1、第五章矩陣的特征值與特征向量,設(shè)A是n階方陣，如果存在一個(gè)數(shù) 及非零向量,則稱 為A的一個(gè)特征值,為A的對(duì)應(yīng)于（或?qū)儆冢?使得,特征值 的特征向量。,第一節(jié)特征值與特征向量,比如，給定,定義1,如何求方陣A的特征值 與特征向量 ?,分析:若 是A的特征值， 是A的屬于特征值 的 特征向量，,A=,即 (E-A)=0 (0),可見:是齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解.,由于 是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性 方程組，故有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 |E-A|為零，即 |E-A|=0. (稱此方程為A的特征方程).,(E-A)X=0 .,由此可知: 是特征方程 的根。,|E-A|=0,則

2、由定義有,求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：,(2) 將每個(gè)特征值= 代入齊次線性方程組,得 ( E-A)X=0，,特征向量.,解方程組，求出基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的線性組合,(1)求出A的特征方程|E-A|=0的全部根，即得矩陣A的全部特征值 .,求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：,（零向量除外）就是A的對(duì)應(yīng)于特征值 的全部,例1求矩陣A=,解A的特征方程為,故得A的特征值為1=-1,2=3=2.,的特征值與特征向量.,|E-A|=0,即,當(dāng)1=-1時(shí)，解線性方程組(-E-A)X=0,得基礎(chǔ)解系1=(1,0,1)T，于是對(duì)應(yīng)于1=-1的全體特 征向量為 k11 ,

3、 k1為任意非零常數(shù). 當(dāng)2=3=2時(shí)，解線性方程組(2E-A)X=0,即,得基礎(chǔ)解系2=(1,0,4)T, =(1,4,0)T, 于是對(duì)應(yīng)于2=3=2的全部特征向量為 k22+k33 (k2,k3是不同時(shí)為零的任意常數(shù)).,即,例2求矩陣A=,解A的特征方程為,故得A的特征值為1=2,2=3=1.,的特征值與特征向量.,|E-A|=,得基礎(chǔ)解系1=(0,0,1)T.于是對(duì)應(yīng)于特征值1=2的 全部特征向量為k11 (k1為任意非零常數(shù)).,當(dāng)2=3=1時(shí)，解齊次線性方程組(E-A)X=0，即,得基礎(chǔ)解系2=(1,2,-1)T.于是對(duì)應(yīng)于特征值2=1的 全部特征向量為k22 (k2為任意非零常數(shù)

4、).,當(dāng)1=2時(shí)，解齊次線性方程組(2E-A)X=0，即,注意: 例1中對(duì)于二重特征值,對(duì)角化問(wèn)題的討論具有重要意義.,線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)只有一個(gè),這對(duì)后面方陣,對(duì)應(yīng)于二重特征值 的,存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;,而例2中,例3設(shè)是方陣A的特征值，證明 (1) 2是A2的特征值； (2) 當(dāng)A可逆時(shí)，,證明設(shè)0是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則 A =, 于是,(1),(2) 當(dāng)A可逆時(shí)，由A=有=A-1.因0，,即 是A-1 的特征值.,知0，故A =,2,2,故 是A 的特征值.,-1,(1 ) (A)= 有特征值.,有特征值.,(A)= .,() =,注進(jìn)一步容易證明：若A有特征值 ，則,

5、()=,(2) 當(dāng)A可逆時(shí),二、特征值與特征向量的性質(zhì),設(shè)A是n階矩陣，則 A 與有相同的特征值.,性質(zhì)1,A,證明因?yàn)閨E- A |=|(E-A ) |=|E-A|, 所以A 與A有相同的特征多項(xiàng)式， 故它們的特征值相同.,T,T,T,T,設(shè)A=(aij)是n階方陣，則,n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|.,|E-A|,由n次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系有性質(zhì):,性質(zhì)2設(shè)n階方陣A=( )的n個(gè)特征值為 則 (1),由此定理很容易有推論:,稱為矩陣A的跡，記作trA.,其中A的全體特征值之和,=|A|.,(2),推論,n階方陣可逆的充分必要條件是它的全部特征,值都不為零.,例

6、4設(shè)三階矩陣A的特征值為-1,1,2，求|A*+3A-2E|. 解依題設(shè)，A沒(méi)有零特征值，所以A可逆， 故A*=|A|A-1.又|A|=123=-2,故(A)的特征值為 (-1)=-3,(1）=-1,(2)=3,于是,|A*+3A-2E|=(-3)(-1)3=9.,將上式右端記作(A),有,所以,A*+3A-2 E=-2A +3A-2E.,-1,()=-,+3-2,16,29. 設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣. 已知,求,的值.,回顧 第二章習(xí)題,解,性質(zhì)3設(shè)A為n階方陣， 是A的m個(gè) 不同的特征值， 分別是A的對(duì)應(yīng)于 的特征向量，則 線性無(wú)關(guān). 即 屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).,性

7、質(zhì)4設(shè)n階方陣A的相異特征值為1,2,m，,(i=1,2,m),則向量組11,12,21,22,m1,m2,線性無(wú)關(guān).,對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量為,例5設(shè) 和 是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值， 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 和 ，證明 不是A的特征向量.,依題設(shè)有A = ,A = ,A( )= ( ),證明用反證法. 假設(shè) 是A的對(duì)應(yīng)于某特,征值 的特征向量，,則,19,第二節(jié)相似矩陣與矩陣的對(duì)角化,設(shè)A,B為n階方陣，若有可逆矩陣P,使,定義2,則稱B是A的相似矩陣，或稱矩陣 A與B相似，,AB.,記作,簡(jiǎn)單地講，若 ，則稱A與B相似.,一、相似矩陣及其性質(zhì),例如，給定矩陣A=,P=,以及 Q=,使

8、得 P-1AP=,Q-1AQ=,. 由此可知，與A相似的矩陣并不唯一,存在矩陣,也不一定是對(duì)角矩陣.,相似是矩陣間的一種特殊的等價(jià)關(guān)系，即兩個(gè)相 似矩陣是等價(jià)矩陣；即若 ，則,(1) 反身性AA;,(2) 對(duì)稱性若AB,則BA;,(3) 傳遞性若AB,BC,則AC.,相似的兩個(gè)矩陣之間，還存在著許多共同的性質(zhì).,AB.,反之不然，但相似關(guān)系仍具有以下性質(zhì),.,性質(zhì)1,因此，A與B有相同的特征值.,證明只需證明A與B具有相同的特征多項(xiàng)式.,實(shí)際上，由AB，必有可逆矩陣P,使 .,若AB,則A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值,于是,性質(zhì)2,若AB，則 ，其中m為正整數(shù),證明由AB,必有可逆矩陣P,使

9、 .,于是,所以,(1) 若AB,則|A|=|B|;,(2) 若AB,則trA=trB;,(3) 若AB，則R(A)=R(B);,(5) 若AB,則A與B有相同的可逆性，,且當(dāng)A與B都可逆時(shí)， .,兩個(gè)矩陣的相似關(guān)系還具有下述性質(zhì),(4) 若AB,則 ;,二、矩陣可對(duì)角化的條件,我們將討論矩陣可對(duì)角化的充分必要條件.,如果n階方陣A可以相似于一個(gè)n階對(duì)角矩陣,則稱A可對(duì)角化，稱為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形.,由性質(zhì)1可知，若 則的對(duì)角線元素就是A的 n個(gè)特征值.,然而，并非所有的n階矩陣可對(duì)角化. 下面，,證明必要性 設(shè)A,其中=diag(1,2,n), 則存在可逆矩陣P,使 P-1AP= 或 AP=P.

10、（*） 將矩陣P按列分塊，記P=(1,2,n),.,A( )=( ),定理1n階方陣A相似于n階對(duì)角矩陣的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,其中 是矩陣P的第i列(i=1,2,n),則(*)可寫成,因P可逆，所以 0(i=1,2,n),充分性 設(shè) 是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征 向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值依次為,是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,是A的對(duì)應(yīng),線性無(wú)關(guān).,由此可得 A = (i=1,2,n).,于特征值 的特征向量，,記矩陣P=( )，則P可逆，且,且,因此,且,即,AP=A(1,2,n)=(A1, A2, An) =(1,22,nn),. 注(1) 定理的證明過(guò)程實(shí)際上已給出了把

11、方陣 對(duì)角化的方法；,=( ),=P,于是有 P AP =,即 A,P中列向量的次序與矩陣對(duì)角線上的特征值 的次序相對(duì)應(yīng).,推論若A的特征方程的根都是單根，則A與對(duì) 角矩陣相似.,-1,.,注意 當(dāng)A的特征方程有重根時(shí)，就不一定有,n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化.,例如，在上節(jié)例1中A有二重特征值 = =2，,但因能找到三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此A可,對(duì)角化；,而在例2中A也有二重特征值 = =1，,但卻只能找到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此A不,能對(duì)角化.,例1已知A=,與B=,(1) 求x和y; (2) 求一個(gè)可逆矩陣P,使P-1AP=B. 解(1) 方法一由于AB,故|E-A

12、|=|E-B|,即,=, 從而(-2)(2-x-1)=(-2)(-y)(+1),將 =-1代入得 x=0. 于是有 2-1=(-y)(+1). 因此，y=1.,相似.,可分別求得A的對(duì)應(yīng)于特征值2,1,-1的特征向量, 2=, 3=,. 于是，可逆矩陣 P=(1,2,3)=,可使P-1AP=B.,方法二由于AB, 故|A|=|B|,trA=trB，即有 -2=-2y, 2+x=1+y, 解得 x=0,y=1.,=,(2) 由于AB,故A與B有相同的特征值2,1,-1. 解齊次線性方程組(E-A)X=0,例2已知A=,解A的特征多項(xiàng)式,=,=,=(-1)(+1)2,可對(duì)角化，求k.,|E-A|=

13、,-E-A=,故k=0時(shí)，A可對(duì)角化.,A的特征值為 =1, = =-1.由定理1可知，,數(shù)矩陣的秩R( E-A)=1,而,關(guān)的特征向量，故線性方程組( E-A)X=0的系,對(duì)應(yīng)二重特征值 = =-1,A應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú),2. 已知=,是A=,的逆矩陣A-1的特征向量，,求 .,解 設(shè) 是 的屬于特征值 的特征向量，則,即,解此方程組得,或,3. 設(shè)A是n階方陣，證明：若 ，則A的特征值 只能是-1或1.,證 設(shè) 是A的特征值 是A的屬于特征值,的特征向量，則,即,故,即,或,因?yàn)?4. 已知三階矩陣A的特征值為1，2，3，試求,A*+3E的特征值.,B=,解,的特征值為,.,故,6. 設(shè)A與B

14、都是n階方陣，且|A|0，,證,證明：AB與BA相似.,8. 設(shè)三階方陣A的特征值為1，0，-1，對(duì)應(yīng)的特征向量,求,依次為,解 因?yàn)?依題設(shè)有,9. 設(shè)矩陣A=,特征向量，求x和y應(yīng)滿足的條件.,有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的,，得,（二重），,可見方程,的基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量，,又,從而,解 由,第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,一、向量的內(nèi)積(數(shù)量積）,在空間解析幾何中，兩個(gè)向量,的內(nèi)積定義為,而向量的長(zhǎng)度（模）定義為,并且,的夾角滿足,我們可以把三維向量的內(nèi)積推廣到n維向量，定 義n維向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度和夾角.,定義4,設(shè),為Rn中的兩個(gè)向量，稱,為向量與的內(nèi)積，記作,（或 ），,或,即,注意: 若

15、,則,容易證明內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：,定義5,向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：,設(shè),為向量的長(zhǎng)度（也稱范數(shù)），記作,即,這一過(guò)程叫做向量的單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.,(1) 非負(fù)性0;,(2) 齊次性k=|k|;,(3) 三角不等式+.,當(dāng)=1時(shí)，稱為單位向量或標(biāo)準(zhǔn)向量.,任一非零向量除以它的長(zhǎng)度后就成了單位向量.,設(shè),為Rn中的兩個(gè)非零向量,則稱,為向量與的夾角.,定義6,定義7,設(shè),為Rn中的向量，若,=0，則稱向,與正交（或垂直），記作.,顯然，零向量與任何向量都正交.,若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量,定義8,都不是零向量）中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量,組為正交向量組。,則稱此向量組為單位正交向

16、量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，,因此 是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組.,定理3正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的向量組.,證明設(shè)n維向量 是正交向量組，,則有, =0 (ij).(*),設(shè),=0,以 與上式兩端同時(shí)做內(nèi)積運(yùn)算，并利用(*)式可得, =0.,由 0知， 0,于是必有,=0(i=1,2,r),例1已知向量1=, 2=,解設(shè)3=,則1,3=0,求一個(gè)非零向量 ,使 為正交向量組.,正交，,， = 0,即,由,得,從而有基礎(chǔ)解系=,.,取 =,即可使 為正交向量組.,注: 1. 我們常常采用正交向量組作為向量空間的基，,稱此基為向量空間的正交基.,2.基向量都是單位向

17、量的正交基又稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.,如 是 的正交基，,只是 的基，而不是正交基.,如 是 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.,3 . 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基也不是唯一的.,如,取 1=1;,2=2-,1;,r=r-,1-,2-,-,r-1.,構(gòu)造方法如下：,構(gòu)造出一組與之等價(jià)的向量組,給定n維向量空間 中的一組線性無(wú)關(guān)的向量，,(Schmidt)正交化方法. 它是用線性無(wú)關(guān)向量組,個(gè)正交向量組，這個(gè)變換的方法稱為施密特,我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q方法由它們構(gòu)造出一,如果對(duì)彼此正交的向量組 再分別單位化，,即,1=,2=,r=,顯然 為單位正交向量組.,當(dāng)r=n時(shí)， 即為向量,標(biāo)準(zhǔn)正交基.,可以驗(yàn)證 兩兩正交，,且 與 等價(jià).,

18、空間 的一組,例2設(shè)1=, 2=, 3=,試用施密特正交化方法將這組向量化為R3的一組 標(biāo)準(zhǔn)正交基.,解先將 正交化，取,1=1=,2=2-,1=,-,=,3=3-,1-,2,-,+,=2,.,=,再將它們單位化，取,2=, 3=,即為所求.,=,對(duì)例2給出的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,3,可以驗(yàn)證它滿足,=,以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣,Q,Q Q=E.,T,定義9若n階方陣Q滿足Q Q=E，則稱Q為正交矩陣.,(3) 兩個(gè)正交矩陣的乘積仍為正交矩陣.,(2) |Q|=-1或1;,(1) Q =Q ，且Q（或 Q )也是正交矩陣；,由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質(zhì):,T,-1,T,-1,T,定理4Q為正交矩陣

19、的充分必要條件是Q的列（行） 向量組是單位正交向量組.,證明將Q按列分塊成,則,定理得證.,由于Q Q=E與QQ =E等價(jià)，故上述結(jié)論對(duì)Q的行向 量組的情形也成立.,注由此可知，只要我們求出了 的一組標(biāo)準(zhǔn) 正交基 ,則以這n個(gè)向量為列（或行） 構(gòu)造出的n階矩陣Q就是一個(gè)n階正交矩陣.反之亦然.,T,T,二、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì),實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).,實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量,若是實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征方程的r重根，則,性質(zhì)1,性質(zhì)2,相互正交.,性質(zhì)3,對(duì)應(yīng)于 的特征方程也有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。,r,由此可見，實(shí)對(duì)稱矩陣一定能夠?qū)腔?定理5,其中是以A 的

20、n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.,證明設(shè)A的互不相同的特征值為 ,按列排列構(gòu)成正交矩陣Q，有,正交化并單位化，即得 個(gè)兩兩正交的單位特征向量， 從而A有n個(gè)兩兩正交的單位特征向量. 把它們依次,恰有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，把它們進(jìn)行施密特,根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)3知，對(duì)應(yīng)特征值 (i=1,2,s),它們的重?cái)?shù)分別為,設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣Q,使,三、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化,恰是A的n個(gè)特征值,其中對(duì)角矩陣的對(duì)角元素含,=diag( )=,例3 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=,求一個(gè)正交矩陣Q，,使 為對(duì)角矩陣.,解A的特征方程為,|E-A|=,=(-1)2(+2)=0,解得,當(dāng) 時(shí)，解方程組(-2E-A