，是因為其推斷方法和總體分布無關(guān)；不應(yīng)理解為與所有分布(例如有關(guān)秩的分布)無關(guān)。,【例1】在我國的工業(yè)和商業(yè)企業(yè)中隨機抽取22家企業(yè)進行資產(chǎn)負債率行業(yè)差異分析，其某年底的資產(chǎn)負債率（）如下：,兩個行業(yè)的負債水平是否有顯著性差異a=0.05。這樣的數(shù)據(jù)中有兩個問題： 其一是樣本容量不大； 其二是總體服從何種分布未知。下面我們來構(gòu)造一種檢驗的方法，看他們的資產(chǎn)負債有無顯著性差異。,將兩類企業(yè)的資產(chǎn)負債混合排序，并給出其序次，這在統(tǒng)計中稱為“秩”。在這張表中我們有兩個可用的信息。,如果我們將12家工業(yè)企業(yè)的秩相加是94，其平均秩是7.88，將10家商業(yè)企業(yè)

7、的秩相加得159，其平均秩為15.9，這就給我們一個可以考慮的信息，兩種企業(yè)的資產(chǎn)負債是有差異的。他們的平均秩不同。 另一個想法是好像工業(yè)排的順序相對靠前，有11111，2，1111，222，111，222222共有6段（相同特點的個案的一段稱為游程）。如果原假設(shè)成立，則兩個行業(yè)的負債水平的分布使相同的，將其混合后，應(yīng)能較為充分、均勻地混合，游程數(shù)R應(yīng)該比較大，反之當游程數(shù)R較小，則說明兩個總體的分布可能不同。那么6這個游程數(shù)是大還是小呢？,【例2】模擬一個污染的正態(tài)分布，計算其樣本均值，但是樣本均值非正態(tài)分布了。這個分布是以0.8的概率是標準正態(tài)分布，0.2的概率混進方差為9的正態(tài)分布。 w

8、orkfile a u 1 1000 series junzhi for !i=1 to 1000 smpl 1 20 series y1=rnd series y2=nrnd series a smpl if y1=0.8 a=9*y2 smpl 1 20 scalar mean=mean(a) junzhi(!i)=mean next smpl 1 1000 junzhi.hist,此數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗是非正態(tài)。,非參數(shù)統(tǒng)計歸納起來有如下的三點優(yōu)點： 1. 對總體的假定少； 2. 可以處理許多有問題數(shù)據(jù)，比如污染的正態(tài)分布，有奇異值的情形； 3. 容易計算，當然如果不去證明統(tǒng)計量漸近分布。,

9、第二節(jié) 計數(shù)統(tǒng)計量,設(shè)是一個隨機變量，對于一個給定的常數(shù)0，定義隨機變量,稱隨機變量為X按0分段的計數(shù)統(tǒng)計量。即滿足 括號里的條件得1，否則得0。,一、計數(shù)統(tǒng)計量,最常用的計數(shù)統(tǒng)計量為,符號檢驗。設(shè)隨機變量X1，Xn是從某個總體X中抽出的簡單隨機樣本。且分布函數(shù)F(X)在X=0是連續(xù)的。假設(shè)檢驗問題，即檢驗0是其中位數(shù)。,檢驗的統(tǒng)計量可以取,二、計數(shù)統(tǒng)計量的應(yīng)用,在原假設(shè)為真的條件下，有服從參數(shù)為n和的二項分布b(n,0.5)。由于原假設(shè)為時，B應(yīng)該不太大，也不太小，如果B太大或太小，應(yīng)該拒絕原假設(shè)。,例 生產(chǎn)過程是否需要調(diào)整。 某企業(yè)生產(chǎn)一種鋼管，規(guī)定長度的中位數(shù)是l0米。現(xiàn)隨機地：從正在生

10、產(chǎn)的生產(chǎn)線上選取10根進行測量，結(jié)果： 9.8,10.1, 9.7,9.9,9.8,10.0, 9.7,10.0,9.9,9.8 分析：中位數(shù)是這個問題中所關(guān)心的一個位置參數(shù)。若產(chǎn)品長度真正的中位數(shù)大于或小于10米，則生產(chǎn)過程需要調(diào)整。這是一個雙側(cè)檢驗，應(yīng)建立假設(shè) 為了對假設(shè)作出判定，先要得到檢驗統(tǒng)計量 或 。將調(diào)查得到數(shù)據(jù)分別與10比較，算出各個符號的數(shù)目： =1， =7，n=8。 P值= 0.0214小于顯著性水平0.05。表明調(diào)查數(shù)據(jù)支持備擇假設(shè)。即生產(chǎn)過程需要調(diào)整。,有人說我國國有經(jīng)濟單位15個行業(yè)的1996年職工平均工資的中位 數(shù)為7000元?，F(xiàn)從15個行業(yè)中抽出樣本，如下表所示。,

11、在顯著性水平a=0.05下，我國國有經(jīng)濟單位15個行業(yè)的1996年職 工平均工資的中位數(shù)為7000元嗎？,因為 ， ，故接受原假設(shè)。,某自選商場的失竊金額在12個月的逐月記錄（單位：萬元）。經(jīng)理向董事會說月中位數(shù)為10萬元以上。在顯著性水平0.05下，檢驗是否失竊值在10 萬元以下。,接受原假設(shè)，即平均為10萬元以上.,第二節(jié) 秩統(tǒng)計量,設(shè) 來自總體X的樣本，記 為樣本點 的秩，即,Ri為大于等于 的 的個數(shù)。,一、秩統(tǒng)計量,二、秩統(tǒng)計量的分布和數(shù)字特征,的聯(lián)合分布為:,的概率分布為,Ri的數(shù)學(xué)期望：,Ri的方差：,Ri和Rj的協(xié)方差,由于,所以,一、絕對秩和符號秩,設(shè)隨機變量X1，X2，Xn

12、 相互獨立同分布，分布函數(shù) F(x)連續(xù)，關(guān)于y軸為對稱。隨機變量|X1|，|X2|，|Xn|對應(yīng)的秩向量記為,稱為Xi的絕對秩,稱為Xi的符號絕對秩,第四節(jié) 線性符號秩統(tǒng)計量,若X是連續(xù)的隨機變量，分布關(guān)于Y軸為對稱，則隨機變量|X|與計數(shù)統(tǒng)計量(x)相互獨立。,事實上，對于t0，i=1或i=0，顯然有,對于t0，有,因為，x關(guān)于0為對稱，則,根據(jù)隨機變量獨立的充分必要條件，可知二者是獨立的，同理可證,在結(jié)論下，我們有如下結(jié)論。,設(shè)隨機變量X1，X2，Xn 相互獨立同分布，分布函數(shù) F(x)連續(xù)，關(guān)于y軸為對稱。其絕對秩向量,計數(shù)統(tǒng)計量,二者相互獨立。,二、符號秩統(tǒng)計量擴展,若隨機變量X1,

13、X2,Xn相互獨立且同連續(xù)的分布，分布關(guān)于軸為對稱。其對應(yīng)的符號秩,Wilcoxon符號秩統(tǒng)計量,三、線性秩統(tǒng)計量,（一） 線性秩序統(tǒng)計量的定義,設(shè)X1，X2，XN為N個隨機變量，其對應(yīng)的秩向量記為：,又設(shè)(1),(2), (N)和c(1),c(2),c(N)是兩組數(shù)，組內(nèi)的N個數(shù)不全相等。定義統(tǒng)計量為,S稱為線性秩統(tǒng)計量，(1), (2), (N)被稱為分值，c(1),c(2),c(N)被稱為回歸常數(shù)。,例 二樣本問題。隨機變量X1，X2，Xm相互獨立同分布，分布函數(shù)為F(x)；隨機變量y1，y2，yn相互獨立同分布，分布函數(shù)為G(y)?；旌蠘颖綳1，X2，Xm和y1，y2，yn對應(yīng)的秩向量，記為,取兩組常數(shù),若取兩組數(shù)為：,則,S為Y總體樣本中，觀測值大于混合中位數(shù)me的個數(shù)。,設(shè) a(1), a(2), a(N) 是一組，若秩向量,在集合上均勻分布,（二） 線性秩統(tǒng)計量的數(shù)字特征,有,定理1（線性秩統(tǒng)計量的數(shù)字特征）,設(shè) a(1), a(2), a(N) 是一組，若秩向量,在集合上均勻分布，則線性秩統(tǒng)計量,有數(shù)學(xué)期望,定理2（線性秩統(tǒng)計量的數(shù)字特征）,有方差,其中,證明：,例 設(shè)X1，X2，X3，,Xm，Y1 , Yn為樣本，對秩和統(tǒng)計量,如 ， 等于0或1，視 或否,有,（三）線性秩統(tǒng)計量的應(yīng)用,