1、8-3 靜電場中的高斯定理,8.3.1、電場線（E線、電力線）,1、電場的分布,（1）點電荷；,（2）電偶極子；,（3）無限大帶電平面,2、電場線：為了形象地描述電場的分布而引入的一系列曲線，曲線上各點的切線方向與該點的場強方向相同。,（1）點電荷電場中的電場線,（2）電偶極子電場中的電場線,（3）無限大帶電平面電場中的電場線,（1）曲線上每一點的切線方向與該點的場強方向相一致；,3、電場線（E）線的特點:,（2）電場線起始于正電荷，終止于負電荷，不形成閉合曲線；,（3）任何兩條電場線不會相交。,按照電場線的規(guī)定所作出的電場線只能定性描述電場的分布，而無法反映場強的大小。,4、電場線數(shù)密度：垂

2、直穿過單位面積的電場線數(shù),均勻電場：,電場線數(shù)密度,非均勻電場：,電場線數(shù)密度,規(guī)定：,電場線數(shù)密度等于場強大小,即,均勻電場：,非均勻電場：,為了反映場強大小分布，可利用電場線的疏密程度來反映 。密、強；疏、弱。,因為通過面積S和通過面積S的電場線數(shù)相等,所以通過面積S電場強度通量為,8.3.2 電場強度通量（電通量）：,電場中，通過某面積的電場線數(shù)稱為通過該面積的電場強度通量，用 表示。,1、均勻電場中，通過面積S的電場強度通量,（1）面積S與場強E垂直,因為電場均勻，,（2）面積S與場強E不垂直，成 角,或者說，通過s的電場強度通量等于場強在s法線方向上的分量與s的乘積。,說明: 通過s

3、的電場強度通量等于s在垂直于場強方向上的投影面s與場強的乘積。,2、在非均勻電場中，通過任意曲面S的電場強度通量。,(1) 取面元ds，通過ds的電場強度通量為,(2) 通過任意曲面S的電場強度通量為,若曲面S為閉合曲面,則,法線方向的規(guī)定：閉合曲面上各點的法線方向垂直向外為正方向。,分析：,A點處，場線穿進，,B點處，場線穿出，,C點處，場線與表面向切，,、電場強度通量的常用表示,引入面元矢量,大?。篸s,方向：,為面元法線方向,則,8.3.3 真空中的高斯定理,、求幾種情況下的電場強度通量,（）包圍點電荷球面的電場強度通量,方向：沿半徑向外。,球面上：,球面上取面元,通過球面的電場強度通量

4、,S,通過球面的電場強度通量,即,靜電場是有源場,結果表明：,若q0,，電場線穿出。,若q0,，電場線穿進。,表明靜電場線起始于正電荷，終止于負電荷。不形成閉合曲線。表明靜電場是有源場。,（）包圍點電荷，任意閉合曲面的電場強度通量,S1,S2,在S內(nèi)、外取球面S1、S2,說明：與S的形狀無關。,（3）不包圍電荷，任意閉合曲面的電場強度通量,說明：閉合曲面外的電荷對通過閉合曲面的無貢獻。,、真空中的高斯定理,設點電荷系有個點電荷所組成。,在點電荷系的電場中，取閉合曲面（高斯面）。,其中有個點電荷在內(nèi)，有（）個點電荷在外。,取面元,結論：真空中穿過任意閉合曲面的電場強度通量等于該閉合曲面內(nèi)電荷代數(shù)

5、和的1/0倍。,即,真空中高斯定理的數(shù)學表達式,若電荷連續(xù)分布，,則,注意：,（1）式中,，是所有電荷所產(chǎn)生。S內(nèi)、S外。,（2）式中電荷求和（積分），只對s內(nèi)的電荷求和（積分）。,（3）高斯定理是電磁場的基本定理之一。說明靜電場是有源場，發(fā)散場。,8.3.4 高斯定理的應用（求場強）,分析：,1、巧取高斯面（充分利用對稱性）。,2、能方便的求出s內(nèi)的電荷。,記,(S所圍的帶電體),例8-5 求：均勻帶電球面的電場。,當0 r R時，q=0,解：, 電場分布具有球?qū)ΨQ性。, 取以r為半徑的球面S為高斯面,根據(jù)高斯定理,高斯面S, E = 0,均勻帶電球面內(nèi)場強處處為零,當R r 時，q=q,與

6、點電荷的電場分布相同,r 0 E 。,討論：點電荷的電場 r E0;,解：,例題 半徑為R 的介質(zhì)球，均勻帶電q (q 0 ),電容率為，求：此帶電球的電場。, 電場分布具有球?qū)ΨQ性。, 取以r為半徑的球面S為高斯面,當0 r R時，,根據(jù)高斯定理,均勻帶電球體內(nèi)場強與半徑 r 成正比,當R r 時，q=q,R,o,討論：,r0時，E0,r時，E0,（1）當r R時，,例8-6 半徑為R,無限長均勻帶電直圓柱體，電荷體密度為，求其內(nèi)外的電場。,解：, 電場分布具有柱對稱性。, 以柱體軸線為軸線，取以r為半徑，高為h的閉合柱面S為高斯面。,根據(jù)高斯定理,均勻帶電直圓柱體內(nèi)的場強與半徑 r 成正比

7、。,（2）當r R時，,高斯面S,高斯面S,討論：,r0時，E0,r時，E0,均勻帶電圓柱體電場強度分布曲線,例8-7 求電荷面密度為的無限大均勻帶電平面的電場。,無限大均勻帶電平面的電場是均勻場,解：, 電場分布具有面對稱性。, 垂直穿過帶電平面底面為S高為2r的閉合柱面S為高斯面。,求：兩無限大均勻帶電平面，帶等量異號的電荷，平行放置時的電場。,兩板之外：,E = 0,兩板之間：,方向：正板指向負板,記,作業(yè)：8-2 8-3 8- 6 8-7,8.4.1 靜電場的環(huán)路定理,1、靜電場力作功的特點,（1）點電荷的電場,當帶電體在靜電場中移動時，靜電場力對帶電體要作功，說明靜電場具有能量。環(huán)路

8、定理就是從能量的角度來討論靜電場的性質(zhì)。,元功：,當q0由ab, 總功為,b,8-4 靜電場的環(huán)路定理 電勢,結論：靜電力作功與路徑無關。說明靜電場力是保守力，靜電場是保守場。,（2）任意靜電場,元功：,總功：,2、靜電場的環(huán)路定理,靜電場力是保守力,q00 ,結論：靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分（環(huán)流）等于零。該結論稱為靜電場的環(huán)路定理（環(huán)流定理）。,說明靜電場是保守場，是無旋場。,或者說將單位正電荷繞任意閉合路徑一周靜電場力所作的功等于零。,Wb q0 在b點的電勢能。,若 Wa q0 在a點的電勢能;,8.4.2 電勢能,靜電場力作功與路徑無關，僅與始末位置有關，位置確定做功本領確

9、定，因此可以引入勢能的概念，稱為電勢能。,1、電勢能,q0,電場中，將q0由ab,電場力的功為,靜電場力是保守力，保守力的功等于勢能增量的負值。,則,若取b點 Wb=0 ,則,物理意義：,q0 在電場中a點的電勢能，等于將q0由a點移到零勢能點靜電場力所作的功。,比較EP=mgh,若取b點為無窮遠 ，則 Wb=W=0 ,則,物理意義：,電場中,q0 在a點的電勢能，等于將q0由a點移到無窮遠點靜電場力所作的功。,電勢能的單位：,焦爾 J,8.4.3 電勢,由上式,但,電勢的定義：,物理意義：,（2）電場中a點的電勢，等于將單位正電荷由a點移到無窮遠點靜電場力所作的功。,（1）電場中a點的電勢，

10、等于單位正電荷在該點所具有的電勢能。,電勢的單位：,焦爾/庫侖,伏特 V ,1V=1JC-1,記,8.4.4 電勢差,Ub,Ua,電勢差 Uab=Ua - Ub,即,可見Ua是與U= 0點的電勢差。,反映了電場中ab兩點間的能量之差,一般取大地為電勢零點，電子儀器取外殼為電勢零點,電場中 a b 兩點的電勢差，等于把單位正電荷從a 點搬移到 b 點電場力所做的功。,記,8.4.5 電場力的功,電場中，把電荷q由a移到b，電場力所作的功為,討論：,（1）Aab 0 ,電場力所作正功，q由高點勢移向低電勢。,說明：電場力所作正功，q的勢能減小。,比較重力作功。,（2）Aab 0 ,電場力所作負功，

11、q由低點勢移向高電勢。,說明：非靜電場力（外力）作功，q的勢能增加。,低處的物體移向高處。,（3）Aab = 0 ,電場力不作功，ab兩點電勢相等，勢能無變化。,在同一高度上移動物體。,1、 電場力的功,2、電子伏：能量單位，電子經(jīng)過1伏的電勢差所獲得的能量。,1eV=1.60210-19（J）,3、電勢的計算 電勢疊加原理,（1） 點電荷的電勢,略去下標：,記,點電荷的電場中電勢的特點：,以r為半徑的球面上各點的電勢相等。,構成等勢面。,q0 , u0 ,u=0 ;,q0 , u0 ,u=0為最大值。,（2）點電荷系電場中的電勢、電勢疊加原理,結論：點電荷系電場中某點的電勢，等于各個點電荷單

12、獨存在時在該點電勢的代數(shù)和，該結論稱為電勢疊加原理。,若電荷是連續(xù)分布帶電體。,（1）電荷元dq在p點的電勢為,（2）帶電體在p點的電勢為,討論：,例 8-8 求帶電量為q，半徑為R的均勻帶電球面內(nèi)外的電勢,解：已知均勻帶電球面的場強為,則球內(nèi)一點的電勢,說明：均勻帶電球面為等勢面，球面內(nèi)和球面上的電勢相等為等勢區(qū)。,球面外一點的電勢,與點電荷的電勢相同,電勢分布曲線,場強分布曲線,可見均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。,如何用電勢疊加原理求均勻帶電球面的電勢？,2、解法二 疊加法,2、解法二 疊加法,解：,在處取半徑為a=Rsin，寬為

13、dl=R d的帶電環(huán)為電荷元。,dq=2adl=2 R2 sind,dq的電勢,dq=ds,討論：,（ x = r）,作業(yè)：8-8 8-9,例 8-9 求半徑為R，電量為 q 的均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的電勢。,x,解：圓環(huán)的線電荷密度為,圓環(huán)上取電荷元,dq在p點的電勢為,討論：當 x = 0 時，,環(huán)心處的電勢,當 x R 時，,象點電荷的電勢,以上是用點電荷電勢疊加求電勢，也可以用電場力作功的方式求電勢。,另解：已知圓環(huán)軸線上的場強為,作業(yè)：8-8 8-9,請計算,第八章 靜電場和恒定磁場的性質(zhì),一、基本要求,1、理解電場的規(guī)律：高斯定理和環(huán)路定理，理解用高斯定理計算電場強度的條件和方法。,2、掌握靜電場的電勢的概念與電勢疊加原理，掌握電勢與電場強度的積分關