1、,1,橫軸,縱軸,豎軸,定點(diǎn),空間直角坐標(biāo)系,三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.,一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo),2,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限,3,二、空間兩點(diǎn)間的距離,4,5,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模長(zhǎng)為1的向量.,零向量：,模長(zhǎng)為0的向量.,向量的模：,向量的大小.,單位向量：,一、向量的概念,或,或,或,6,自由向量：,不考慮起點(diǎn)位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,負(fù)向量：,大小相等但方向相反的向量.,向徑：,7,1 加法：,（平行四邊形法則）,特殊地：若,分為同向和反向,（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）,二、向量的加減法,8,向量的加法符合

2、下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）結(jié)合律：,（3）,2 減法,9,三、向量與數(shù)的乘法,10,數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）結(jié)合律：,（2）分配律：,兩個(gè)向量的平行關(guān)系,11,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.,12,13,一、空間兩向量的夾角的概念：,類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.,特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值.,14,空間一點(diǎn)在軸上的投影,15,空間一向量在軸上的投影,16,關(guān)于向量的投影定理（1）,證,17,定理1的說(shuō)明：,投影為正；,投影為負(fù)；,投影為零；

3、,(4) 相等向量在同一軸上投影相等；,18,關(guān)于向量的投影定理（2）,（可推廣到有限多個(gè)）,19,二、向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量,的坐標(biāo),20,向量在 軸上的投影,向量在 軸上的投影,向量在 軸上的投影,21,按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：,在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：,向量的坐標(biāo)：,向量的坐標(biāo)表達(dá)式：,特殊地：,22,向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,23,非零向量 的方向角：,非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.,三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,24,由圖分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.,向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式,25,當(dāng) 時(shí)，,向量方向余弦的坐

4、標(biāo)表示式,26,方向余弦的特征,特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟?27,28,關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：,一、兩向量的數(shù)量積,定義,數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.,29,數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）分配律：,（3）若 為數(shù)：,若 、 為數(shù)：,30,兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為,數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,31,定義,關(guān)于向量積的說(shuō)明：,/,向量積也稱為“叉積”、“外積”.,二、兩向量的向量積,32,向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 為數(shù)：,33,向量積還可用三階行列式表示,/,由上式可推出,34,補(bǔ)充,例如，,35,定義,設(shè),混合積的坐

5、標(biāo)表達(dá)式,三、向量的混合積,36,關(guān)于混合積的說(shuō)明：,(1)向量的混合積是一個(gè)數(shù)量.,37,38,一、曲面方程的概念,曲面方程的定義：,39,以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：,（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀,（討論旋轉(zhuǎn)曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程,40,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,播放,41,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,42,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,

6、以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,43,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,44,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,45,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,46,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條

7、定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,47,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,48,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,49,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,50,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,51,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的

8、一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,52,二、旋轉(zhuǎn)曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面稱為旋 轉(zhuǎn)曲面.,這條定直線叫旋轉(zhuǎn) 曲面的軸,53,54,解,圓錐面方程,或,55,例6 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙曲面,56,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,57,播放,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,58,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱

9、為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,59,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,60,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,61,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,62,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線

10、 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,63,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,64,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,65,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,66,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定

11、曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,67,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,68,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,69,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過(guò)程:,平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.,70,柱面舉例,拋物柱面,平面,71,從柱面方

12、程看柱面的特征：,（其他類推）,實(shí) 例,橢圓柱面 / 軸,雙曲柱面 / 軸,拋物柱面 / 軸,72,73,空間曲線的一般方程,曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點(diǎn)：,一、空間曲線的一般方程,74,空間曲線的參數(shù)方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,75,消去變量z后得：,曲線關(guān)于 的投影柱面,設(shè)空間曲線的一般方程：,以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.,投影柱面的特征：,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,76,類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影,面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在 面上的投影曲線,

13、77,78,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,一、平面的點(diǎn)法式方程,平面的點(diǎn)法式方程,法向量,已知點(diǎn),79,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,80,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；,平面通過(guò) 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標(biāo)面；,類似地可討論 情形.,類似地可討論 情形.,81,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,82,定義,（通常取銳角）,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,三、兩平面的夾角,83,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征：,/,

14、84,點(diǎn)到平面距離公式,85,86,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,87,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量,二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,88,直線的對(duì)稱式方程,令,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的參數(shù)方程,直線方向向量,直線上一點(diǎn),89,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,90,兩直線的位置關(guān)系：,/,91,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角,四、直線與平面的夾角,92,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,/,93,94,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,一、基本內(nèi)容,95,（一）橢球面,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,96,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫(xiě)為,與平面 的交線為圓.,97,球面,截面上圓的方程,方程可寫(xiě)為,98,（二）拋物面,（