1、固體力學(xué)概論,(綜合基礎(chǔ)課) 2005版,目錄,第一章 前言 第二章 基本假設(shè) 第三章 本構(gòu)關(guān)系（物理方程） 第四章 基本方程 第五章 能量原理（包括變分原理） 第六章 固體力學(xué)中的數(shù)值方法,第一章 前言,固體力學(xué)的定義 固體力學(xué)的基本假設(shè)與主要研究?jī)?nèi)容 學(xué)科分支 研究對(duì)象與任務(wù) 發(fā)展史 參考資料,1. 固體力學(xué)的定義,研究可變形固體在外界因素(載荷、溫度、濕度)作用下其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的位移、運(yùn)動(dòng), 固體的應(yīng)變和破壞規(guī)律的學(xué)科. 主要參書:力學(xué)詞典大百科全書 （1）固體力學(xué)與理論力學(xué)之區(qū)別：理論力學(xué)研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系與剛體。固體力學(xué)研究可形變體。 （2）固體與流體的區(qū)別：流體是氣體和流體的總稱，

2、具有易流性，不能承受剪應(yīng)力，在無論多小的剪力作用下都會(huì)發(fā)生變形。水和空氣是常見的兩種流體。,2. 固體力學(xué)的內(nèi)容:,研究彈性問題、塑性問題、彈塑性問題以及流變問題;又分線性問題、非線性問題; 主要研究宏觀問題、也有微觀問題和細(xì)觀問題(或稱介觀問題mesomechanics ); 研究的對(duì)象主要是均勻介質(zhì),也研究非均勻介質(zhì)(如復(fù)合材料和裂紋體)，各向同性與各向異性介質(zhì); 此外研究各種可變形體的偶合問題:例如熱(濕)彈性問題、熱(濕)塑性問題、熱(濕)彈塑性問題、以及形體的機(jī)磁電偶合性能(壓電與壓磁性能)；現(xiàn)在電-磁彈性力學(xué)正快速發(fā)展.,3. 學(xué)科分支,材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、流變

3、學(xué)，斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、振動(dòng)理論、粘彈(塑)性力學(xué)、沖擊力學(xué)、固體應(yīng)力波問題、結(jié)構(gòu)(彈塑性)動(dòng)力學(xué); 以及許多交叉學(xué)科: 氣動(dòng)彈性理論，生物固體力學(xué)、巖土力學(xué)、有限元(有限條、有限層、邊界元、離散元、無網(wǎng)格法等); 斷裂力學(xué)(損傷力學(xué))、復(fù)合材料力學(xué)、電-磁彈性力學(xué)，微尺度力學(xué)是發(fā)展中的新興學(xué)科。,4. 研究對(duì)象,研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）: （1）桿、桿系、梁、柱，（長(zhǎng)寬和高） （2）板(中厚板)、殼，（厚長(zhǎng)與寬） （3）三維體(空間結(jié)構(gòu)如桁架與剛架)， （4）薄壁結(jié)構(gòu)（飛機(jī)機(jī)翼與機(jī)身等）， （5）以及它們的復(fù)合體.,5 研究方法（截面法）,截面

4、法是處理固體力學(xué)問題的最基本的方法： 通過外力（作用力與約束力）與內(nèi)力（應(yīng)力）平衡求構(gòu)件的響應(yīng)（內(nèi)力）， 通過本構(gòu)關(guān)系求變形（位移與應(yīng)變）， 最重要的是材料力學(xué)中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設(shè)最為重要。,截面法,截面法:固體力學(xué)問題的普適方法, 步驟為： （1）取出構(gòu)件,畫出所有外力(包括約束反力); （2）用平面切開,并畫出內(nèi)力(廣義力), 若是動(dòng)平衡需用達(dá)朗貝爾原理,化慣性力為作用力；外力與內(nèi)力平衡來求解內(nèi)應(yīng)力; （3）解出內(nèi)力；算應(yīng)力; （4）利用物理方程求變形; （ 5） 根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則或變形準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度校核; （6）進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).,外力,內(nèi)力,內(nèi)力,6. 任務(wù),固體力學(xué)的發(fā)展主

5、要?jiǎng)恿κ巧鐣?huì)實(shí)踐： 任務(wù)是研究工程結(jié)構(gòu)在服役條件下的安全性、可靠性; 就是強(qiáng)度問題(應(yīng)力值不超過許用值) 、剛度問題(變形不太大)、穩(wěn)定性問題、振動(dòng)問題. 工程結(jié)構(gòu)包括: 飛機(jī)、火箭、船舶、車輛、橋梁、房屋、水壩、反應(yīng)堆、坦克等等.,7. 發(fā)展史,固體力學(xué)是一門古老的學(xué)科,可追溯到17世紀(jì)伽利略Calileo(15641642)關(guān)于梁與水壩的工作,提出速度、加速度的概念.后來庫侖(C. A. Coulomb), 泊松(R. Poisson), 納維(C-L-M-H. Navier), 圣文南(B. de Saint-Venant ) 哥西(A. L. Couchy), 虎克(Hooke)（胡克

6、定律）等人作出很大貢獻(xiàn). 伯努利(16541705)平截面假設(shè), 歐勒(L. Euler)(17071783)壓桿穩(wěn)定的歐勒載荷; 鐵木生柯(Timoshenko)專著”Strength of Materials”, “Theory of Elasticity”、“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”與符拉索夫(薄壁桿件). 中國(guó)東漢(127200)鄭玄提出線性彈性關(guān)系; 宋代李誡營(yíng)造法式；隋代李春（581618）趙州橋。,8. 參考資料,力學(xué)詞典，中國(guó)大百科全書出版社，1990。 中國(guó)大百科全書，力學(xué)卷，198

7、5，8。 Encyclopedia of Science and Technology, McGraw-Hill, 1982 E. P. Popov, Introduction to Mechanics of Solids, Prentice Hall, INC, 1968 Y. C. Fung, Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, INC, 1965 中國(guó)自然科學(xué)基金，學(xué)科分類目錄及學(xué)科代碼，1994 (從這里可看出現(xiàn)代固體力學(xué)的發(fā)展方向以及新的學(xué)科分類）。,9. 專有名詞的翻譯,材料力學(xué)：strength of materials,

8、mechanics of materials 彈性力學(xué)： theory of elasticity, elasticity, (elastic mechanics 錯(cuò)誤); 塑性力學(xué)：theory of plasticity, plasticity, (plastic mechanics 錯(cuò)誤); 介觀力學(xué)：mesomechanics； 細(xì)觀力學(xué)，可是，在專著Micromechanics of defects in solids , T Mura，“micromechanics” 可翻譯為細(xì)觀力學(xué),不翻成微觀力學(xué)。 5. 宏（微）觀力學(xué)；macromechanics, micromechani

9、cs 這里，英語書籍里“micromechanics”包含介觀尺度問題。 6. 經(jīng)典力學(xué)：Classic mechanics, （牛頓力學(xué)） 7 理論力學(xué)：theoretical mechanics.,第二章. 基本假設(shè)：,基本假設(shè)： 連續(xù)性假設(shè)斷裂問題與界面問題； 均勻性假設(shè)復(fù)合材料。 3. 小變形假設(shè)大變形（幾何非線性問題）， 線彈性假設(shè)物理與幾何非線性， 5. 各向同性假設(shè)各向異性， 6. 平截面假設(shè)(對(duì)直桿拉伸、壓縮與梁彎曲等都適用,尤以梁彎曲的平截面假設(shè)意義最重要）。,材料力學(xué)中關(guān)于平截面法的應(yīng)用,以下研究對(duì)象都可用平截面法處理： 拉伸：桿或棒 （拉伸強(qiáng)度問題） 壓： 壓桿，柱（彈性

10、穩(wěn)定性問題） 彎曲：梁 （彎曲撓度與應(yīng)力） 扭，扭轉(zhuǎn)：軸 （剪切變形與強(qiáng)度） 壓彎聯(lián)合作用：梁柱（彎曲與穩(wěn)定性）；,1 平截面假設(shè)(在板殼力學(xué)中又稱直法線假設(shè)),平截面假設(shè)：初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線, 并且在垂直軸線方向上無變形； 下面以梁為例,此假設(shè)大大簡(jiǎn)化了問題. 無窮自由度問題簡(jiǎn)化為一個(gè)自由度問題,只有一個(gè)撓度函數(shù)是要求的.這樣，用彈性力學(xué)理論,有15個(gè)基本方程,15個(gè)基本未知量. 根據(jù)平截面假設(shè)大大簡(jiǎn)化：梁的撓度為 ， 梁的基本方程（控制方程）為：,p, 梁的基本方程,根據(jù)平截面（直法線）假設(shè)導(dǎo)出梁的撓度方程：,板殼力學(xué)中的直法線假設(shè), 初始與板中性面(中面)垂

11、直的(線段）法線,在變形后仍垂直中面； 垂直于中面的正應(yīng)力遠(yuǎn)小于平行于中面的應(yīng)力分量（無法向應(yīng)變）； 在發(fā)生彎曲變形時(shí)，板的中面無拉伸變形。為基爾霍夫假定（克希霍夫假定）。,平截面假設(shè)的近似性,由懸臂梁?jiǎn)栴}可知,截面上最大剪應(yīng)力在中面上,可見最大剪應(yīng)變?cè)谥忻嫔?所以剪切轉(zhuǎn)角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪應(yīng)力(剪應(yīng)變）為零.結(jié)論很明顯,橫截面不再是平的（發(fā)生翹曲）. 當(dāng)梁的高長(zhǎng)比 時(shí)，平截面假定不再成立，應(yīng)該考慮橫向剪切。稱為Timoshenko梁理論，獨(dú)立未知變量增加一個(gè)，截面轉(zhuǎn)角。但是,當(dāng)梁長(zhǎng)/高比很大時(shí),平截面所得結(jié)果符合工程要求。 Timoshenko梁彎曲（非純彎）時(shí)，須考慮剪切

12、效應(yīng)，此時(shí)橫截面仍是平面，但不再垂直梁中面，與中面有一夾角 ?；疚粗孔?yōu)閮蓚€(gè)：,梁的橫向剪切問題,剪切問題基本方程:應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為： 僅考慮剪切效應(yīng)：變形前mn和 pq是直線并且平行，變形后二條線不再是直線，產(chǎn)生彎曲，就是產(chǎn)生截面翹曲； 工程上近似(平均意義)為:, 三點(diǎn)彎曲梁,三點(diǎn)彎曲梁 第二項(xiàng)是剪切產(chǎn)生的撓度， 是截面系數(shù)，對(duì)于矩形截面，, 梁的橫向剪切角,梁的橫向剪切角如下圖所示： 剪切系數(shù) 對(duì)于矩形等3/2 對(duì)于圓形截面等于4/3。,x,p,z, 關(guān)于截面形狀系數(shù)的討論,剪切截面系數(shù)（又稱截面形狀系數(shù)）有如下幾種數(shù)值： 相當(dāng)于用中性軸處的最大剪切應(yīng)變代表梁軸由于橫向剪切產(chǎn)生的傾角，

13、是很粗燥的，它比平均剪應(yīng)變大50%。 用能量原理（單位載荷法）推導(dǎo)了較精確的近似值， 彈性力學(xué)的精確公式為： 當(dāng)泊松比 時(shí)， 彈性力學(xué)精確解比簡(jiǎn)單平均法所得結(jié)果大18%。,2 彈性桿的拉伸,單向拉伸(或壓縮):假設(shè)在拉伸變形時(shí)桿的截面保持平面，并且拉伸變形均勻；這個(gè)假定被試驗(yàn)證明，非常接近真實(shí)； 注意：桿受壓縮有穩(wěn)定性問題。 基本方程: 拉伸彈性剛度系數(shù)為:,P,L,3 等截面桿扭轉(zhuǎn),以圓截面桿為例:圓截面桿在扭矩作用下各個(gè)截面保持平面并且變形均勻； 基本方程: 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系: 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為:,第三章 本構(gòu)方程,1 線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（線彈性） 胡克定律：?jiǎn)蜗蚶?，如彈簧?廣義胡克定律：復(fù)雜

14、應(yīng)力狀態(tài) 2 非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：塑性材料 3 現(xiàn)代塑性本構(gòu)關(guān)系：含“內(nèi)變量”并與熱相關(guān) 4 粘彈性本構(gòu)關(guān)系（流變學(xué)）：材料機(jī)械性能與時(shí)間相關(guān),單軸拉伸試驗(yàn)曲線,單軸拉伸試驗(yàn)曲線（同樣可作扭轉(zhuǎn)與剪切試驗(yàn)）,應(yīng)力張量和應(yīng)變張量,應(yīng)力張量：任意質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力有6個(gè)獨(dú)立分量，形成二階張量 應(yīng)變張量：任意質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變有6個(gè)獨(dú)立分量，形成二階張量, 彈性本構(gòu)關(guān)系：線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,胡克定律：線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為彈性常數(shù)（楊氏模量） 廣義胡克定律 可改寫為 其中 36個(gè)常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立。這是指最一般的各向異性材料，對(duì)于各類特殊情況，獨(dú)立材料常數(shù)不同。,，,2 三維各向同性材料物

15、理方程：,以應(yīng)變表示應(yīng)力： 是體積應(yīng)變。 以應(yīng)力表示應(yīng)變：,，,球應(yīng)力張量。,應(yīng)力偏量。,拉梅常數(shù),拉梅常數(shù) 分別是彈性模量，泊松比與剪切模量。,，,3 非各向同性,單斜體 材料有一個(gè)對(duì)稱面， 只有13個(gè)獨(dú)立常數(shù)； 正交異性體 有2個(gè)相互垂直的對(duì)稱面， 9個(gè)獨(dú)立常數(shù)； 橫觀各向同性體 垂直某一方向的各個(gè)平面都是各向同性面；只有5個(gè)獨(dú)立常數(shù)； 各向同性體 兩個(gè)常數(shù)， ；或者 ； 或者 后者又稱拉梅系數(shù)。 平面正交異性體 例如單向纖維復(fù)合材料薄板， 4個(gè)獨(dú)立常數(shù), 塑性力學(xué),基本實(shí)驗(yàn) 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性 塑性應(yīng)變非恢復(fù)性，有殘余應(yīng)變 應(yīng)力與應(yīng)變非一一對(duì)應(yīng)，與加載歷史有關(guān) 塑性變形功產(chǎn)生熱；本構(gòu)關(guān)系

16、相當(dāng)復(fù)雜。,塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性的簡(jiǎn)化, 理想彈塑性； 彈性線性硬化模型； 理想剛塑性； 剛性線性硬化模型； 密律硬化模型,N=0,N=1,N=0.3,屈服準(zhǔn)則：?jiǎn)蜗蚶欤?殘余應(yīng)變大于 的應(yīng)力為,復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 特雷斯卡（Tresca）條件：,在 平面上是正六邊形。 米賽斯（Misses）條件：,在 平面上是圓。,應(yīng)力強(qiáng)度,應(yīng)力強(qiáng)度（又稱等效應(yīng)力）：已知應(yīng)力不變量的第二步變量為：,是八面體剪應(yīng)力,形狀改變應(yīng)變能。,應(yīng)力強(qiáng)度為：,應(yīng)變強(qiáng)度,用主應(yīng)變表示： 應(yīng)變強(qiáng)度又稱有效應(yīng)變。 羅德參數(shù)： 應(yīng)力的羅德參數(shù)： 應(yīng)變羅德參數(shù)：,3. 塑性全量理論塑性形變（或塑性變形）理論,在簡(jiǎn)單加載（比例加載）條

17、件下，對(duì)塑性變形的簡(jiǎn)化; 應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度一一對(duì)應(yīng)，若無卸載，與非線性彈性相同。 Hencky relation: 對(duì)于比例加載，塑性形變理論與流動(dòng)理論結(jié)果相同。,塑性增量理論流動(dòng)理論,流動(dòng)理論（又稱增量理論）： 當(dāng)彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變很小時(shí)， 加載比與塑性功成比例。, 流變學(xué)（粘彈性力學(xué)）,定義：研究材料在外載、溫度、濕度等環(huán)境條件下與時(shí)間有關(guān)的變形和流動(dòng)行為的規(guī)律的力學(xué)分支；粘彈性介質(zhì)具有固體與流體的雙重性質(zhì)。 研究?jī)?nèi)容： 蠕變：材料在恒應(yīng)力作用下變形隨時(shí)間增大的過程稱為蠕變，是由分子或原子重新排列引起的。蠕變過程中材料的柔度（模量的倒數(shù)）逐漸增大。 以應(yīng)力為輸入量而求應(yīng)變響應(yīng)者為蠕變。

18、松弛：材料在固定變形下應(yīng)力隨時(shí)間減小的過程稱為松弛。材料的模量（松弛模量）逐漸減小。 以應(yīng)變?yōu)檩斎肓慷髴?yīng)力響應(yīng)者為松弛。,1 流變體的幾種理想介質(zhì)：,（1）虎克固體： （2）粘性元件（粘壺）, 又稱牛頓流體或阻尼器： 或 是粘性系數(shù)，單位是應(yīng)力乘時(shí)間。 （3）理想塑性體（圣文南體）：當(dāng) pF 時(shí) 當(dāng)PF時(shí)，u 位移取決于其它條件。,2 馬克斯威爾體,彈簧與粘壺串聯(lián)，控制方程： 特性：若應(yīng)力是階躍函數(shù) 應(yīng)變?cè)?t=0 時(shí)，應(yīng)變發(fā)生突變；當(dāng) 時(shí)， 表現(xiàn)為流動(dòng)性質(zhì)。 若應(yīng)變保持常數(shù)，應(yīng)力趨于零， 為松弛時(shí)間。,，,3 開爾文體（Kelvin）或Voigt solid: 將粘壺與彈簧并聯(lián)；控制方程：

19、 性能：施加 應(yīng)變輸出： 當(dāng) 時(shí)， 其中， 是漸近彈性模量。 突出缺點(diǎn)： 當(dāng) 時(shí)，,。,4 標(biāo)準(zhǔn)固體（standard solid）: 將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)線性固體， 由于當(dāng) 時(shí)， 所以，它最終具有固體性質(zhì)。 （7）四元件模型（四參量模型）：將開爾文體與馬克斯威爾體串聯(lián)，構(gòu)成四參量模型。最終具有流體特性。 （8）廣義馬克斯威爾體, 將多個(gè)馬克斯威爾體并聯(lián)構(gòu)成，最終具有流體特性。 （9）廣義固體模型：將開爾文體串聯(lián)構(gòu)成，最終具有固體特性。,5 微分型本構(gòu)關(guān)系,更普遍的線性粘彈性模型： 以標(biāo)準(zhǔn)固體（standard solid）模型為例: 將彈簧與開爾文體串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)線性固體，本構(gòu)方程

20、的標(biāo)準(zhǔn)形式：,，,6 三維本構(gòu)關(guān)系,三維本構(gòu)關(guān)系： 分體量與偏量： 是微分算子，例如， 有時(shí)，可假設(shè)體積應(yīng)變的蠕變分量可忽略。,7 遺傳積分（蠕變型）,又稱記憶積分或卷積積分： 疊加原理，Boltzmann superposition principle： 在 作用下，應(yīng)變服從疊加原理： 當(dāng)一系列應(yīng)力增量 連續(xù)作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)變 等于： 是蠕變?nèi)崃俊?8 松弛型遺傳積分,當(dāng)一系列應(yīng)變?cè)隽?連續(xù)作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)力 等于 ： 是松弛模量。 修正的疊加原理： 其中 是應(yīng)變的非線性函數(shù)。,9 拉普拉斯變換：Laplace transformation,拉普拉斯變換對(duì)求解線性粘彈性問題至關(guān)重要，通過下式

21、將時(shí)域問題變換為S 域內(nèi)問題： 很多教科書上有變換表。 其逆變換式為：,10 對(duì)應(yīng)原理,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得： 于是得到拉氏變換域內(nèi)的“線彈性”問題。還可以在拉氏變換域內(nèi)進(jìn)行有限元計(jì)算。 但是，逆變換相當(dāng)復(fù)雜，這里學(xué)問很深。,11 復(fù)模量,當(dāng)材料或結(jié)構(gòu)受簡(jiǎn)諧變化應(yīng)力作用時(shí) ,即 輸入 ，代入本構(gòu)方程：,是復(fù)數(shù)柔量。,是松弛模量。,第四章 基本方程,彈性力學(xué)有15個(gè)基本方程： 3個(gè)平衡方程； 6個(gè)協(xié)調(diào)方程； 6個(gè)本構(gòu)方程； 15個(gè)基本未知量： 3個(gè)位移分量； 6個(gè)應(yīng)力分量； 6個(gè)應(yīng)變分量； * 加適當(dāng)邊界條件。,1.平衡或運(yùn)動(dòng)方程,平衡方程 展開一個(gè)方程: 運(yùn)動(dòng)方程: 指標(biāo)重復(fù)服從加法約定,2

22、幾何方程(應(yīng)力位移關(guān)系),對(duì)于小應(yīng)變情況， 這是哥西應(yīng)變式，共有六個(gè)應(yīng)變，六個(gè)方程。 對(duì)于大變形（計(jì)入非線性項(xiàng)）：分拉格朗日與歐拉表示： 拉格朗日應(yīng)變： 歐拉應(yīng)變：,，,3 變形協(xié)調(diào)方程：,（i, j 交換）共有六個(gè)方程: 以下只寫出兩個(gè)有代表性的式子：,4 彈性本構(gòu)關(guān)系,（1）. 彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：廣義胡克定律 可改寫為 其中 36個(gè)常數(shù)中只有21個(gè)獨(dú)立。這是指最一般的各向異性材料，對(duì)于各類特殊情況，獨(dú)立材料常數(shù)不同。,，,5 邊界條件：,（1）位移邊界條件：在給定位移的邊界 上， (a) 又稱第一類邊界條件，代號(hào) 。,，,（2） 應(yīng)力邊界條件：,在給定外力的邊界（ ）上： （b) 是外法線

23、方向余弦。 第二類邊界條件 ， 代號(hào) 。,（3） 混合邊界條件,混合邊界條件: 在（ ），為（a）；在（ ）（b）. 此外，還有彈性邊界條件和移動(dòng)（滑動(dòng)）邊界條件； 動(dòng)邊界條件（例如彈性支持條件，接觸，摩擦邊界條件），問題比較復(fù)雜。,彈性力學(xué)問題的解法（位移法和應(yīng)力法）,.位移方法：拉梅（Lame, G.）方程，即用位移表示平衡方程,以下是三種不同表示方法： 需將應(yīng)力邊界條件改寫為位移., 應(yīng)力解法,用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程，即 拜爾脫拉密（Beltrami, E.） 密乞爾(Michell, J. H.)方程：用應(yīng)力表示協(xié)調(diào)方程。 當(dāng)然，位移邊界條件也需要用應(yīng)力表示。,彈性力學(xué)一般定理,（1）.

24、 應(yīng)變能定理克拉貝龍定理,即功能互等定理: 又俗稱為 “功能互等定理” 注意與 ”功的互易（reciprocal）定理” 相區(qū)別。 彈性體內(nèi)的應(yīng)變能等于變形過程中外力所做之功； (證明從略) 注意：與虛功原理相對(duì)照（外力虛功等于內(nèi)里虛功）。,（2） 唯一性定理克?；舴蚨ɡ砘蚣~曼定理,證明： 兩組解 它們滿足平衡方程: 邊界條件:,證明(2)：,構(gòu)造新的解 （1）-（2）， （3）-（4），（5）-（6）得到,，,證明(3),上式的解肯定為0。 所以證明，兩組解相等。 *注釋：若全邊界均為應(yīng)力條件，則位移解可能差一剛體位移。 結(jié)論：對(duì)于線彈性材料（結(jié)構(gòu)），只要給出一組滿足平衡方程，協(xié)調(diào)方程，與邊

25、界條件的解，那么它就是真解（與彈性常數(shù)無關(guān)）。 所以，彈性力學(xué)就有試湊法。,（3 ） 圣文南原理,物體在上受一平衡力系作用時(shí)，在離較遠(yuǎn)的區(qū)域應(yīng)力可以忽略。 時(shí), 是外力作用區(qū)的最大線尺寸與我們關(guān)注的質(zhì)點(diǎn)和力作用點(diǎn)的距離。,（4） 功的互易(等)定理,又稱位移互等定理（reciprocal theory of displacement）： 設(shè)兩組力（體力與面力）作用在同一物體上，第一組力對(duì)第二組力產(chǎn)生的位移所做之功，等于第二組力對(duì)第一組力產(chǎn)生的位移所做之功； =,第五章 能量原理,能量原理是宇宙間普適的,從熱力學(xué)第一定律,理論力學(xué)的能量(機(jī)械能)守恒定律,與虛位移(虛功)原理,材料力學(xué)的卡氏定理

26、,彈性力學(xué)的變分原理，以及各種近似數(shù)值方法. 例如,求第二宇宙速度時(shí)，飛船離開火箭時(shí)的速度（動(dòng)能）應(yīng)能克服地球?qū)λ囊?shì)。 動(dòng)能 引力勢(shì) 由此得到：,（1）虛位移原理（理論力學(xué)）,物體(或質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系)在 n個(gè)外力(包括約束力 )作用下而平衡, 則外力所作之虛功之和為零. 對(duì)于理想約束 則外加作用力所作功為零.,彈性力學(xué)的能量原理,1 . 虛功原理（包括虛位移原理與虛力原理） 虛位移：所有幾何約束允許的位移(滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件）即為虛位移，寫為 。 虛位移又稱為“可能位移”。 彈性體在平衡狀態(tài)下，外力、內(nèi)力在微小虛位移下做的功（稱為虛功）之和等于零。,2. 虛位移原理,彈性體在平衡狀

27、態(tài)下，外力對(duì)虛位移所做的功（稱為虛功）等于虛位移所引起的彈性體應(yīng)變能的增量。,虛位移原理（續(xù)1）,上式第一項(xiàng)為零，第二項(xiàng)等于 這是內(nèi)力虛功，即內(nèi)力（應(yīng)力）對(duì)虛位移產(chǎn)生的虛應(yīng)變所做的功（或?yàn)閼?yīng)力對(duì)虛應(yīng)變所作的虛功）。 結(jié)論：內(nèi)力虛功等于外力虛功,虛功原理(續(xù)2),根據(jù)專著（胡): 虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 此式中， 和 是變形可能位移與應(yīng)變， 是靜力可能應(yīng)力。* 是可能面力。 這個(gè)原理包括虛功原理與虛余功原理兩個(gè)原理,虛功原理(續(xù)3),包括虛位移原理與虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理： 按大百科全書的詞條：這里有疏誤,.,式中,是體力和位移；,是面上可能面力和可能位移，,分別是可能應(yīng)力分量和可能應(yīng)變分量。此原

28、理可包括 （1）虛位移原理和（2）虛內(nèi)力（應(yīng)力）原理。,3. 最小勢(shì)能原理,以位移為基本未知量的變分原理。 總勢(shì)能等于 : 分別為真實(shí)位移與虛位移。,最小勢(shì)能原理（續(xù)）,定義：平衡時(shí)，所有可允許位移（可能位移）中，真實(shí)位移使總勢(shì)能取極小值： 可能位移是滿足協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件的位移。 意義：因?yàn)槲灰茲M足了連續(xù)性條件和位移邊界條件，由最小勢(shì)能原理可導(dǎo)出平衡方程和應(yīng)力邊界條件。 由此導(dǎo)出有限元基本方程,4 最小余能原理,以應(yīng)力為未知量的變分原理。真實(shí)應(yīng)力所具有的余能恒小于其他可能應(yīng)力相應(yīng)的余能。 所有可能應(yīng)力（滿足平衡方程與靜力邊界條件的應(yīng)力）函數(shù)中，真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)取總余能為最小。,，,最小余能原理

29、（續(xù)）,它代表應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件。 虛余功： 虛余能： 總余能： 最小余能原理：,5 廣義變分原理,是以上兩個(gè)原理的推廣；彈性力學(xué)的解必須滿足廣義勢(shì)能變分為零的條件，（又稱駐值條件），即： 為邊界指定面力和位移 。 此變分原理具有三類變量：位移，應(yīng)力與應(yīng)變。,6 瑞斯納變分原理,瑞斯納變分原理（Reissner） 其中 是應(yīng)變余能，兩類獨(dú)立變函數(shù) 共9個(gè) 。 有限元法的雜交元由此導(dǎo)出.,A 材料力學(xué)中的能量法（一）,卡氏第一定理：若彈性體受數(shù)個(gè)已知廣義力 作用，在他們的作用點(diǎn)產(chǎn)生沿各廣義力方向上的位移： 則由廣義位移表示的應(yīng)變能 U 對(duì)某個(gè)廣義位移 的偏導(dǎo)數(shù)等于與 相應(yīng)的廣義力 ， 數(shù)

30、學(xué)表達(dá)式為： 此定理英文名稱：Castiglianos first theorem.,材料力學(xué)中的能量法（二）,克羅蒂恩蓋塞定理（CrottiEngessers theorem):若彈性體作用有n個(gè)廣義力 ， 產(chǎn)生n個(gè)廣義位移 ，它們方向與相應(yīng)的廣義力相同； 則由廣義力表示的應(yīng)變能對(duì)廣義力的偏導(dǎo)數(shù)，等于相應(yīng)的廣義位移，表達(dá)式為： 此定理又稱卡氏第二定理。,B 彈性穩(wěn)定理論中的能量法,C 振動(dòng)問題的能量法,瑞利商：根據(jù)瑞利原理，保守系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)的自振頻率的近似值，由下式泛函的駐值決定。 是動(dòng)能 ； 是勢(shì)能 例如，弦振動(dòng)，設(shè)振形函數(shù)為 當(dāng) n=2時(shí)， 相對(duì)誤差為 0.007 精確解為：,D 結(jié)構(gòu)

31、力學(xué)的能量法,1 力法（force method）：以廣義力為未知量求解靜不定結(jié)構(gòu)的方法稱為力法。 基本概念是，將多余約束去掉，代之以廣義力(多余廣義力），為保證解除多余約束的結(jié)構(gòu)變形與內(nèi)力（應(yīng)力）與原結(jié)構(gòu)相同，必須滿足連續(xù)性條件，即變形協(xié)調(diào)條件。n 度靜不定系統(tǒng)就有n 個(gè)連續(xù)性條件,正好彌補(bǔ)了平衡方程數(shù)的不足。 將n 個(gè)連續(xù)性條件與平衡方程聯(lián)立，就能解出所有未知廣義力。,2 單位載荷法：根據(jù)虛功原理導(dǎo)出的求結(jié)構(gòu)位移的方法。求給定結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的位移時(shí)，在該點(diǎn)施加單位載荷：?jiǎn)挝粡V義力。單位載荷方向與所求位移方向相同。于是， 是單位載荷引起的軸力，剪力與彎矩； 是真實(shí)載荷引起的軸力，剪力與彎矩, 為所求位移。,，,3 位移法：（displacement method）:以廣義位移為基本未知量求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的方法